⼩学数学《数学游戏》练习题（含答案）
数学游戏
我们在进⾏竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的⽅案，使⾃⼰获胜，这种⽅案就是对策.在⼩学数学竞赛中，常有与智⼒游戏相结合⽽提出的⼀些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都⽐较简单.但这类题的解答对我们的智⼒将是⼀种很有益的锻炼.这类问题也属于我们所说的“博弈问题”.
在数学游戏中有⼀类取⽕柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的⽅法也就不同.但不论哪种玩法，要想取胜，⼀定离不开⽤数学思想去推算.其核⼼思想有：逆推和对称分组.（⼀）智取⽕柴以及与其同类型的游戏中的取胜策略
【例1】桌⼦上放着60根⽕柴，甲、⼄⼆⼈轮流每次取⾛1～3根.规定谁取⾛最后⼀根⽕柴谁获胜.如果双⽅都采⽤最佳⽅法，甲先取，那么谁将获胜？
分析：我们采⽤逆推法分析这道题.获胜⽅在最后⼀次取⾛最后⼀根；往前逆推，在倒数第⼆次取时，必须留给对⽅4根，此时⽆论对⽅取1，2或3根，获胜⽅都可以取⾛最后⼀根；再往前逆推，获胜⽅要想留给对⽅4根，在倒数第三次取时，必须留给对⽅8根……由此可知，获胜⽅只要每次留给对⽅的都是4的倍数根，则必胜.现在桌上有60根⽕柴，甲先取，不可能留给⼄4的倍数根，⽽甲每次取完后，⼄再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双⽅都采⽤最佳策略的情况下，⼄必胜.同学们再想⼀想为什么⼀定要留给对⽅4的倍数根，⽽不是5的倍数根或其它倍数根呢？提问：（1）甲取⼏根，⼄取3减⼏根可以吗？不可以，那样的话，甲取3根，⼄就没法取了.（2）甲取⼏根，⼄取5减⼏根可以吗？不可以，那样的话甲取1根，⼄就没法取了.
所以关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两⼈紧接着的两次取⽕柴中，后取的总能保证两⼈取的总数是4.利⽤这⼀特点，就能分析出谁采⽤最佳⽅法必胜，最佳⽅法是什么.由此出发，对于例题的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的⽅法.
[前铺]桌⼦上放着10根⽕柴，甲、⼄⼆⼈轮流每次取⾛1～2根.规定谁取⾛最后⼀根⽕柴谁获胜.如果双⽅都采⽤最佳⽅法，甲先取，那么谁将获胜？
分析：如果获胜⽅在最后取得最后⼀根⽕柴，那么在倒数第⼆次取时，必须留给对⽅3根，要想留给对⽅3根，倒数第三次取时，必须留给对⽅6根.要想留给对⽅6根，倒数第四次取时必须留给对⽅9根，⽽甲每次取完都能留给⼄3的倍数根，所以在双⽅都采⽤最佳策略的情况下，甲必胜.
[拓展⼀]在例1中将“每次取⾛1～3根”改为“每次取⾛1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析：由例题的分析知，只要始终留给对⽅（1+6=）7的倍数根⽕柴，就⼀定获胜.因为60÷7＝8……4，所以只要甲第⼀次取⾛4根，剩下56根⽕柴是7的倍数，以后总留给⼄7的倍数根⽕柴，甲必胜.
由本题可以看出，在每次取1～n根⽕柴，取到最后⼀根⽕柴者获胜的规定下，谁能做到总给对⽅留下（1+n）的倍数根⽕柴，谁将获胜.
[拓展⼆]将例1中“谁取⾛最后⼀根⽕柴谁获胜”改为“谁取⾛最后⼀根⽕柴谁输”，其余不变，情形⼜将如何？
分析：最后留给对⽅1根⽕柴者必胜，按照例1中的逆推的⽅法分析，只要每次留给对⽅4的倍数加1根⽕柴必胜.甲先取，只要第⼀次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给⼄，甲必胜.
由此看出，在每次取1～n根⽕柴，取到最后⼀根⽕柴者为负的规定下，谁能做到总给对⽅留下（1+n）的倍数加1根⽕柴，谁将获胜.
[⼩结]我们可以把解决这类问题的⼀般⽅法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.
【例2】今有两堆⽕柴，⼀堆26根，另⼀堆28根.两⼈轮流在其中任⼀堆中拿取，取的根数不限，但不能不取.规定取得最后⼀根者为赢.问：先取者有何策略能获胜？
分析：本题虽然也是取⽕柴问题，但由于⽕柴的堆数多于⼀堆，故本题的获胜策略与前⾯的例题完全不同.
先取者在28根⼀堆⽕柴中取2根⽕柴，使得取后剩下两堆的⽕柴数相同.以后⽆论对⼿在某⼀堆取⼏根⽕柴，你只须在另⼀堆也取同样多根⽕柴.只要对⼿有⽕柴可取，你也有⽕柴可取，也就是说，最后⼀根⽕柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜.
请同学们想⼀想，如果在上⾯玩法中，两堆⽕柴数⽬⼀开始就相同，例如两堆都是28根⽕柴，那么先取者还能获胜吗？[拓展]甲、⼄两⼈轮流往⼀张圆桌⾯上放同样⼤⼩的硬币，规定每⼈每次只能放⼀枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后⼀枚，使得对⽅再也找不到地⽅放下⼀枚硬币的时候就赢了.说明放第⼀枚硬币的甲百战百胜的策略.分析：采⽤“对称”思想.设想圆桌⾯只有⼀枚硬币那么⼤，当然甲⼀定获胜.对于⼀般的较⼤的圆桌⾯，由于圆是中⼼对称的，甲可以先把硬币放在桌⾯中⼼，然后，⼄在某个位置放⼀枚硬币，甲就在与之中⼼对称的位置放⼀枚硬币.按此⽅法，只要⼄能找到位置放⼀枚硬币，根据圆的中⼼对称性，甲定能找到与这⼀位置中⼼对称的地⽅放上⼀枚硬币.由于圆桌⾯的⾯积是有限的，最后，⼄找不到放硬币的地⽅，于是甲获胜.
[拓展]有3堆⽕柴，分别有1根、2根与3根⽕柴.甲先⼄后轮流从任意⼀堆⾥取⽕柴，取的根数不限，规定谁能取到最后⼀根或最后⼏根⽕柴就获胜.如果采⽤最佳⽅法，那么谁将获胜？
分析：根据上⼀例题的解法，谁在某次取过⽕柴之后，恰好留下两堆数⽬相等的⽕柴，谁就能取胜.
甲先取，共有六种取法：从第1堆⾥取1根，从第2堆⾥取1根或2根；第3堆⾥取1根、2根或3根.⽆论哪种取法，⼄采取正确的取法，都可以留下两堆数⽬相等的⽕柴（同学们不妨⾃⼰试试），所以⼄采⽤最佳⽅法⼀定获胜.
【例3】两⼈从1开始按⾃然数顺序轮流依次报数，每⼈每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
分析：对照例1、例2可以看出，本例是取⽕柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8……2，所以要想获胜，应选择先报，第⼀次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对⽅，必胜。
【例4】两⼈轮流报数，但报出的数只能是1⾄10的⾃然数.同时把所报数⼀⼀累加起来，谁先使这个累加和达到100，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？
分析：这个问题可以倒着想，要想使总和先达到100，应该最后给对⽅留下多少个数呢？由于每个⼈报的数最⼤是10，最⼩是1，因此对⽅最后⼀次报完数后，总和最⼤是99，最⼩是90，所以最后⼀次应该给对⽅留下11个数，也就是说要先达到100，就必须先达到.如何抢到这个数呢？采⽤同样的分析⽅法可知，应先达到78.依此类推，可以得到每次报数应占领的“制⾼点”是：100，，78，67，56，45，34，23，12，1.所以获胜的策略是：（1）先报1；
（2）每次对⽅报a（1≤a≤10），你就报11-a.这样，每次你都能占领⼀个“制⾼点”，以确保获胜.
[说明]如果对⽅⼀定要先报数，那么你可以利⽤对⽅不懂得这个秘诀的条件，去占领下⼀个“制⾼点”，从⽽确保获胜.[拓展]如果游戏的规则改为“先达到100者输”，应如何制定“作战”⽅针呢？
分析：显然此时要想获胜，必须先达到99，重复上⾯的分析，不难得到每次应占领的“制⾼点”是：99，88，77，66，55，44，33，22，11.因此获胜的策略是：（1）让对⽅先报；
（2）每次对⽅报a（1≤a≤10），你就是报11-a.这样，最终的胜利⼀定是属于你的.
[⼩笑话]某天军训中，教练对同学说：“第⼀排报数！”⼩明惊讶地看着教练.教练很奇怪的⼜说了⼀遍：“第⼀排报数！”⼩明还是很⽆奈很惊讶地看着教练.教练⼜⼤声说了⼀遍：“第⼀排报数！”于是⼩明极其不情愿的⾛到⼤树前抱着树.
【例5】两⼈轮流数数，每⼈每次可以数1个或2个或3个，但是不能不数，例如第⼀个⼈数1，2，第⼆⼈可接着往下数，他可以数3，也可以数3，4，也可以数3，4，5，如此继续，谁数到100，谁就算胜。请试⼀试，怎样才能获胜？
分析：要抢到100，必抢到96，另⼀个⼈只能数97或数97，98或数97，98，99，怎样也数不到100。如何才能保证数96呢，由于每⼈每次数数可以数1个，2个或3个，⼜不能不数，所以数3个数有主动权，数3个以上的数就被动。按照规则，数到100才算胜利，必须抢到96，同理必须抢到92，88，84，⼀直下去，只要抢到4就⼀定能获胜。因此可知，只有先数者必败，后数者胜。
上述我们⽤的⽅法叫“倒推法”，倒推法是解其它数学问题的有效思路。把问题倒过来分析，或说从最后的结果出发，逐步向前推理常常会使你的思路更加清晰。（⼆）其它游戏中的取胜策略
【例6】有100个⼈站成⼀排，从左到右依次进⾏1，2报数，凡是报1的⼈离开队伍，剩下的⼈继续从左到右进⾏1，2报数，最后留在队伍中的⼈获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第⼏个位置？
分析：将这100个⼈从左到右依次编号为1，2，3，…，98，99，100．第⼀次报完后.剩下的是2的倍数， 2，4，6，8，10，…，96，98，100．第⼆次报完后，剩下的是4的倍数，4，8，12，16，…，92，96，100．第三次报完后，剩下的是8的倍数，8，16，24，…，80，88，96．第四次报完后，剩下的是16的倍数，16，32，48，，80，96．第五次报完后，剩下的是32的倍数，32，，96．第六次报完后，还剩下⼀⼈，也就是第⼈．所以要想获胜，应站在队伍中的第个位置.[数学趣题]神⽗的诡计
⼀艘不⼤的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位乘客⾯前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归于尽；要么牺牲⼀部分⼈的⽣命，把他们抛进⼤海，减轻船的载重量，船及其他⼈还有得救的可能，但是这样做⾄少得把⼀半以上的⼈抛进海⾥.⼤家都同意⾛第⼆条路，然⽽谁也不愿意⾃动跳进海⾥.乘客⾥有11个徒，其中⼀个是神⽗，于是⼤家就公推神⽗出个主意.奸诈的神⽗想了⼀下，就让⼤家坐成⼀个环形，并且从他依序报数，“1，2，3”，规定报到“3”的⼈就被抛进海⾥，下⼀个继续由“1”报起，同时声称这是上帝的旨意，⼤家的命运都由上帝来安排，不得抗拒.结果有14个⼈被抛进海⾥，⽽剩下的11个⼈全部都是徒.⼤难不死的其它10个徒突然醒悟过来，原来神⽗是⽤诡计救了他们.请你想想，这11个⼈应在什么位置，才可以避免被抛进海⾥去呢？
分析：神⽗只要让11个徒占领1、4、5、8、10、13、14、17、19、22、23这11个位置，就可以保证他们不被抛进海⾥.【例7】在⼀个6×5的棋盘上，甲、⼄⼆⼈轮流往棋盘的⽅格内放棋⼦．甲先放第⼀枚棋⼦，⼄只能在与这枚棋⼦所在格相邻的格内放棋⼦(相邻格指有公共边的两个格)．甲再放时⼜必须放在⼄刚放的棋⼦的相邻格内，以后照此规则放．谁⽆法放棋⼦时谁失败．那么谁会有必胜的策略呢?
分析：若甲有必胜的策略，则在甲放⼊第⼀枚棋⼦后，只要⼄能放，那么甲就能放；反之，若⼄有必胜的策略，则只要甲能放，⼄就能放．因本题中给出的是6×5的棋盘，可分成15个1×2的⼩块，如下图，有AA，BB两种，⽆论甲放⼊哪⾥的A或B⽅格中，⼄都放在同⼀⼩块的A或B⽅格内．所以⼄有必胜的策略．B B B BB B B B B B BB B B A A A A A A AA A A A A A AA A
[拓展]若本题中给出的是5×5的棋盘，则甲有必胜的策略．推⼴⼀下，若给的是奇数×奇数的棋盘，则先放棋⼦的有必胜的策略．否则，后放棋⼦的有必胜的策略．
【例8】 在下图的A 点有⼀枚棋⼦，甲先⼄后轮流⾛这枚棋⼦，每次必须向上或向右⾛1步或2步(⾛2步时可以拐弯)，最终将棋⼦⾛到B 点者获胜．甲有没有必胜的策略?
分析：因为每次⾛棋⼦必须向上或向右⾛，所以不管⾛什么路径，从A 到B的步数是定的，都是10步．⽽每次必须⾛1步或2步，因此，甲先⾛⼀次后，
每次可保证与⼄刚⾛的步数和为3，如⼄⾛1步，甲就⾛2步；⼄⾛2步，甲就⾛1步．这样，甲若想必胜，⾛完第⼀次后剩下的
步数必须是3的倍数，这
⼀点是可以做到的．所以甲有必胜的策略：甲先⾛1步，然后，若⼄⾛1步，甲就⾛2步；若⼄⾛2步，甲就⾛1步．[拓展]右图是⼀个4x6的⽅格棋盘，左上⾓有⼀枚棋⼦．甲先⼄后，⼆⼈轮流⾛这枚棋⼦，每⼈每次只能向下，向右或向右下⾛⼀格．如图中棋⼦可以⾛⼊A 、B 、C 三格之⼀，谁将棋⼦⾛⼊右下⾓⽅格中谁获胜．如果都按最佳⽅法⾛，那么谁将获胜?有什么必胜的策略?分析：要想最后⼀步⾛到右下⾓的⽅格1中，必须让对⽅倒数第⼆部⾛⼊⽅格1周围的三个⽅格2中．若想达到此⽬的，倒数第三步必须⾛到两个标“3”的⽅格中；倒数第四步必须让对⽅⾛到两个⽅格3附近的6个⽅格4中；倒数第五步则必须⾛到标“5”的⽅格中；依次类推，倒数第六步必须让对⽅⾛到标“6”的⽅格中；倒数第七步必须⾛到⽅格B 中．⽽棋⼦可⼀步⾛到⽅格B 中，因此先⾛的甲有必胜的策略：甲第⼀步先⾛⼊⽅格B 中，若⼄⾛⼊⽅格6中，则甲第⼆步⾛⼊⽅格5中；若⼄⾛⼊⽅格4中，则甲第⼆步⾛⼈⽅格3中．下⼀步⼄只能⾛⼊⽅格4或⽅格2中，甲第三步就⾛⼊⽅格3或⽅格l 中．甲⾛⼊⽅格1中即获胜；若甲⾛⼊⽅格3中，⼄只能⾛⼊⽅格2中，甲第四步⾛⼊⽅格1中获胜．因此，甲就必胜．
【例9】 有⼀个3×3的棋盘以及9张⼤⼩为⼀个⽅格的卡⽚，9张卡⽚分别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这⼏个数．⼩兵和⼩强两⼈做游戏，轮流取⼀张卡⽚放在
9格中的⼀格，⼩兵计算上、下两⾏6个数的和，⼩强计算左、右两列数的和，和数⼤的⼀⽅取胜，怎么才能获胜?分析：注意题⽬中的条件，⼩兵计算上、下两⾏6个数的和．即为a+b+c+f+g+h ；⼩
强计算左、右两列数的和，即为a+d+f+c+e+h ．现在看这两个和，其中a 、c 、f 、h 为重复项，对于⽐较⼤⼩来说没有意义，真正有意义的是⼩兵的b+g 和⼩强的d+e ，这⼏个数决定他们谁输谁赢，要想获胜就耍尽量把⼤的数填在⾃⼰⼀⽅，⼩的数填在别⼈⼀⽅，试⼀下就知道怎么填是必胜的了．B A h g f e d c b
a
假设⼩兵先填，把⼤的填在⾃⼰⼀⽅，填10，那么⼩强有两种对付⽅式：⼀种是将9填在⾃⼰⼀⽅，⼀种是将1填在⼩兵那⾥．若⼩强将9填在⾃⼰⼀⽅，则下次⼩兵将1填在⼩强那⾥，⼩兵必胜，从⽽⼩强须将1填在⼩兵那⾥，那么下次⼩兵只能将最⼩的3填在⼩强那⾥，还是⼩强获胜(再往⾃⼰的格⾥填9)，从⽽得到，先往⾃⼰的格⾥填⼤数是不可取的，并不能保证获胜，从⽽知，必须往别⼈的格⾥填⼩数．还是假设⼩兵先填，那么，他要把1填在⼩强的格⾥，那么，⼩强有两种应对⽅法：⼀种是把10填在⾃⼰格⾥，⼀种是把3填在⼩兵格⾥，若⼩强把10填在⾃⼰格⾥，则⼩兵把9填在⾃⼰格⾥，⼩强再填的话最少填3，⼩兵必胜．若⼩强把3填在⼩兵格⾥，则⼩兵把10填在⾃⼰格⾥，也必胜．从⽽，先填的⼈必胜.此题的策略为：先把1填在别⼈的格⾥．
【例10】两个⼈进⾏如下游戏，即两个⼈轮流从数列1，2，3，…，100，101中删去9个数，经过这样的11次删除后，还剩下两个数，如果这两个数的差是55，这时判第⼀个删数的⼈获胜，问谁能获胜?
分析：按照题⽬中的要求，剩下两个数的差是55，就判第⼀个勾数的⼈获胜，那么我
们就把差是55的数分组（1，56），（2，57），（3，58），（4，59），（5，60），…，（45，100），（46，101），还剩下47，48，49，50，51，52，53，54，55没有分组，即第⼀次若把这九个数去掉，剩下的数正好两个⼀组，每组数的差为55，剩下的⼯作就是要
如何保证剩下的都是成组的数，若对⼿接下来删去的9个数是每组⼀个，那么甲就把每个数成组的另⼀个数删去即可，剩下的还是成组的数，若对⼿删去的是⼀个组的两个数，外加7个单独的，那么甲便把这7个数成组的另外⼀个删去，再删去⼀组数，还可以保证剩下的都是成组的数；若对⼿删去的是2个组的4个数，外加5个单独的，我们便也⽤同样的⽅式，……不论对⼿怎样删，我们都能保证剩下的为成组的数，⼀共删了（101-2）÷9=11次，即可保证最后两个数的差为55，从⽽判第⼀个删数的⼈获胜.
1.（例1）桌上放着20根⽕柴，甲、⼄⼆⼈轮流取，每次可取1到3根，规定谁取到最后⼀根谁获胜．假设甲先取，那么谁⼀定获胜，如何获胜?
分析：⼄⼀定获胜.每次可取1～3根，则甲、⼄每轮所取的⽕柴之和总可以凑成4，例如，甲取1根，⼄就取3根；甲取2根，⼄就取2根；甲取3根，⼄就取1根，因为20是4的倍数，⽆论甲如何取，⼄总有相应的取法使得这⼀轮⾥⽕柴共被取⾛4根，因此，⼄必定可以取⾛最后⼀根⽕柴.
2.（例3）甲、⼄⼆⼈轮流报数，甲先⼄后，每次每⼈报1～4个数，谁报到第888个数谁胜.谁将获胜？怎样获胜？分析：3甲胜.甲先报3个数，以后每次与⼄合报5个数即可获胜.
3.（例4）甲、⼄⼆⼈轮流报数，报出的数只能是1⾄7的⾃然数.同时把所报数⼀⼀累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？
分析：采⽤倒推法．因为每次报1⾄7的⾃然数，所以要想报到80，应抢先报到72，给对⽅留下8个数；同理，要报到72，应抢先报到；以此类推，每次应抢报的数为80，72，，56，48，40，32，24，16，8．因此获胜的⽅法是：（1）让对⽅先报；
（2）对⽅报a （1≤a ≤7），你就报8-a ，必胜．
4. (例5)请你参加⼀种游戏：有1996个棋⼦.两⼈轮流取棋⼦，每次允许取其中2个、4个或8个．谁最后把棋⼦取完，就算获胜．如果你先取，那么第⼀次你取⼏个?先取的⼈有⼀个必胜的办法，如果你已想出这个办法，请写出来．
分析：如果你先取，那么第⼀次应该取4个，先取的⼈必胜的⽅法：先拿者每次拿后使剩下的棋⼦数能被3整除．这样，对⽅拿后剩下的数⼀定不能被3整除，由于8+4=12，4+2=6，因此先拿者再拿时⼜⼀定能使剩下的数被3整除．因为0能被3整除，所以先拿者必胜．
5. （例9）右图是⼀张3×3的⽅格纸，甲、⼄两⼈轮流在⽅格中写下2，4，5，6，7，8，9，10，11九个数字中的⼀个，数字不能重复．最后，甲的得分是上、下两⾏六个数之和，⼄的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜．如果甲先⼄后，那么甲有没有必胜的策略?
分析：观察右图，图中四个⾓的数是甲、⼄两⼈所共有的，所以胜负只与放在A 、B 、C 、
D 四个格内的数字有关．甲若想获胜，必须让A ，C 两格内的数字之和⼤于B ，D 两格内的数字之和．观察所给的九个数字，2+1l<4+10．因此，只要甲将2填⼊B 或D ⽅格中，以后⽆论⼄怎样填，甲第⼆次只要把10或1l 填⼊A 或C ，甲就必胜．所以甲有必胜的策略：甲先把2填⼊B 格，若⼄将1 1填⼊D ，甲就将10填⼊A ；若⼄将4填⼊A ，甲就将11或10填⼊C ，这样甲就必胜．D B A C
