高中数学竞赛最后一张

时间8：00--------9：20 一：填空题：（每小题8分，共56分）

1；正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC中点，则二面角A—BO—E的大小为_______

2：函数f（x）=

xx12x23x4的最大值与最小值的乘积是_______________

123：：设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上递减。若f（f（logax）＞0，那么x的变化范围是________

）=0，

4：过椭圆

x23y22作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH1上任意一点P，

到Q，使得HQ=PH（≥1）．当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 ．

5：设Q(n)表示正整数n的各位数字之和，则Q(Q(Q(20092009))) 6：不等式

4x2112x22x9的解集为 ．

7：数列{an}满足an11n21(n1)2。。+a 2008=____________ 1，则a1+a 2+a 3+。

二：解答题（44分） 8：已知函数f(x)2xalnx

（1）若a＜0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有（2）若对任意x∈[1，e]，不等式f(x)≤(a3)x9：．已知椭圆的距离为

32xa22f(x1)f(x2)2122≥f(

x1x22)成立；

x恒成立，求a的取值范围

+

yb22=1（a＞b＞0）的离心率e=

63，过点A（0，－b）和B（a，0）的直线与原点

.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（－2，0），直线ykxt与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t＞0，都存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.

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10：已知数列{an}中的相邻两项a2k1,a2k是关于x的方程x2(3k2k)x3k2k0的两个根. （1）求数列{an}的前2n项和S2n. （2）记f(n)1612(|sinn|sinn3)，Tn=

（-1）f(2)a1a2+

（-1）f(3)a3a4+

（-1）f(4)a5a6+…+

（-1）f(n1)a2n1a2n，

求证：≤Tn≤

524（n∈N+）

二试（200分）

11：如图ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于是点H，直线ED和AB交于点M， FD和ＡＣ交于点N求证：

OBDF,OCDE,OHMN

12：（50分）

100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。

一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）

13：试找出最大的正整数N，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能

在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N。

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14：给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程：

nii1naij42j1(j1,2,3,,n)．

确定和式Si1ai2i1的值（写成关于n的最简式子）

一、 填空题：（每小题8分，共56分） 1； __120____2： __－1o

16_________3：： ___x200920101a或ax1____4：．5：5

6： ．7： ____

8：解：（I）.

f(x1)f(x2)2x1x2alnf(x1x22______

)2x1alnx12x2alnx222x1x22alnx1x22

alnx1x22aln(x1x22x1x2)aln2x1x2x1x20，

………（5分）

因为x1x22x1x2 所以2x1x2x1x22x1x2x1x21, ln2x1x2x1x2又a0， 故aln0，所以，

1222f(x1)f(x2)2f(x1x22)； …（10分）

（Ⅱ）因为f(x)(a3)x故2xalnx(a3)x12x对x[1,e]恒成立，

12xx，

2x， a(xlnx)第 3 页 共 8 页

1因为x[1,e],所以xlnx0，因而a2 ，……………………（15分）

xlnx1xx2设g(x)2 x[1,e]

xlnx(x1)(xlnx)(11x2xx2)(12xx)2(x1)(1因为g(x)(xlnx)1222(xlnx)x1lnx)，

当x(1,e)时, x10,x1lnx0，所以g(x)0，

又因为g(x)在x1和xe处连续 ，所以g(x)在x[1,e]时为增函数，

1所以ag(e)2eee12e2e2(e1)2 ………………………………（20分）

c6,a39：解：（I）直线AB的方程为bxayab0， 依题意得 

ab3.a2b22解得a3,b1， 所以，椭圆方程为

x23y1．……………………………（5分）

2（Ⅱ）将ykxt代入椭圆方程，得(13k2)x26ktx3t230，

由直线与椭圆有两个交点，

(6kt)12(13k)(t1)0， k2222t132，……（1） …………（10分）

设C(x1,y1), D(x2,y2)，则x1x26kt13k2，x1x23(t1)13k22，……（2）

以CD为直径的圆过E点，ECED0，即(x11)(x21)y1y2＝0，

22而y1y2＝(kx1t)(kx2t)＝kx1x2tk(x1x2)t，

(k1)x1x2(tk1)(x1x2)t10，将（2）代入，

22(k1)23(t1)13k222(tk1)6kt13k22t10，解得 k＝22t13t2，…………（15分）

k＝24t4t19t24，

4t4t19t24t132(t1)t9t22220，即 k＝2t13t2满足（1），

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所以，对任意的t0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点．……（20分） ………………（25分） 10：（I）解：方程x2(3k2k)x3k2k0的两个根为

x13k，x22， ………………………………（5分）

2nS2na1a2a2n(363n)(222)

k3n3n222n12． ………………………………（10分）

f(n1)(Ⅱ) 证明：Tn1a1a21a3a41a5a6(1)a2n1a2n，

所以T11a1a216，T21a1a21a3a4524． ………………………………（15分）

当n≥3时，

Tn161a3a41a5a6(1)f(n1)a2n1a2n≥1611 a3a4a5a6a2n1a2n1≥161622111111， ………………………………（20分） 3nn6622662同时，Tn5241925241a5a61a7a8(1)f(n1)a2n1a2n≤52411 a5a6a7a8a2n1a2n1≤3515111． 1nn24922492216≤Tn≤524综上，当nN时，

11：

． ………………………………（25

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法一：

证法二：（1）建立直角坐标系如果。设A(0,a),B(b,0),C(c,0) AB的方程：axbyab0 AC的方程：axcyac0

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13：

3.解 N=209。先证明

N≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20

×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N≤209。

再证N不能小于209。考察子集M1={1，2，…，91}和M2={300，301，…，400}，将凡是填有M1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。 设有i行和j列被染为红色，于是，M1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij≥91,从而i+j≥2色的行数与列数之和i'j'2

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ij≥2

91≥19.同理，被染为蓝

i'j'210120.

14： 解： S

12n121．

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