数学奥林匹克问题【高中071-080】

[高71] 试求一切数组(p,q,r), 满足下列条件： 1）p,q,r∈N, p≥q≥r; 2）p,q,r中至少两个质数。

(pqr)23）为正整数.

pqr[高72] 设P是△ABC内的任意一点，记BC,CA,AB三边长分别为a,b,c，PA=x,PB=y,PC=Z,则 a cosA + b cosB + c cosC ≤ x sinA + y sinB + z sinC. [高73] 设a,b,c为△ABC的三边，n为任意实数，求证：

c1nn2(ab)(anbn)2 abc4[高74]集合A={1,2,3,…1997}，对A的任意的一个999元子集X，若存在x,y∈X，使得x且x|y, 则称X为好集，求最大的自然数a(a∈A)，使得任一含有的999元子集都是好集。

23abc25. 16abbcca16abc[高76]已知 a≥b≥c>0，且a+b+c=3，求证：3Q, 其中 Q = | (a-1)(b-1)(c-1).|

cabBCA1[高77] 在△ABC中，求证：sin(A)sin(B)sin(c).

2228[高75]已知a,b,c为三角形的三边长，求证：[高78] 设 a1,a2,…an是满足

ai1n2iS的正实数，求证:

333ana1a2S a2a3ana1a3ana1a2an1n1[高79] 若四个圆都与第五个圆相切，第一与第二两个圆的外公切线的长用表示，其它中的两两的外公切线也用同样方法来标记，且以顺时针的顺序排列，试证明依次以为边长，以为

对角线所构成的凸四边形的四个顶点共圆。

[高80]在△ABC中，求证：cosA(sinBsinC)

26并指出等号成立的条件。 9