专题训练(四) 探索规律的四种类型
► 类型一 探索数字的变化规律
探索数字的排列规律，关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用含所设字母的式子表示出来，从而解决相关问题．
1．已知一组数据，请写出第5个数，并用式子表示第n个数． (1)1，2，3，4，________，…，________； (2)2，4，6，8，________，…，________； (3)3，5，7，9，________，…，________； (4)1，4，9，16，________，…，________．
2．观察图4－ZT－1中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2019应标在( )
图4－ZT－1
A．第504个正方形的左下角 B．第505个正方形的左上角 C．第504个正方形的右下角 D．第505个正方形的右上角
3．如图4－ZT－2，在2019年8月份的月历表上，任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是( )
图4－ZT－2
A．a＋d＝b＋c C．a－b＝c－d
B．a－c＝b－d D．d－a＝c－b
4．将正整数依次按下表所示的规律排成4列，根据表中的排列规律，数2019应在( )
第1行 第2行 第3行 第4行 … A.第672行第2列 C．第673行第2列
第1列 1 7
第2列 2 6 8 12 第3列 3 5 9 11 第4列 4 10 B．第672行第3列 D．第673行第3列
► 类型二 探索单项式的变化规律
单项式的变化规律由系数、字母以及字母的指数确定，探索一组单项式的规律，其中字母通常是固定不变的，因此需要探索的是系数和字母的指数的变化规律，这可以转化为探索有理数的变化规律．系数的符号正、负或负、正交替出现时，其规律用式子(－1)n表示．
5．观察下面的一列单项式：－x，2x2，－4x3，8x4，－16x5，…，根据其中的规律，得出第10个单项式是( )
＋1
或(－1)n
A．－29x10 C．－29x9
B．29x10 D．29x9
6．观察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，…，按此规律写出的第10个式子是________．
x3x5x7x9
7．一组按照规律排列的式子：x，，，，，…，其中第8个式子是________，第
491625n个式子是________(用含n的式子表示，n为正整数)．
8．有下列单项式：－x，2x2，－3x3，4x4，…，－19x19，20x20，…. (1)你能发现它们的排列规律吗？
(2)根据你发现的规律，写出第2018，2019个单项式．
► 类型三 探索图形的变化规律
探索图形的变化规律有两种方法：一是从形着手，即比较前后图形的异同，找出由前一个图形到后一个图形的变化方式，从而确定图形的变化规律；二是从数着手，即分别计算出前面几个特殊图形的相关数据，然后探索这些数据的变化规律．
9．用棋子摆出如图4－ZT－3所示的一组图形： 按照这种规律摆下去，第个图形中棋子的个数为( )
图4－ZT－3
A．3n
B．6n D．3n＋3
C．3n＋6
10．2018·遵义每一层三角形的个数与层数的关系如图4－ZT－4所示，则第2018层的三角形个数为________．
图4－ZT－4
11．观察如图4－ZT－5所示的“蜂窝图”：
则第n(n是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n的式子表示)
图4－ZT－5
12．如图4－ZT－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中
部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n(n是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n的式子表示)
图4－ZT－6
13．观察下列砌钢管的横截面(如图4－ZT－7)，则第n(n是正整数)个图中的钢管数是__________．(用含n的式子表示)
图4－ZT－7
14．将一些半径相同的小圆按图4－ZT－8所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆……依此规律，第n(n是正整数)个图形中有__________个小圆．(用含n的式子表示)
图4－ZT－8
► 类型四 探索等式的变化规律
探索等式的变化规律时，要注意观察等式两边数据的个数，分析各数据间的数量关系，然后用字母表示这组等式．注意：当字母在指定的范围内取最小值时，所得等式要恰好是第1个等式．
15．已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，….根据以上等式，猜想：对于正整数n(n≥4)，1＋2＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝________．
22
16．已知2＋＝22×；
3333
3＋＝32×； 8844
4＋＝42×；… 1515
aa
若10＋＝102×(a，b为正整数)，则a＋b＝________．
bb17．观察下列等式： 第一行：3＝4－1； 第二行：5＝9－4； 第三行：7＝16－9；
第四行：9＝25－16； … …
按照上述规律，第n行的等式为_______________________．
18．观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，… (1)说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系； (2)利用上述规律写出第n个等式(n为正整数)．
教师详解详析
1．(1)5 n (2)10 2n (3)11 2n＋1 (4)25 n2
2．[解析] B 每个正方形上有4个数字，且4个数字从右下角开始逆时针由小到大排列，2019÷4＝504……3，则2019应标在第505个正方形的左上角的位置．
3．D
4．[解析] D 奇数行3个数依次递增，偶数行3个数依次递减，先确定2019在第几行，再确定它在第几列．因为2019÷3＝673，所以数2019排在第673行第3列．故选D.
5．B
6．[答案] 34x9
[解析] 从第二项起，字母的指数是连续的正整数；从第三项起，每一项的系数是它前面两项系数的和．所以第8，9，10项分别是13x7，21x8，34x9.
2n1
x15x
7．[答案]
n2－
[解析] 根据分子的底数都是x，而指数是从1开始的奇数；分母是底数从1开始的自然数的平方．
x2
因此第8个式子是×8－1
822n1
x2n1x15x15x
＝，第n个式子是2.故答案为，2. nn
－
－
8．解：(1)根据给出的单项式，得它们的排列规律为：每个单项式的系数的绝对值与x的指数相等，都等于自身序号数；奇数项系数为负，偶数项系数为正，所以第n项为(－1)nnxn.
(2)第2018，2019个单项式分别为2018x2018，－2019x2019.
9．[解析] D 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6；
第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9； 第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；… 所以第○n个图形中棋子的个数为3n＋3.故选D. 10．[答案] 4035 [解析] 由图可得， 第1层的三角形个数为1， 第2层的三角形个数为3， 第3层的三角形个数为5， 第4层的三角形个数为7， 第5层的三角形个数为9， ……
第n层的三角形个数为2n－1，
所以当n＝2018时，三角形的个数为2×2018－1＝4035.故答案为4035. 11．[答案] 3n＋1
[解析] 根据题意可知：第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“”，所以第n个图案中“”的个数为4＋3(n－1)＝3n＋1.故答案为3n＋1.
12．[答案] (4n＋1)
[解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4个，所以第n个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
3
13．[答案] n(n＋1)
2
[解析] 第1个图中钢管数为1＋2＝3，
1
第2个图中钢管数为2＋3＋4＝×(2＋4)×3＝9，
21
第3个图中钢管数为3＋4＋5＋6＝×(3＋6)×4＝18，
21
第4个图中钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝×(4＋8)×5＝30，
2…
1
依此类推，第n个图中钢管数为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋(n＋4)＋2n＝(n＋2n)(n＋
23
1)＝n(n＋1)．
2
14．[答案] (n2＋n＋4)
[解析] 由题意可知第1个图形中有小圆4＋1×2＝6(个)；第2个图形中有小圆4＋2×3＝10(个)；第3个图形中有小圆4＋3×4＝16(个)；第4个图形中有小圆4＋4×5＝24(个)；第5个图形中有小圆4＋5×6＝34(个)；第6个图形中有小圆4＋6×7＝46(个)……第n个图形中有小圆[4＋n(n＋1)]＝(n2＋n＋4)个．
15．[答案] n2
[解析] 观察发现：等式右边是等式序号数的平方． 16．[答案] 109
[解析] 仔细观察式子特点可知：3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故a＝10时，b＝102
－1＝99，则a＋b＝10＋99＝109.
17．2n＋1＝(n＋1)2－n2
18．解：(1)等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． n（n＋1）2(2)13＋23＋33＋…＋n3＝[]. 2
