b5D．a6>b6
解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
3
由题可得d＝－1，q＝答案：A
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为
A．±42 C．42
( )
23，于是a2＝3>b2＝22. 2
B．－42 D．无法确定
解析：依题意得，S9＝9a5＝－36⇒b5＝a5＝－4，S13＝13a7＝－104⇒b7＝a7＝－8，所以b6＝±42.
答案：A
3．(2013·青岛模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是
A．(2,4)
14
－，－ B.33D．(－1，－1)
( )
1
－，－1 C.2
解析：由S2＝10，S5＝55，得 2a1＋d＝10,5a1＋10d＝55，
14
－，－与(1,4)平行．解得a1＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有 33答案：B
4．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于
( )
A．24 C．48
B．32 D．
an＋2＋
解析：依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n1，两式相除得a＝2，所以a1，a3，
n
a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32，又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝.
答案：D
5．(2011·上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 解析：∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则a4＝，…. a2
∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则比数列．
答案：D 二、填空题
6．(2011·江苏高考)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6 成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析：设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，
33由于t≥1，所以q≥max{t，t＋1，t＋2}，故q的最小值是3. 3
答案：3
7．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．
解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．
答案：2 000 三、解答题
An＋1an＋2
＝＝q，从而{An}为等Anan
An＋1an＋1an＋2an＋2A2a3A3＝＝为常数，即＝，AnanA1a1A2anan＋1
( )
111
8．(2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成a1a2a4
等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
11111
(2)对n∈N＋，试比较＋＋＋…＋与的大小．
a2a22a23a2na1解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 1211
由题意可知， a2＝a1·a4
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2. 因为d≠0.所以d＝a1＝a. 故通项公式an＝na.
111
(2)记Tn＝＋＋…＋，因为a2n＝2na，
a2a22a2n11n
1－
1122111
所以Tn＝2＋22＋…＋2n＝· aa1
1－211n. ＝1－
a2
11
从而，当a＞0时，Tn＜；当a＜0时，Tn＞. a1a1
9．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．
解：设从11月1日起第n(n∈N＋，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多， 则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的nn－1
首项为20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn＝20n＋·50＝25n2
2－5n.
从第n＋1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为
[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差为－30，项数为(30－n)，(30－n)日的患者总人数为
T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋
30－n29－n
×(－30)
2
＝(30－n)(65n－495)＝－65n2＋2 445n－14 850. 依题意有Sn＋T30－n＝8 670，
即(25n2－5n)＋(－65n2＋2 445n－14 850)＝8 670. 化简整理得n2－61n＋588＝0， 所以n＝12，n＝49，又1≤n≤30， 所以n＝12.
所以第12日的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570，
所以11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天新患者人数为570人． 10．(2012·南昌二校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的导函数f′(x)＝－2x＋7，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值；
(2)令bn＝2an，其中n∈N＋，求{nbn}的前n项和． 解：(1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b. 由f′(x)＝－2x＋7得：a＝－1，b＝7， 所以f(x)＝－x2＋7x.
又因为点Pn(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图像上，所以有Sn＝－n2＋7n. 当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8. ∴an＝－2n＋8(n∈N＋) 令an＝－2n＋8≥0得n≤4，
∴当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12.
综上，an＝－2n＋8(n∈N＋)，当n＝3或n＝4时，Sn取得最大值12. (2)由题意得b1＝26＝8，bn＝2bn＋11所以b＝. 2n
1
即数列{bn}是首项为8，公比是的等比数列．
2故{nbn}的前n项和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2
－n＋4
－2n＋8＝2
－n＋4
，
，①
1－＋－＋
Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2n4＋n×2n3，② 2
1－＋－＋
所以①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2n4－n×2n3，
2
1
16[1－n]
2－－
∴Tn＝－n·24n＝32－(2＋n)24n.
11－2
