2020年黑龙江省哈尔滨市第三中学届高三第二次模拟考试数学理试题与答案

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考

试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签

字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；

（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．) 1．i为虚数单位，复数zA．第二象限

2i在复平面内对应的点所在象限为 i1B．第一象限

C．第四象限

D．第三象限

x2y222．已知集合Ay1，集合Bxy4x，则AB

32A．3,3

B．0,3

C．3,

D．3,



23．命题p：“x0R，x012x0”的否定p为

A．xR,x12x

2C．x0R,x012x0

2B．xR,x12x

2D．x0R,x012x0

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124．2x的展开式中常数项是 xA．5

B．5 D．10

5开始 输入n, a1,a2, … , an k =1, M = a1 x = ak x≤M ? 是 M = x k≥n ? 是 输出M 结束 否 C．10

5．已知数列an的前n项和为Sn，执行如右图所示的 k = k +1 程序框图，则输出的M一定满足

否

A．SnnM 2 B．SnnM D．SnnM

C．SnnM

6．设函数f(x)sin(x)cos(x)(0,2)的最小正周期为，且

f(x)f(x)，则

A．f(x)在0,3单调递减

B．f(x)在0,单调递增 2C．f(x)在 3,44单调递增 D．f(x)在,单调递减 2xy40, xy127．如果实数x,y满足关系xy0, 则的取值范围是 x54xy40, A．[

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128,] 53 B．[,]

3553C．[,]

8853

D．[,812] 55uuuruuuruuuruuur8．A,B是圆O:xy1上两个动点，AB1，OC3OA2OB，M为线段AB22uuuruuuur的中点，则OCOM的值为

A． 9． 函数y等于

A．4

10．ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B2A，cosAcosBcosC0，

B．2

C．8

D．6

3 2 B．

3 4 C．

1 2 D．

1 41的图像与函数y3sinx(4x2)的图像所有交点的横坐标之和x1 则asinA的取值范围是

bA．

33331331, B． C． D． ,,4262226,21 1 侧视图

11．某棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为

A．12π C．14π

B．11π D．13π

俯视图 1 正视图

1 x2y212．已知S为双曲线221(a0,b0)上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，

ab分别交x轴于点M,N, 交y轴于点P,Q，若11OPOQ4恒成立，

OMON则双曲线离心率e的取值范围为 A．1,2

B．2, C．1,2

D．2,

 第 3 ·理科数学 页 共8页·

2020年哈尔滨市中学第二次高考模拟考试

数学试卷（理工类）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．等比数列an中，a318，a5162，公比q ．

14．利用随机模拟方法计算y1和yx所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组

20~1区间的均匀随机数，a1RAND，bRAND；然后进行平移和伸缩变换，

a2a10.5；若生了N个样本点（ a ，b），其中落在所围成图形内的样本

点数为N1，则所围成图形的面积可估计为 （结果用N，N1表示）． 15．设O为抛物线：y2px(p0)的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦，若

2AB4p，则AOB的面积为 ．

16．f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f(x)．若f(x)f(x)1,f(1)2018，

则不等式f(x)2017e

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）

已知数列an为正项数列，a13，且（1）求数列an通项公式；

n（2）若bn2n(1)an，求bn的前n项和Sn．

ax11(其中e为自然对数的底数)的解集为 ．

an1an112()(nN*)． anan1anan1

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18．（本小题满分12分）

交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3T9，T3,5基本畅通；T5,6轻度拥堵；T6,7中度拥堵；T7,9严重拥堵，从市交通指挥中心提供的一天中早高峰市内路段交通拥堵指数数据，绘

制直方图如下．

（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；

（2）某人上班路上遇中度拥堵或严重拥堵则不能按规定时间打卡（记为迟到），否则 能按时到岗打卡．单位规定每周考勤奖的基数为50元，无迟到再给予奖励50

元，迟到一次考勤奖为基数，迟到两次及两次以上每次从基数中扣除10元，每周至 多扣除40元，根据直方图求该人一周（按5天计算）所得考勤奖的分布列及数学期 望（假设每天的交通状况相互）．

0 0.24 0.20 0.16 0.10 频率 组距

3 4 5 6 7 8 9 交通指数

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19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，ADC90，ABADPD1，CD2． （1）求证：平面PBC平面PBD； （2）若PQ

20．（本小题满分12分）

A

B D C

21PC，求二面角QBDP的大小．

P x2y2已知F为椭圆C:221(ab0)的右焦点，OF3，P,Q分别为椭圆

abC的上下顶点，且PQF为等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P的两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆C分别交于异于点P的点A,B，

①求证：直线AB过定点；

②求证：以PA,PB为直径的两个圆的另一个交点H在定圆上，并求此圆的方程．

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21．（本小题满分12分）

 a已知函数 h ( x ) ex, 直线l:yx1, 其中e为自然对数的底．

（1）当a1,x0时, 求证: 曲线f(x)h(x)12x在直线l的上方； 2（2）若函数h(x)的图象与直线l有两个不同的交点, 求实数a的取值范围； （3）对于（2）中的两个交点的横坐标x1,x2及对应的a, 当x1x2时，

求证：2(e2e1)(x2x1)(e2e1)a(e

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xxxx2x2e2x1)．

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xoy中，直线l:x3t,

（t为参数），以原点O为极点，x轴为正

y14t2半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos24． （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）点P(0,1)，直线l与曲线C交于M,N，求

23．选修4-5:不等式选讲（本小题满分10分）

已知x,y,z为正实数，且xyz2. （1）求证： 4z4xy2yz2xz；

211的值． PMPNx2y2y2z2x2z24. （2）求证：

zxy

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