跳水跳板的力学浅析

一， 问题背景

跳水作为一项传统体育项目，为众人所熟知。然而跳水这一简单的体育运动的背后却蕴含着复杂的力学原理。本组从跳水的基本器件跳水跳板出发，以材料力学的基本原理为指导，进行一些基本研究。

二， 解题思路及方法

（一），首先对跳板进行简化分析

1，研究构件：跳水跳板（起跳过程简化）=简支梁+悬臂梁 （说明：其中力F模拟运动员起跳时对跳板所施加的力，假设跳板受力瞬间不变形。）

aFAFlF A l alFBF l图一：跳水跳板受力简化 B a

2，分析其中的形变情况：

（1），弯曲内力分析：跳板的剪力图和弯矩图 MmaxFa FFa此处最危险！！！ Al A B l FlBFal a Fa T l －F+ M _ - Fa 图二：跳板的剪力及弯矩

F

（2），弯曲变形分析：跳板的挠度和转角 运动员起跳后，跳板发生强烈的形变，挠度和转角变化巨大 FA

备注：挠曲线近似微分方程：EIW``= -M(x) （3），弯曲应力的分析 θ θ θ F A l 图三：跳板的挠度及转角 FB B W a 跳板的强度条件 Mmaxmax WMmaxmaxW2bh W6根据最大弯曲 正应力公式 ：

（二），构件受冲击荷载作用时的动荷载因数计算

构件如图四（研究BC段跳板），假设板最大位移时仍在线弹性范围 内，则达到最大位移时减少的势能Ep， 将等于积蓄在板内的应变能Vd。

即：Vdh C P

Ep （1）

A l B a 最大位移减小的势能为：

d

EpP(hd) （2）

图四：构件受物体冲击作用

1Fda3应变能VdFdd 而板最大位移与冲击力的关系为d （3）

248EI148EI2V(3)d （4） 所以可以推出： d2a148EI2Pa31将（2）（5）代入（1）可推出：P(hd)(3)d(hd)2d

2a48EI2Pa3将用st替代，st为将冲击物的重量P当作静荷载时，板在被冲48EI2击C处的静挠度。于是将上式改写为：d2std2sth0

d(11由此解得d两个根，并取其中大于d的一个，即：

2h)st st

于是得到动荷载因数：

2hKd11st

三，例题分析

1，跳水板的具体尺寸如图所示，其横截面为矩形，尺寸为b = 0.5m，h = 0.05m，

跳板的弹性模量E = 70GPa ，比重γ = 25kN/m3，a = 3.2m，l =1.6m。

运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。设运动员体重G = 700N，最大弹跳高度H = 0.6m，取g = 9.8m/s2。

为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C端的最小距离s应大于0.5m。试确定运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）；不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，试计算跳板中的最大动应力；如考虑跳板质量，再次计算跳板中的最大动应力，并进行比较；如将运动员视为弹性体，则跳板中的最大动应力有何不同（定性说明）。

解：1，最小水平速度的求解

122HgtHt0.35(s) 2g0.50.714(m/s) 2v0t0.5v02t2，不计跳板质量，且视运动员为刚体时的最大动应力计算

受力分析如图： FA

x G=700N A B C

FB

w

l 2l

y

FB3GFA2G 且

M1(x)GxM(x)Gx3G(x2l)(0x2l)(2lx3l)

根据挠曲线近似微分方程可得：

EIW1``GxEIW2``3G(x2l)Gx11212`EIW1`Gx2C1EIW3G(x2xl)GxC22 222113132EIW1Gx3C1xD1EIW23G(xxl)GxC2xD2666``且当x=2l时有：W1W2W1W2

2Gl2C13G(2l24l2)2Gl2C2则有

4343433Gl2lC1D13G(l4l)Gl2lC2D2333C16Gl2C2D14GlD23 ......

当x=2l时 W10； x=3l时 W20

4Gl32lC1D103则有

9393G(l9l3)Gl33lC2D2O22代入式

84C1Gl2Gl32lC1D1033 则 D14Gl34Gl33lC1D1018EIW31Gx3Gl2x4Gl所以：634Gl3 且x0EIW4Gl3W1C,stEI0.03146(m)Ibh312

所以，此时动荷载因数为Kd112H7.2565 C,st 又因为Mmax2Gl2240(N•M)

所以最大动应力：MmaxmaxKdW78.02(Mpa)

3，考虑跳板质量时的最大动应力计算 本问利用叠加法计算挠度，

把跳板的质量视作加入一个大小为q的均布荷载,

受力分析如图：

FA q x

A B FB

l 2l

y

F3M(x)12(0x2l)由图可得 A2ql2qxF9

M(x)1B2ql2qx292ql(x2l)(2lx3l)

w

根据挠曲线近似微分方程可得：

191EIW3``qx2IEW4``ql(x2l)qx22221911EIW3`qx3C3 EIW4`ql(x22lx)qx3C4

62261911EIW3qx4C3xD3EIW4ql(x3lx2)qx4C4xD4242624当x=2l时：W`3W`4W3W4

则有：

C39ql3C4D4 ......③

36qlD4且当x=2l时 W30 当x=3l时 W40

2ql42lC 33D30则有： ......④

18ql43lC4D40C473联立③④可得： 324ql D133ql44所以：EIW1324qx447313424qlx4ql 4Wx013ql34EIIbh3 且比重25kN/m31213所以WW4Gl3ql4总1W3EI4EI0.06797(m) 此时动荷载因数为：K2Hd115.3191 st且Mmax2Gl2ql4240(N•m)

所以：EMmaxmaxKdW108.25(Mpa)

q625N/m

4，定性说明视运动员为弹性体时的最大动应力

如果为弹性体，部分能量会转换成人体的形变能，所以跳板的形变能减少，挠度变小，最大动应力减小。

五，综合作业之心得体会

跳板应用到了多方面的材料力学知识，如简支梁，悬臂梁；弯曲内力的分析，剪力图和弯矩图；弯曲应力的分析，强度条件；弯曲变形的分析，挠度和转角等。

通过对跳板的材料力学分析，充分认识到学以致用的重要性，真正能够把学习到的相关知识运用到现实生活中才达到了学习理论知识的目的。