第一章 直角三角形的边角关系
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为( )
123
A. B. C. D．1 2222．在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足sinC－
32
＋(－cosB)2＝0，则∠A的度数为
22
( )
A．100° B．105° C．90° D．60°
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，cosA＝，则AC等于( )
411
A．45 B．5 C. D.
545
4．在Rt△ABC中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值
( )
A．都没有变化 B．都扩大为原来的5倍
1
C．都缩小为原来的 D．不能确定
5
5．如图1－Z－1，过点C(－2，5)的直线AB与坐标轴分别交于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB的值为( )
图1－Z－1
2253A. B. C. D. 5322
6．如图1－Z－2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm，∠DOB＝100°，那么椅腿AB的长应设计为(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )
1
图1－Z－2
A．38.1 cm B．49.8 cm C．41.6 cm D．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 1
7．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝________．
4
8．如图1－Z－3，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝________．
图1－Z－3
3
9．如图1－Z－4，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的
5周长是________．
图1－Z－4
10．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图1－Z－5，在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为________米．
图1－Z－5
2
11．已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为D，且满足BD∶CD＝
32∶1，则△ABC的面积为________．
三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：
21sin45°＋cos230°－＋2sin60°. 42tan60°
2
4
13．(10分)如图1－Z－6，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AB＝22，CD＝8，tanA＝. 3求：(1)BD的长； (2)sinB的值．
图1－Z－6
14．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z－7，AD∥BC，坝高5
10米，迎水坡面AB的坡度i＝，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方
35
案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i＝.
6
(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长(结果保留根号)；
(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD方向加宽多少米．
图1－Z－7
15．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z－8所示．连接OA，此时OA＝75 cm，CB⊥AO，∠AOB＝∠ACB＝37°，且桌面宽OB与BC的长度之和等于OA的长度．求支架BC的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．
图1－Z－8
3
16．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z－9①，在底边BC
△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝.容易知道一个角的大小与这
AB腰个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)can30°＝________；
8
(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
5
图1－Z－9
4
详解详析
BC1
1．[解析] A ∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝.故选A.
AB22．[解析] B ∵sinC－
3232＋(－cosB)2＝0，∴sinC－＝0，－cosB＝0，则sinC＝
2222
23，cosB＝，故∠C＝45°，∠B＝30°，∴∠A＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 22
3．[答案] B
4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB的表达式是y＝kx＋b.
3－2k＋b＝5，k＝－，2根据题意，得解得
b＝2，b＝2，3
则直线AB的表达式是y＝－x＋2.
234
在y＝－x＋2中令y＝0，解得x＝. 2344
则点B的坐标是(，0)，即OB＝. 334OB32
则tan∠OAB＝＝＝.故选B.
OA23
方法2：过点C作CD⊥y轴于点D，∵C(－2，5)， ∴CD＝2，OD＝5.
∵A(0，2)，∴OA＝2， ∴AD＝OD－OA＝3.
CD2
在Rt△ACD中，tan∠OAB＝tan∠CAD＝＝.故选B.
AD3
6．[解析] C 连接BD，由题意得OA＝OB＝OC＝OD.∵∠DOB＝100°，∴∠DAO＝∠ADO＝50°，∠OBD＝∠ODB＝40°，∴∠ADB＝90°.又∵BD＝32 cm，∴AB＝≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 15
BD32
≈
sin∠DAO0.77
5
1
8．[答案]
2
[解析] 过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图，在Rt△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝AD1＝. OD29．[答案] 40
DE36
[解析] ∵DE⊥AB，垂足是E，∴△AED为直角三角形，则sinA＝，即＝，∴AD＝10，
AD5AD∴菱形ABCD的周长为10×4＝40.
10．[答案] 9
[解析] 过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE＝CD＝6米，AC＝DE.设BE＝x米．在Rt△BDE中，
∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝3BE＝3x米，∴AC＝DE＝3x米． 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°， ∴AB＝3AC＝3×3x＝3x(米)． ∵AB－BE＝AE，∴3x－x＝6， ∴x＝3，∴AB＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB的高度为9米． 11．[答案] 8或24
[解析] △ABC有两种情况：
2AD2
(1)如图①所示，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4.∵AD⊥BC，tanB＝，∴＝，∴AD
3BD328118
＝BD＝，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×＝8； 33223
2AD2(2)如图②所示，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12.∵AD⊥BC，tanB＝，∴＝，
3BD3211
∴AD＝BD＝8，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×8＝24.综上所述，△ABC的面积为8或24.
322
12．解：原式＝
22313
×＋()2－＋2× 42222×3133
＝＋－＋3 4465 3＝1＋.
6
6
4
13．[解析] (1)根据在△ABC中，CD⊥AB于点D，AB＝22，CD＝8，tanA＝，可以求得AD的
3长，从而可以求得BD的长；(2)由(1)中BD的长和题目中CD的长可以求得BC的长，从而可以求得sinB的值．
4CD4
解：(1)∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝8，tanA＝，∴tanA＝＝，解得AD＝6，
3AD3∴BD＝AB－AD＝22－6＝16.
(2)由(1)知BD＝16，∵CD⊥AB，CD＝8， ∴BC＝CD2＋BD2＝82＋162＝8 5，
CD85
∴sinB＝＝＝. BC8 55
14．[解析] (1)过点B作BF⊥AD于点F，在直角三角形ABF中求得AF，AB的长； (2)过点E作EG⊥AD于点G，延长EC至点M，延长AD至点N，连接MN. 由S△ABE＝S梯形CMND从而求得DN的长．
解：(1)如图，过点B作BF⊥AD于点F. 在Rt△ABF中，
BF5
∵i＝＝，且BF＝10米，
AF3∴AF＝6米，
∴AB＝102＋62＝2 34(米)．
答：原方案中此大坝迎水坡AB的长为2 34米． (2)如图，过点E作EG⊥AD于点G. 在Rt△AEG中，
EG5
∵i＝＝，且EG＝BF＝10米，
AG6
易得AG＝12米，BE＝GF＝AG－AF＝6米． 延长EC至点M，延长AD至点N，连接MN.
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S△ABE＝S梯形CMND ， 11∴·BE·EG＝(MC＋ND)·EG， 22即BE＝MC＋ND，
∴ND＝BE－MC＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD方向加宽3.3米．
15．解：延长CB交AO于点D，∴CD⊥OA. 设BC＝x cm，则OB＝(75－x)cm. 在Rt△OBD中，∵∠DOB＝37°， ∴OD＝OB·cos∠DOB≈0.8(75－x)＝(60－0.8x)cm，BD＝OB·sin∠DOB≈0.6(75－x)＝(45－0.6x)cm，
∴DC＝BD＋BC≈(0.4＋45x)cm.
7
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝37°，
∴AD＝DC·tan∠ACD≈0.75(0.4x＋45)＝(0.3x＋33.75)cm. ∵OA＝AD＋OD＝75 cm，
∴0.3x＋33.75＋60－0.8x＝75， 解得x≈37.5， ∴BC≈37.5 cm，
故支架BC的长度约为37.5 cm. 16．解：(1)3
(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵canB＝85，可设BC＝8x，AB＝5x，则BE＝1
2BC＝4x，
∴AE＝AB2－BE2＝3x.
∵S△ABC＝24， ∴1
2
BC·AE＝12x2＝24， 解得x＝2(负值已舍去)，故AB＝AC＝5 2，BC＝8 2， ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.
8
