高三数学综合测试

高三数学综合测试

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共

50分,在每小题给出的四个选项中,只有

一个选项符合题目要求的)

1.若

a1+i󰂬R,则实数a等于+

1+i2

(　　)

35　(A)1　　(B)2　　(C)　　(D)

2

2

2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,

|b|=1,则向量a与向量a+2b的夹角等于(　　)

　(A)150°　　　　(B)90°　(C)60°　(D)30°

3.函数f(x)=3sin2x-

π

3的图象为C,如

6.半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,

AC,AD两两垂直,则三个三角形面积之和

下结论中正确的是(　　)　(A)图象C关于直线x=　(B)图象C关于点　(C)f(x)在区间

--

π

6

对称

S&ABC+S&ACD+S&ADB的最大值为(　　)

π

6,

,0对称

　(A)4　(B)8　(C)16　(D)32

7.如图,设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,这个条件不可能是下面四

π

3

π5π内是增函数

1212　(D)由y=3sin2x的图象向右平移位长度可以得到图象C

个单

个选项中的(　　)　(A)AC⊥β　(B)AC⊥EF

　(C)AC与BD在β内的射影在同一直线上　(D)AC与α,β所成的角相等

4.执行如图的程序框图,如果输入a=10,b=

11,则输出的S=(　　)

1211109　(A)　(B)　(C)　(D)

13

12

11

10

5.已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,

满足OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则“x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的(　　)

　(A)充分但不必要条件　(B)必要但不充分条件　(C)充要条件

　(D)既不充分也不必要条件

8.设函数f(x)=xsinx在(0,+∞)内的全部

极值点按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,an,…,则对任意正整数n必有(　　)

・38・

第3期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高中数学教与学

　(A)-π

2

>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭

圆的离心率等于.

　(B)0π

2

π

2

2x-y≥0,

15.若实数x,y满足y≥x,

y≥-x+b

且z=2x+y

.

　(D)ππ32

2

2

的最小值为3,则实数b的值为

16.现有一批长度为3,4,5,6和7的细木棒,它

xy9.在直角坐标系xOy中,过双曲线2-2=

ab

们数量足够多,从中适当取3根,组成不同的三角形中是直角三角形的概率为.

1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x+y=a的一条切线(切点为T)交双曲线右支于

2

22

17.如图,把正三角形ABC分成若干个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点A为第一行,…,BC为第n行,记点A上的数为a1,1,…,第i行中第j个数为ai,j(1≤j≤i).若a1,1=1,

a2,1=

点P,若M为FP的中点,则|OM|-|MT|等于(　　)

　(A)b-a　(B)a-b　(C)10.设函数f(x)=-a+b2　(D)a+bx(x∈R),区间M

1+|x|

=[a,b](a11,a2,2=,则下列结论中正确的24(把正确结论的序号都填上).

是

有(　　)

　(A)0个　(B)1个　(C)2个　(D)3个二、填空题(本大题有7小题,每小题4分,共

28分)11.函数f(x)=x的值是

x+1,x≤0,-2x,x>0,.

n

　①a1,1a5,3=a3,1a3,3;

　②a3,1a4,2a5,3…an,n-2=a3,3a4,3a5,3…an,3　③a2009,1+a2009,2+a2009,3+…+a2009,2009=

122007

2

-

使f(x)=5的

142009

　④ai,i+ai+1,i+ai+2,i+…+an,i=2

an,i+1+an,i+2+…+an,n)

2

n

n-i

(an,i+

12.若(x+1)=a0+a1x+a2x+…+anx(n

.

3

∈N)且a1+a2=21,则在展开式各项系

数中,最大值等于

13.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图

都是边长为1的正方形,俯视图是直径为1的圆,那么这个几何体的侧面积为

.

三、解答题(本大题有5小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分14分)甲乙两个袋子中,各

放有大小和形状相同的小球若干.每个袋

14.直线x+2y-2=0经过椭圆

xy2+2=1(aab

2

2

子中标号为0的小球为1个,标号为1的2个,标号为2的n个.从一个袋子中任取两

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高中数学教与学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年

个球,取到的标号都是2的概率是　(1)求n的值;

　(2)从甲袋中任取两个球,已知其中一个的标号是1,求另一个标号也是1的概率;　(3)从两个袋子中各取一个小球,用ξ表示这ξ两个小球的标号之和,求ξ的分布列和E.

19.(本小题满分14分)如图,在直角坐标系xOy中,锐角&ABC内接于圆x+y

2

2

1.10

点C,求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值.

21.(本题满分15分)如图,在直角坐标系xOy

中,&AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)为正三角形,A1-1,0,|AiAi+1|=2i-1(i=

4

1,2,3,…,n…).

　(1)求证:点B1,B2,…,Bn,…在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程;

　(2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B′在y轴上,求直线l的方程;　(3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M,N,若MF=λFN(λ>0),抛物线C的准线n与x轴交于E,求证:EF与EM-λEN的夹角为定值.

=1.

已知BC平行于x轴,AB所在直线方程为y

=kx+m(k>0),记角A,B,C所对的边分

别是a,b,c.　(1)若3k=

sin2B的值;

2aca+c-b

2

2

2

,求cos

2

A+C2

+π　(2)若k=2,记∠xOA=α0<α<,

2πα+β)的值.∠xOB=βπ<β<3,求sin(

222.(本小题满分15分)已知函数

f(x)=

3+x2,0≤x≤3,1+xf(3),x>3.

20.(本小题满分14分)如图,已知平行四边

　(1)求函数f(x)的单调区间;

　(2)若关于x的方程f(x)-a=0恰有一个实数解,求实数a的取值范围;

　(3)已知数列{an}满足:0N,且a1+a2+a3+…+a2009=

3

形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=

a(a>0),M是线段EF的中点.

2009,若3

不等式f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+

f(a2009)≤x-ln(x-p)在x∈(p,+∞)

时恒成立,求实数p的最小值.

参

　(1)求证:AC⊥BF;

　(2)若二面角F-BD-A的大小为60°,求

a的值;

一、选择题

1.A;　2.D;　3.C;　4.B;　5.C;6.B;　7.D;　8.C;　9.A;　10.A

　(3)令a=1,设点P为一动点,若点P从M出发,沿棱按照M→E→C的路线运动到

二、填空题

11.-2;　12.20;　13.π;

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第3期　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高中数学教与学

14.

2591;　15.;　16.;　17.①④.5432

CnCn+3

22

DF=(-1,3,a),CA・BF=0.

所以AC⊥BF.

三、解答题

18.(1)=2;

(2)记“一个标号是1”为事件A,“另一个标号

=

n(n-1)1=,解得n

(n+3)(n+2)10

也是1”为事件B,所以

C2P(AB)1P(B|A)==2.2=()PA7C5-C3(3)随机变量ξ的分布列为

ξ

P

2

(2)平面ABD的法向量n=(0,0,1),设平面

3825

4425

0125

1425

2825

FBD的法向量m=(x,y,z),则DF・m=0,BF・m=0.

可取m=-a,-

2a3,1.

ξ=2.4.　　E

19.(1)变式得3

sinB11=,解得sinB=.

cosBcosB3

B|cos〈m,n〉|=a

2

|m・n|1=,

1・|m|2

=

937,a=.77

原式=sin2

BcosB=

2

+sin2B=

1-cosB+2sin2

(3)解法1　设AC与BD交于O,则OF∥CM,

所以CM∥面FBD.

当P点在M或C时,三棱锥P-BFD的体积的最小.

(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=

9+22;18

(2)解法1　∠AOB=β-α,作OD⊥AB于D,

β-αα+β

∴∠xOD=α+=,

22α+β11∴tan=kOD=-=-,

2k2α+β

2tan

24sin(α+β)==-.

52α+β

1+tan

2解法2　联立2

113××2×1sin120°=.326

解法2　设AC与BD交于O,则OF∥CM,所以CM∥面FBD.

当P点在M或C时,三棱锥P-BFD的体积的最小.易知DF⊥FB,故

S&BDF=

x+y

22

=1,

2

y=2x+m,

消去y,得

1FD・BF=210,2-25x+4mx+m-1=0.

2

平面FBD的法向量m=

CO=(0,

-1,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

4mm-1x1+x2=-,x1x2=.55sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=y1x2+x1y2=(2x1+m)x2+x1(2x2+m)=4x1x2+m(x1+x2)=-

3

,1,

3,0),点C到平面FBD的距离2

|CO・m|=

|m|

d=

3.10

4.5

x=-=

V=

13S&BDF・d=.36

20.如图,建立空间直角坐标系,(1)C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,3,0),F(0,3,a),B(-1,3,0)CA=(0,3,0),BF=(1,0,a),

21.(1)设Bn(x,y),则

12n-1+1+3+…+(2n-3)+421n-22

,　y=

3(2n-1).2

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高中数学教与学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年

由上面两式消去n,得y2=3x.所以点B1,B2,…,Bn,…在同一条抛物线y2=3x上.

(2)解法1　由(1)得B1

|OB1|=

f(3)=

3.5

13,所以,42方程f(x)-a=0恰有一个实数解,等价于直线y=a与曲线y=f(x)恰有一个公共点,所以

a=

13,4

10+33或者2009,当313=3,

因为点B′与点B1关于直线l对称,则

B′0,±13.

(3)因为a1+a2+a3+…+a2009=a1=a2=a3=…=a2009=

4

1时,有f3

∴所求直线方程为y=(23±13)x.解法2　设直线l方程为y=kx(k≠0).由(1)得B113,因为点B′与点B1是关,42此时f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2009)=

2009f13=6027成立.先证一般地,有f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+

f(a2009)≤6027.

于l的对称点,则B1B′⊥l,且B1B′的中点在l上.

(0,b),则有设B′

求函数f(x)=

31+b24=k・,22

3-b21=-,1k43+x1()处20≤x≤3在x=31+x

=-

的切线方程:k=f′13y-3=-

9,则切线为10

两式联立解得k=23±13.

∴所求直线方程为y=(23±13)x.

(3)设M,N在直线n上的射影为M′,N′,则有EM=EM′+M′M,EN=EN′+N′N.931(11-3x).,即y=x-101033+x3(11-3x)等价于(x-2≤101+x

而f(x)=

3)

1x-32

≤0成立.

由|MM′|=|MF|,|NN′|=|NF|及条件知

MM′=λNN′,所以当0f(an)≤

∴EM-λEN=EM′-λEN′.),∴EF⊥(EM-λEN).∵EF⊥(EM′-λEN′(定值).∴EF与EM-λEN的夹角为90°

3(11-3an),10

3[1110

所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2009)≤×2009-3(a1+a2+…+a2009)]=6027.

设g(x)=x-ln(x-p),则

(x)=1-g′

,且x>p.x-p

22.(1)当x>3时,f(x)=f(3)=

3是常数,5

不是单调函数;

3+x当0≤x≤3时,f(x)=2,求导,得

1+x(x)=-f′

2

(x+3)2-10x+6x-1=-.

(1+x2)2(1+x2)2

1(x)=0,得x=p+1,令g′

(x)<0,g(x)单调减;当p(x)>0,g(x)单调增.当x>p+1时,g′

当0(x)>0;10-3时,f′

所以g(x)的最小值为g(p+1)=p+1.要使不等式f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+

f(a2009)≤x-ln(x-p)在x∈(p,+∞)恒成立,

(x)=0;10-3时,f′

(x)<0.10-3所以,f(x)的单调递增区间是(0,

f(x)单调递减区间是(

10-3),

只需6027≤p+1,得p≥6026.

所以p的最小值为6026.

(试题系浙江省杭州市2009年第二次高

10-3,3).110+3,2

(2)由(1)知,f(0)=3,f(x)的最大值为f(

考科目教学质量检测数学试题(理),由浙江省富阳市新登中学(311404)于　锋提供)

10-3)=

2(10-3)

=

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