数学奥林匹克问题【高中081-090】

3sinnx3(2n1)4。 [高81] 设n∈N，且0nx，求证：

sinx32[高82] 设a1，a2，…，an 是非负实数，且满足

333a13a2a2a3anaa1nna127.

ai1ni4,n3. 试证：

[高83] 设是方程的正整数解（为正整数）数列满足，且（或）。求证：对任何，书恒为自然数。

33xn(x1x2xn)3x13x2. [高84] 设xi，yi∈R, I=1,2,3,…n. 试证：

y1y2ynn(y1y2yn)+

[高85] 已知 a,b,c是正数，且abc≤1，求证： 其中 Q = | (a-1)(b-1)(c-1).| [高86] 已知 u1=1, unabcabcQ, cab1,(n2)，若记Sn=u1+u2+…+un，求证: 2(u1u2un1)33n2Sn33n21.

33n2[高87] 设非钝角△ABC的垂心为H，三边之长为a,b,c. 试证：a2+b2+c2≥(AH+BH+CH)2并指出等号成立的条件。

[高88] 设△ABC的旁切圆半径分别为ra, rb, rc，求证:

[高] n∈N。

narabrbcrc23. rbrcrcrararb求证：

a2b2nb2c2nc2a2n(abc)22n2n4

[高90] 设a是方程x3+x-1=0的正实根，数列{F（n）}定义为： F（n）= [（n+1）a]，n=0，1，2，…。 求证：F（n）+ F（F（F（n-1）））= n或n+1，n∈N。