15.16专题任老师

阅读与思考

1、求代数式的值

一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解

2、列方程组解应用题

不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程应用题的步骤类似，他们的不同之处在于：

首先，列方程所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此的方程来组成方程组，而列方程解应用题只需列出一个方程。 例题与求解

【例1】 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，并且18路公交车总站每间隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是---------------分钟。 （2013年“《数学周报》杯竞赛试题） 解题思路：根据同向行驶的相邻两车的间距保持不变，且小王行走速度和公交车行驶速度是固定的，列方程组分析。

【例2】如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积为（ ）

A、200平方厘米 B、300平方厘米 C、600平方厘米 D、2400平方厘米 （黑龙江中考试题）

解题思路：设每块长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，则根据图形可列出关于x,y的二元一次方程组。

【例3】某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内投进几个球人数分布情况。 进球n 投进n个球的人数 0 1 1 2 2 7 3 4 5 2 同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？

（上海市中考试题）

解题思路：已知两种进球情况下的人均进球数，根据平均每人投进的球数=投进总球数/总人数列出方程组。

【例4】某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需支付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合作10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的2/3,厂家需支付甲、丙两队共5500元。

(1) 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ (2) 若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。

（天津市中考试题）

【例5】有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根，共长36米，问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长多少米？

（天津市竞赛试题）

解题思路：三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整体思想等。

【例6】星期天，妈妈带着小丁去买了2斤苹果核6斤橘子，共用去12元，妈妈说：”上星期天也是买了2斤苹果核6斤橘子，也是花了12元，可是今天的苹果价格下调了，橘子价格上涨了，并且上涨和下调的幅度相同。”试求上星期天苹果核橘子每斤的价格。 （2013年七年级数学应用与创新竞赛试题）

解题思路：设上星期天苹果每斤x元，橘子每斤y元，价格调整的幅度为m,列出方程组。

能力训练 A级

1、若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需要------------元。

（浙江省绍兴市中考试题） 2、全国足球甲A联赛前12轮（场）的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜乙场、平一场、负一场分布的-------------分 大连万达队 上海申花队 北京队 胜场 8 6 5 平场 2 5 7 负场 2 1 0 积分 26 26 22 （江苏省南京市中考试题）

3、若x+2y+3z=14,4x+3y+2z=15,则x+y+z=

4、如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为

mnmn27m1n4xyxy是同类项，则m,n 的值分别为（ ） 5、已知 3A m=-,1n=-7 B m=3,n=1 C m=

2965n= D m=,n=-2 10546、某商店出售甲、乙两种商品，售价都是1800元，其中，甲商品能盈利20%，乙商品将

亏损20%，如果同时售出甲、乙商品个一件，那么（ ）

A 、共盈利150元 B、共亏损150元 C、不盈利也不亏损 D、以上答案都不对

（山东省竞赛试题） 7、方程x2y3xy11的整数解得个数是（ ）

A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个

8、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）

A 、甲比乙大5岁 B、 甲比乙大10岁 C、 乙比甲大10岁 D、乙比甲大5岁 （全国初中数赛试题） 9、某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒（如图①），利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等（如图②），现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于这种小盒，求可做成甲、乙两种小盒各多少个？

（上海中考试题）

10、某超市为“开业三周年”举行店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售，打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元，而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？

（乌鲁木齐中考试题）

11、项王故里的票价规定如下表： 购票人数 每人门票价 1~50人 5元 51~100人 4.5元 100人以上 4元 某校七年级甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则共付486元。

（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元？ （2）两班各有多少名学生？

（江苏省宿迁市中考试题）

12、甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求相互赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来各自的糖块数，依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，相互赠送后，每人恰好各有糖块，问三人原来各有糖多少块？

（天津市竞赛试题）

B级 1、设x,y满足x3y3xy19,2xy6，则x= y= （“希望杯”邀请赛试题）

2、《数理天地》（初中版）月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学七年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年的时，则共需订费1245元，则该中学七年级订阅《数理天地》的学生共有 - 人

（“希望杯”邀请赛试题）

3、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断的涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟抽完水，那么至少需要抽水机 - 台。

（全国初中数赛试题）

4、购买五中数学用品A1， A2 ， A 3, A4, A5 的件数和用钱总数如下表：

件数 品名 A1， A2 A 3, A4 A5 总钱数 第一次购件数 第二次购件数 1 1 3 5 4 7 5 9 6 11 1992（元） 2984（元

则五种数学用品各买一件共需 元

5、买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元，则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需（ ） A、20元 B、25元 C 、30元 D、35元

（江苏省竞赛试题）

6、在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）

（“希望杯”邀请试题）

A、28 B、27 C 、26 D、25

7、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传送给接收文，接收方收到密文后，解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a-2b，2a+b，例如1,2对应的密文为-3,4，当接收文收到密文是1,7时，解密得到的，明文是（ ） A、-1,1 B、1,3 C 、3,1 D、1,1

8、在车站开始检票时，有a（a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的。若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

（广东省广州市中考试题）

9、如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求x，y的值 （“希望杯”邀请赛试题）

10、编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号数的平均数等于原平均数加弹珠号码数的平均数也等于原平均数加

1，B中41，问原来在篮子A中有多少个弹珠？ 4（江苏省竞赛试题）

11、某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？

（2013年全国初中数学竞赛预赛试题）

专题16不等式（组）

客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：

1、解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性。

2、解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分。通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”。 例题与求解

2x5x53【例1】已知关于x的不等式组 恰好有5个整数解，则t的取值范围是

x3tx2（ ） A、6t11111111 B 6t C、6t D、6t 2222

(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）

解题思路：把x的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围 【例2】如果关于x的不等式(2mn)xm5n0的解集为x10那么关于x的不等式7mxn(m0)的解集为

（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）

解题思路：从已知条件出发，解关于x的不等式，求出m，n的值或m，n的关系。 【例3】已知方程组 xy2若方程组有非负整数解，求正整数m的值。

mxy6 （天津市竞赛试题）

解题思路：解关于x，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围。

【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c，求m的最大值和最小值。 （江苏省竞赛试题）

解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值。

【例5】设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7是自然数，且x1x2x3x4x5x6x7，

x1x2x3,x2x3x4,x3x4x5,x4x5x6,x5x6x7,又x1x2x3x4x5x62010求

x1x2x3的最大值。

（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口。

【例6】已知实数a，b满足1ab4,0ab1,且a-2b有最大值，求8a+2003b的值。 解题思路：解法一：已知a-b的范围，需知-b的范围，即可知a-2b的最大值得情形。 解法二：设a-2b=m（a+b）+n（a-b)=（m+n)a+（m-n)b

能力训练 A级 1、已知关于x的不等式

2mx4mx13的解集是x那么m的值是 324（“希望杯”邀请赛试题）

2、不等式组 x2a42xb5的解集是0x2，那么a+b的值为

（湖北省武汉市竞赛试题）

3、若a+b<0，ab<0,a（湖北省武汉市竞赛试题）

4、若方程组

xym2的解x，y都是正数，则m的取值范围 是

4x5y6m3 （河南省中考试题） 5、关于x的不等式ax3a3x的解集为x3，则a应满足（ ） A、a>1 B、a<1 C、 a1 D、a1

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）

6、适合不等式2x13x144x21的x的取值的范围是（ ）

7、已知不等式(mx1)(x2)0的解集3x2那么m等于（ ） A、

11 B、 C、 3 D、-3 33228、已知a0，下面给出4个结论：①a10；②1a0；③111111，④a2a2其中，一定成立的结论有（ ）

A 、 1个 B、2个 C、3个 D、4个

（江苏省竞赛试题）

x2y69、当k为何整数值时，方程组 有正整数解？

xy93k（天津市竞赛试题）

10、如果 x1是关于x，y的方程(axby12)2axby80的解，求不等式组y213x14的解集 bax3x3xa

3xa011、已知关于x的不等式组 的整数解有且仅有4个：-1,0,1，,2那么，适合这bx2个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？

（江苏省竞赛试题）

B级

1、如果关于x的不等式ax30的正整数解为1,2,3那么a的取值范围是 （北京市”迎春杯“竞赛试题） 2、若不等式组 xa0有解， 则a的取值范围是

12xx2（海南省竞赛试题）

3、已知不等式3xa0只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为

（”希望杯“邀请赛试题） 4、已知12x11则

21的取值范围为 x(“新知杯”上海市竞赛试题）

11cab2c6355、若正数a，b，c满足不等式组 abca，则a，b，c的大小关系是（ ）

23511bacb24A、a（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6、一共（ ）个整数x适合不等式x2000x9999 A、 10000 B、 20000 C、 9999 D、 80000

（五羊杯“竞赛试题）

7、已知m，n是整数，3m+2=5n+3，且3m+2>30，5n+3<40,则mn的值是（ ）

A、70 B、 72 C、 77 D、 84 8、不等式xx5的解集为（ ） A、x5555 B、 x C、 x D、 x 2222（山东省竞赛试题）

9、已知2x153x1x,求x1x3的最大值和最小值 32（北京市”迎春杯”竞赛试题）

10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若s=2x+y-z，求s的取值范围

（天津市竞赛试题）

11、求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使

12、已知正整数a，b，c满足a8n7成立。 15nk131111，试求a，b，c的值 abc