(完整版)一元二次方程知识点和经典例题

一元二次方程

一.基本概念

定义：形如：ax2bxc0（a0）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程(m1)xm12x3是关于x的一元二次方程，求m的值.

二.一元二次方程的解法

（1）直接开方法： ax2c0, 开平方求出未知数的值：xc a（2）因式分解法：x2(mn)xmn0,因式分解得：(xm)(xn)0 ∴x1m，x2n （3）配方法:3x212x60 ,得：x24x2,∴x24x(2)22(2)2即：(x2)26

∴x126，x226

（4）公式法：

解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a、b、c等各项系数

和常数的值；○3计算出b24ac的值；○4把a,b, b24ac的值代入公式;○5求出方程的两个根.

例题：解方程： x(x+12)=8x+12

解：原方程化简得：x24x120,方程中：a=1,b=4,c=-12

=b24ac=(4)2-4×1×（-12）=16+48=.∴x ∴原方程根为：x12，x2-6.

一元二次方程解法练习题：

（1）用直接开方法解一元二次方程：

448=24

2122222(3x4)(34x)1 (2x-1)=7 2 3(x3)1440 ○○○

（2）用因式分解法解一元二次方程：

13x(x1)x1 ○25x(x-3)=6-2x ○32(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4) ○

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4(x2)○

210(x2)250 ○5(x1)(x2)2x4 ○6(2x5)2(x4)20

（3）用配方法解一元二次方程：

○1x(x+4)=8x+12 ○26x2x120 ○3x22(21)x3220

（4）用公式法解一元二次方程：

13x○

25x20 ○5(x3)(x1)2 ○112x-33x+130=0

2

（5）选择适当的方法解下列方程:

○1(x2)29x2 ○2x22x99990 ○3(x101)210(x101)90

1131112[1x(x)]xx 4 5 6x(3x7)2xx6x90○○○222323

三.一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式：把b24ac叫做一元二次方程：ax2bxc0（a0）的根的判别式.

利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：

当0时方程有两个不相等的实根；(1)当0时方程有两个实数根； 当0时方程有两个相等的实数根；(2)当b24ac的值小于0时，即：0时方程无实数根.

例1.不解方程判断下列方程跟的情况：

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（1）2x28x80 （2）x24x120 （3）2x23x20 解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，=b24ac=(-8)2-4×2×8=-=0 ∵=0 ∴原方程有两个相等的实数根.

（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，=b24ac=(4)2-4×1×（-12）=16+48= ∵>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.

（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，=b24ac=(-3)2-4×2×2=9-16=-7

∵<0 ∴原方程无实数根.

例2.关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值

范围.

解：当m－1≠0时, 即：m1时，该方程是关于x一元二次方程.

∵原方程有实数根

∴0，即：Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋440

解得：m1111 ∴m的取值范围是m且m1. 77 例3. 求证：关于x的一元二次方程(k2)x2－2(k1)x＋k1＝0(k3)总有实数根. 证明：∵b24ac=[2(k1)]24(k2)(k1)4(3k)且k3，

∴总有0 ∴关于x的一元二次方程(k2)x2－2(k1)x＋k1＝0(k3)总有实数根.

四.一元二次方程根与系数的关系

1.定理：设一元二次方程ax2bxc0(a0且b24ac0)的两个根分别为x1和x2，则：

bcxx； x•x 1212aa特别地：对于一元二次方程x2pxq0，根与系数的关系为： x1x2p； x1x2q

注：○1此定理成立的前提是0．也就是说必须在方程有实数根时才可使用. ．．．．

2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。 ○

2.根与系数关系的应用举例

（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；

例1.已知关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根是2，求该方程的另一根.

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解：设方程的另一根为x1，则x1+2=-4，∴x1=-6 ∴方程的另一根为-6. 例2.已知方程4x211x60有一个根是2，求它的另一个根. 解：是它的另一个根是x1，则 2·x1=注：本题也可由x1+2=

113求出x1= 4447和，求这个方程. 52633，∴x1= ∴方程的另一根为. 444（2）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；

例3.已知一元二次方程的两根分别为

10x227x280.

例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数.

解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：x1+x25，

x1·x26∴这个一元二次方程为：x25x60，解这个方程得：x12，x23.∴所求

的两个数分别为2和3.

（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数；

例6.已知方程2x2kx90的一个根是3，求另一根及k的值.

例7.已知关于x的方程x23xm0的一个根是另一个根的2倍，求m的值.

（5）利用根与系数关系求代数式的值；

例8.若x1,x2是方程x22x20120的两个根，求下列各式的值：

①x12x22； ②

11； ③(x15)(x25)； ④|x1x2|． x1x2 注：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x12x22(x1x2)22x1x2，

xx2111， x1x2x1x2 |x1x2|(x1x2)24x1x2 (x1x2)2(x1x2)24x1x2，

x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)， x1x22x12x2x1x2(x1x2)

………根与系数的关系充分体现了整体代换的思想．

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（6）运用根的判别式和根与系数的关系解综合题

例9. 已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm20有两个实数根x1和x2．

1求实数m的取值范围； ○2当x○

212x20时，求m的值．

1例10.已知关于x的方程x2(k1)xk210，根据下列条件，分别求出k的值．

41方程两实根的积为5； ○2方程的两实根x,x○

12满足|x1|x2．

例11.已知一元二次方程x22xm0．

1若方程有两个实数根，求m的范围； ○

2若方程的两个实数根为x，x○

12，且x1+3x2=3，求m的值.

例12. 已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．

1求m的取值范围； ○

2设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值． ○

例14.已知关于x的一元二次方程x26xk20（k为常数）． 1求证：方程有两个不相等的实数根； ○2设x，x○

12为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值．

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