中考数学压轴题及答案(一)(原创)

1．（本题满分12分）（原创） （本题满分12分）

已知抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点坐标为P（1，-4），交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式；

（2）点M为此抛物线在第四象限图像上的点，试求△MBC的最大面积； （3）若双曲线y

k

（k0）上有一点N（4，m），使得△NAB与△MBC最大面积x

之比为8：9．

①试求m的值及双曲线的表达式；

②在双曲线yk（k0 ）上是否存在一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的x四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

y

A O B x C P 1.【答案】解：(1)∵抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点坐标为P（1，-4）,

设此抛物线的表达式为ya(x1)(x3),代入点A（1，-4）,得a(13)(13)4 ,解得y a1 ∴此抛物线的表达式为y(x1)(x3)

（或写为yx2x3）…………………3分 （2）设点M的坐标为（x0，x02x03 ）， 则S△MBC=S△OCM＋S△OBM－S△OCB

22D A 11939=·3x0·3·[(x022x03)]=x02x0 222223327=(x0)2

228327∴当x0 时，△MBC有最大面积…… 7分 28O E B D x C P M （3）①∵双曲线yk（k0）上有一点N（4，m）， x使得△NAB与△MBC面积之比为8：9 ∴m0 ，S△NAB=∴m18827S△MB=m4·3

29983 …………………………………………………………8分 26

此时，k4m6 ，∴双曲线的表达式为y……………9分

x

②在双曲线yk（k0 ）上存在一点D， x使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

（I）若点D在第一象限时，

∵抛物线表达式为yx2x3，令x0，y3，∴CO3

过点D作x轴的垂线，垂足为点E，若四边形ACBD是平行四边形， 则易证S△ABD=S△BAC

211ABDEABCO ，∴DECO3 ，即点D的纵坐标为3，代入双曲线表达226式y，得x2 ，即点D的坐标是（2，3），∵B的坐标是（3，0），此时EB1，

x∵A的坐标是（-1，0），∴OA1 又∵∠AOC =∠BED=90° ∴△AOC≌△BED ，∴ACBD ，∠CAO =∠DBE

∴

∴AC与BD平等且相等，

∴当点D的坐标是（2，3）时，A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．……11分

（II）若点D在第三象限时，

若四边形ACBD是平行四边形，则CD∥AB，∵点C的纵坐标是（0，-3），∴点D的纵坐

6，得x2 ，此时点D坐标为（2，3），CD2， x

∵A（-1，0）、B（3，0） ∴AB4 ∴ABCD ，这与平行四边形的对边相等相矛盾，

标是3，代入双曲线表达式y

故此时，点D的坐标不能满足以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

k（k0 ）上存在一点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四x边形是平行四边形，点D的坐标是（2，3）．………………………………………………12

综上所述，在双曲线y分

2．（本题满分12分）（原创）

抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-2． （1）求抛物线的表达式；

（2）过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长； （3）抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标；若不存在请说明理由． y

N

M O A

P

x2.【答案】解：（1）∵抛物线经过点O（0，0）与点A（4，0），顶点为点P，且最小值为-2,， ∴抛物线的………………………………………… 1分

设抛物线的表达式为ya(x2)2，将O（0，0）或点A（4，0）坐标代入，解得a∴抛物线的表达式为y21 211（或yx22x） ………………………………… (x2)22，

223分

（本步亦可采用“两根式”或者“三点式”求解，正确即得分） （2）∵抛物线的表达式为y12x2x， 2∴设抛物线对称轴交x轴于点D， ∵顶点P坐标为（2，-2），∴点D坐标为（2，0）

∵A（4，0）， ∴△ADP是以ADP为直角的等腰直角三角形，DAP=45° 又∵ON∥PA ，∴NOA=45°

12a2a 2解得a6，∴点N的坐标为（6，6）

设点N的坐标为则a=

22∴ON6662 ……………………………… 7分 E y E N （3）抛物线上存在一个点E，

使得△EFO∽△AMN……………………… 8分 连接PO、AM，

∵点M在对称轴上，∴点M的坐标是 由（2）可知，NOA=45° MP⊥OA ∴△ODM≌△ADP，△ODM≌△ODP ∴ OM=AP，OM=OP， POM=90° 又∵ON∥PA，∴四边形OPAM是矩形

M F D A F O E P F x ∵ OM=OP，∴四边形OPAM是正方形…………………………9分 ∴OM= AM =22，MN=AN-OM=622242 ∴AM：MN=22：42 =1：2

∵△EFO∽△AMN

∴EF：FO=1：2或者EF：FO=2：1…………………10分

12， m2m）

2m1m①当点E在第一象限时， 或者2，解得m8或m5，此

121m2m2m22m225时点E的坐标为（8，16）或（5，）

2m1m②当点E在第二象限或第四象限时， 或者2解得m3，

12122m2mm2m223此时点E的坐标为（3，）

2设点E的坐标为（m，

综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有三个，分别是（8，16）、（5，

3.（本题满分12分）（原创）

如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为A（2，3），且经过点B（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当一条直线与抛线只有一个交点，且不经过抛 物线开口内部（即抛物线在直线的同侧）时，我们称这条 直线与抛物线相切．若经过点P（0，﹣6）的直线l且与 （1）中的抛物线相切 ，请求出直线l的表达式；

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，与直线l与 抛物线切点的距离之和最小？若存在，请求出这个最小值； 若不存在，请说明理由．

53）和（3，）．……………………………………………………12分 223.【答案】解：（1）由题意，得

b2a2a34a2bc3，解得b12． abc1c93x2＋12x－9 ……………………………………………………… 3分 ∴y－（此问亦设抛物线表达式为ya(x2)3 ，将点B（1，0）代入，解得a3，从而

23x2＋12x－9） 求得表达式为y3(x2)3，即y－（2）∵直线l经过点P（0，﹣6）且与抛物线相切，∴设直线l的表达式为ykx6，

2由题意得方程组ykx63x＋12x－9y－2 有且只有一组解………………………………… ４分

3x2＋(12k)x－3=0 －3x2＋12x－9＝kx6，即－△(12k)360 ，解得………………………… ６分

∴直线l的表达式为y6x6或y18x6…………………… ７分

(3)抛物线对称轴上存在一点，使得与直线l与抛物线切点的距离之和最小．…… 8分 由（2）可知，直线l的表达式为y6x6或y18x6

2解方程组y6x63x＋12x－9y－2与y18x63x＋12x－9y－2y

x11x21得，

y0y2412即切点的坐标为B（1，0）与D（-1，-24）…………… 9分 点B（1，0）关于抛物线对称轴x2的对称点的坐标 为C（3，0），连接DC，线段DC与抛物线的对称轴

的交点即为点M，………………………………………… 10分

过点D（-1，-24）作x轴的垂线，垂足为点E，

则DE=24，EC=4………………………………………… 11分

2222∴MB+MD=MC+MD=CD=DEEC =244=592=437 E B C M D ∴抛物线对称轴上存在一点M，与直线l与抛物线切点的距离之和最小，最小值为437． …………………………………………………………………………………………………12分

4．（本题满分12分）（原创）

已知，抛物线yaxxc经过点（-4，-5）与（2，-2）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）直线yx与抛物线的对称轴交于点A，与抛物线在第一象限内交于的点B， 过点A、点B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、点N，求△BON与△AOM的面积的比值； （3）若点P (t，t ) 在抛物线上，则点P就叫做这条抛物线的不动点．将（1）中的抛物线平移，使其只有一个不动点，试证明平移后的抛物线的顶点在直线yx1上． ．．

22y N O B A M x

4.【答案】解：（1）∵抛物线yaxxc经过（-4，-5）、（2，-2）两点，

12(4)a(4)c5a∴2，解得4 2•a2c2c5∴此抛物线的表达式为y

12xx5…………………………………………3分 4121xx5，∴当抛物线的对称轴为x2，

1424（2）∵抛物线的表达式为y∴点A的横坐标为-2，代入直线yx，得y2， ∴点A的坐标为（-2，-2），∴AM=2 ……………………4分 ∵点B是直线yx与抛物线在第一象限内交于的点，

y N O M B yxx25∴解方程组 ，得 12yxx5y254即点B的坐标为（25，25），∴BN =25……………………5分 A x

∵AM⊥y轴，BN⊥y轴，∴∠BNO=∠AMO =90°，

又∵∠BON=∠AOM， ∴△BON∽△AOM， △BON与△AOM的相似比 =

BN25=5 ，…………………………………6分 AM22∴△BON与△AOM的面积比值=(5)=5．…………………………………………7分

（3）证明：设平移后的抛物线的顶点M的坐标为（h，k），则平移后的抛物线的解析式为

12xhk，………………………………………………………………………8分 412∵ 将（1）中的抛物线平移，使其只有一个不动点，∴ 关于t的方程tthk有两

4y个相等的实数根，…………………………………………………………………………9分

∴ 方程t22h4th24k0的判别式2h44h4k0，……10分

22

整理，得 kh1， ………………………………………………………………………11分

∴ 顶点M（h，k）在直线yx1上． …………………………………………………12分

5．（本题满分12分）（原创）

如图，知抛物线的顶点为原点O(0，0)，且经过点A（-2，1），过A点的射线（与x轴不平行）在第一象限与抛物线交于点B，交y轴于点C，以AB为直径的圆经过原点O，过A、B两点分别向y轴作垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的表达式； （2）求点B的坐标；

（3）延长AM交抛物线于点F，交⊙P于点G，

①判断四边形NMGB的形状并说明理由； ②求线段AF与FG的比值．

N y B C A M O x5.【答案】解：（1）解：∵顶点为原点O(0，0)，且经过点A（-2，1）,

∴ 设此抛物线的表达式为yax2,代入点A（-2，1）,得(2)2a1 ,解得a∴此抛物线的表达式为y12x ………………………………………………3分 41 4

(2) 作AD⊥x 轴，垂足为点D，作BE⊥x 轴，垂足为点E，则∠ADO=∠OEB =90° 连接OA、OB， ∵AB为圆的直径，

∴ ∠AOB =90°，∠AOD =90°﹣∠BOE =∠OEB ∴△ADO∽△OEB ……………………4分 ADODy ∴ ， OEBE112N B 设（x0,x02）, 则，…5分 4x01x204解得x08 ，

1∴x02=16……………6分 4

即点B的坐标为（8，16）……………7分 C A M

（3）四边形NMGB是矩形……………8分 ∵AM⊥y轴，BN⊥y轴

F G E D O x ∴∠NMG =∠MNB= 90°

∵AB为圆的直径，点G在圆上 ∴∠MGB= 90°

∴四边形NMGB是矩形 ……………………………………………………………9分

∵点A的坐标是（-2，1），抛物线的对称轴为y轴，点F在抛物线上，且AF⊥y轴 ∴点F的坐标是（2，1）

∵四边形NMGB是矩形，B的坐标为（8，16）

∴点G的坐标是（8，1）…………………………………………………………10分

∴AF=4，FG=6 ……………………………………………………………………11分

11∴S△AFB：S△BFG=AF•BG： FG•BG=AF：FG=4：6=2：3 ……………12分

226．（本题满分12分）（原创）

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为H（

125，），且经过点P（2，4），交y轴于点24A，交x 轴于点B、点C（点B在点C的左侧）．

（1）求此二次函数的表达式； （2）求∠BAC度数；

（3）点M在线段AC上（不与点A、点C重合）由A开始向C运动，速度为每秒5个 单位长度，连接PM并延长交二次函数图象另一点Q，过Q作y轴的垂线段，垂足为点R，是否存在点Q使△QRO≌△AOC的点Q？若存在，请求出此时点M的运动时间；若不存在，请说明理由． y

6.【答案】解：（1）设抛物线表达式为ya(x)2从而求得表达式为y(x)2A H P M B O C x 1225 ，将点P（2，4）代入，解得a1， 41225，即y－x2＋x6……………………………… 3分 4

（2）令y－x2＋x60，解得x12，x23，即点B、C的坐标分别为（-2，0）、（3，0），

在y－x2＋x60中，令x0，解得y6，所以点A的坐标是（0，6）当时…………4分

∴AB=2640210，

AC=364535

BC=235 ……………………………………………………………………………… 5分 设△ABC中AB边上的高的长度为h，

由△ABC的面积不变可得AB·h=BC·AO，即210·h=5×6

222215，……………………………………………………………………………6分 1015h10 =2 =sinBAC=

2AC35∴BAC=45°……………………………………………………………………………7分

∴h=

（3）抛物线上存在点Q使△QRO≌△AOC的点…………………………………………8分

∵OB＜OC，OB＜OA

∴点Q只能是抛物线第四象限上的点，设点Q的坐标是（m，-m2+m+6） ∵△QRO≌△AOC

m3m6∴2或者2

mm66mm63

显然，当且仅当m3时成立，此时m2m66，即Q的坐标是（-3，-6）…………9分

设直线PQ的表达式为yk1xb1 ，则

k122k1b14，解得， ∴直线PQ的表达式为y2x 3kb6b0111设直线AC的表达式为yk2xb2，则

k223k2b20，解得 ∴直线AC的表达式为y2x6 0kb622b263y2x3x解方程组，得 ，即点M的坐标是（ ，3 ）……………10分 22y2x6y33由点M向x 轴作垂线，垂足为点N，则MN∥AO，点N的坐标为（ ，0 ），

2∴点N是线段OC的中点，线段MN是△AOC的中位线， ∴点M是线段AC的中点，AM=

351AC= …………………………………………11分

22353÷5 = 22∴点M的运动时间

3秒． 2综上所述，在点M运动的过程中，抛物线上存在点Q使△QRO≌△AOC的点，此时点M的运动时间

3秒．…………………………………………………………………… 12分 2y A H P M h B C O N Q R