初中数学《圆》常用辅助线构造技巧

一、求弦长（或已知弦长）作弦心距

1、如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为______.

2、已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1， AE=5，⊙AEC=30°，则

CD=______．

3、如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（ ）．

A．

921185 B. C. D. 55524、如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是弧AC的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 ．

5、⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙OABC⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙A⊙C⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙AB⊙⊙⊙⊙M⊙x⊙⊙⊙⊙⊙⊙A⊙⊙⊙⊙⊙0⊙8⊙⊙⊙⊙⊙M⊙⊙⊙⊙

二、构造同弧或等弧所对的圆周角相等或一条弧所对的 圆周角等于圆心角的一半

1、已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC 上一点，AG与DC的延长线交于点F． （1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长； （2）求证：∠FGC=∠AGD．

2、⊙⊙⊙⊙ABC⊙⊙⊙B=60°⊙⊙ACB=75°⊙⊙D⊙BC⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙AD⊙⊙⊙⊙⊙O⊙⊙⊙⊙AB⊙AC⊙E⊙F⊙⊙⊙EF⊙⊙⊙⊙⊙1⊙⊙AB⊙⊙⊙

3、⊙⊙⊙AB⊙⊙O⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙CD⊙⊙⊙H⊙⊙CD⊙⊙⊙⊙⊙⊙E⊙⊙O⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙F⊙⊙⊙ACF=65°⊙⊙⊙E= ⊙

4、如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB．

（1）求证：⊙ABO1=⊙ABO； （2）求AB的长；

（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：⊙BM﹣BN的值不变；⊙BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明．

三、构造直径所对的圆周角是直角

1、如图，⊙O的直径CD与弦AB垂直相交于点E，且BC1，AD2，则⊙O的直径长为__________．

CAEOB

D2、

如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为22，则BF的长为 ．

3、如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6． （1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC； （2）求CD的长．

4、△ABC的三个顶点在⊙O上，AD⊥BC，D为垂足，E是BC的中点，求证：

1423．

A3142OBE

5、已知：如图，在⊙ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊙AC，垂足为点E．

（1）求证：⊙ABC是等边三角形； （2）若AE=1，求半圆O的半径．

DC

四、已知切线：连接圆心和切点得垂直；证切线：连半径证垂直或作垂直证半径

1、已知：如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊙PQ于C，交⊙O于D．

(1)求证：AT平分⊙BAC；(2)若AD2,TC3,求⊙O的半径．

2、已知：如图，⊙ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当⊙BAE=⊙C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

3、如图，在Rt⊙ABC中，已知⊙ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D，E为BC的中点，连接DE，求证：DE为⊙O的切线．

4、已知在Rt△ABC中，C90°，AD是BAC的平分线． （1）作一个⊙O使它经过A、D两点，且圆心O在AB边上； （不写作法，保留作图痕迹）.

（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.

（3）判断以D为圆心，以CD为半径的⊙D与直线AB的位置关系

A

Ｃ

B D

五、旋转

1、⊙⊙⊙AB⊙⊙O⊙⊙⊙C⊙⊙O⊙⊙⊙⊙⊙ACB⊙⊙⊙⊙⊙⊙O⊙⊙D⊙⊙AB=10⊙AC=6⊙⊙CD⊙⊙⊙

2、如图， AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，ACB30

(1) 利用尺规作⊙ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，(保留作图痕迹，不写作法)

(2) 在 (1) 所作的图形中，若AB=32，求线段BD的长.

B A

O C

3、（2016广州中考）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在弧BAD上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连结CD，求证：

2AC=BC+CD；

（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，

连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．