2010年湖北高考理科第20题的解法研究

邹国富;徐云飞

【摘 要】@@ 2010年高考数学湖北卷理科第20题:\"已知数列{an}满足a1＝1/2,3(1+an+1)/1-an＝2(1+an)/1-an+1,anan+1＜0(n≥1),数列{bn}满足bn＝a2n+1-a2n(n≥1),(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

【期刊名称】《中学数学月刊》 【年(卷),期】2011(000)004 【总页数】2页(P31-32) 【作 者】邹国富;徐云飞

【作者单位】湖北省南漳县第二中学,441509;湖北省南漳县九集希望小学,441509 【正文语种】中 文

2010年高考数学湖北卷理科第20题：“已知数列{an}满足,数列{bn}满足求数列{an},{bn}的通项公式；(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.” 标准答案：(1)由题意可知),令，则.又,则{cn}是以为首项，以为公比的等比数列，即,故,所以. 又,故.

(2)用反证法证明：假设数列{bn}存在三项br,bs,bt(r显然命题者的本意是在考查数列知识时，融入对构造法及反证法的应用及对数论知识的考查.求数列的通项公式是数列内容的重点和难点，通常有3种方法：(1)归纳法；(2)递推关系式法；

(3)Sn转化为an求解.作为本题而言，不宜采用第(1)种方法，因为an不需经过猜想论证即可求出；也不宜采取第(3)种方法，因为Sn未告知，所以该问应考虑用第(2)种方法.明确解题方向后就需要在递推过程中构造特殊数列才能求出an，构造法又分直接构造法和间接构造法，间接构造法又有累加构造、累乘构造和补(拆)项构造3种不同形式，采用哪种方法取决于题设条件“”，标准答案选择突破口“令,则cn”，这就成功地构造出了特殊等比数列{cn}，从而利用cn求出an，继而求出bn.第(2)问考查数列内容的反证法.反证法的难点在于如何导出矛盾，矛盾的产生在于通过对假设的等价变形后，产生与题目条件或者已有数学基本原理相矛盾的结论.标准答案的设计简洁清晰，直接根据数论知识加以变形，导致奇偶相等这一矛盾.其关键之处在于“两边同乘3t-r21-r,化简得3t-r+2t-r=2×2s-r3t-s.上式左边为奇数，右边为偶数”，这种做法对学生的数论知识要求较高，没有一定的课外积累是想不出这一着的.

学生在这道题上丢分很严重，主要反映在第(1)问中构造不得法，第(2)问中矛盾导不出来，关键就集中在一点：对数列的认识不够深入、对反证法的应用不够灵活.这对今后的高考备考有警示作用.

笔者深入研究该题，在学生的帮助下给出了一种与标准答案截然不同的解法，这种解法更加丰富了构造法的形式，巧妙地化解了由于数论知识生疏导致的思路阻塞，加深了学生对数列的认识，与标准答案一起带给学生美妙的数学享受.

第(1)问：将交叉相乘得,即,补项得,即①,②.②÷①得为定值，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，所以,所以.而anan+1<0,所以.

与标准答案不同的是在处理“)”上发生了变化，不去构造新数列{cn}，而是朝着

条件“(n≥1)”进行补项构造，得出{bn}是等比数列这一结论.

第(2)问可用反证法证明.先设存在三项br,bs,bt(r①当s-r=1时，t-r>1,左边,右边，考虑到t-r为整数，所以右边可取 总有一个接近而不会与之相等，因为.

第①种情况产生了矛盾.第②种情况：当s-r≥2时呢？左边，右边>1，也产生矛盾！ 综上可知，假设不成立，原命题为真命题.

这种方法的产生在于先对假设等式加以简单约分变形，边化边观察，直到化成最终结果后才开始寻找矛盾.其着眼点在等号两边的式子结构和单调性上，借助娴熟的函数知识对左、右式子进行大小比较而取得成功.

第(2)问反证法还有其他思路：设存在三项br,bs,bt(r所以s-r=0,s=r=t,与r这种证法的产生源于对数列的深刻认识，即数列是一类特殊函数.借助图象研究函数是常用的方法，把成等差数列的三项看成三个共线的点导出矛盾，取得成功.