2016考研数学复习之微分方程(一)

2016考研数学复习之微分方程(一)

来源：文都教育

微分方程是考研高数当中相对也是比较的部分，但是和积分的联系是比较大的。所以，微分方程要想学好，首先积分要学好，否则微分方程算到最后都是在算积分。这一部分，根据以往考研真题来分析，每年都会考大题，并且选择题和填空题也同样会出一两道，所以课件本章的重要性，下面文都数学老师来总结一下本章的主要知识点和题型及做题方法。

常考的知识点有：(1)常微分方程的基本概念;(2)变量可分离的微分方程;(3)齐次微分方程;(4)一阶线性微分方程;(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程;(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程;(7)可降阶的高阶微分方程;(8)线性微分方程解的性质及解的结构定理;(9)二阶常系数齐次线性微分方程;(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程;(11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程

知识点总结：

一阶微分方程的分类及其解法

1． 变量分离微分方程 形如

dyf(x)g(y)的一阶微分方程，称为变量分离微分方程. dx解法：对变量分离微分方程，分离变量后两边积分

1g(y)dyf(x)dxC(g(y)0)，

便可求得其通解.

2. 可以化为变量分离方程的微分方程 （1）齐次微分方程.形如

dyyf(x,y)的微分方程中f(x,y)可以写成f(x,y)()dxx的形式，我们称这类微分方程为齐次微分方程.

解法： 对

dyyyf(x,y)()，做变换u，

xdxx1

则yxu，

dyduux，代入方程得 dxdxxdu(u)u，化为变量分离微分方程求解. dx（2）形如

dya1xb1yc1是可化为齐次的方程. dxa2xb2yc2解法：

情形1：若c1c20,则令方程化为齐次微分方程. 情形2：若

dya1b1c1（常数）k,则k,通解为ykxc.

dxa2b2c2情形3：若

a1b1c1kuc1dudy. ,则令ua2xb2y, 从而a2b2a2b2a2b2c2dxdxuc2情形4：方程化为齐次微分方程.Xxh,Yyk，其中h,k待定.

于是dXdx,dYdy，从而原方程化为

aXbYdY1a1hb1kc1. 1dXa2Xb2Ya2hb2kc2如果方程组a1hb1kc10有解，那么可以定出h,k，

a2hb2kc20dYa1XbY1，然后化为齐次微分方程求解. dXa2Xb2Y使上式变为

3. 一阶线性微分方程 形如

dyP(x)yQ(x)的微分方程称为一阶线性微分方程.如果Q(x)恒等于零，称方dx程为齐次的，如果Q(x)不恒等于零，称方程为非齐次的.

p(x)dx解法1：常数变易法.在求得其对应的齐次方程的通解yCe，将解中的常数Cp(x)dx变易为x的函数C(x).即y(x)C(x)e，其中C(x)是待定的函数，对

y(x)求y'(x)后代入原方程得 C'(x)Q(x)ep(x)dx，

2

两端积分后得 C(x)Q(x)ep(x)dxdxC1，

于是方程的通解为

p(x)dxp(x)dxdxC. yeQ(x)e解法2：直接用公式求通解

p(x)dxp(x)dxdxC. yeQ(x)e4．可以化为一阶线性方程的微分方程--伯努利方程 形如

dyP(x)yQ(x)yndx1n(n0,1)的微分方程称为伯努利方程. dzdy(1n)yn, 化原方程为 dxdx解法：做变量代换：zy,dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx这是一阶线性微分方程，可用上述一阶线性微分方程求出关于z的通解， 再将z换成y1n便可得到y的通解. 5 全微分方程

0若P(x,y)dxQ(x,y)dydu(x,y), 则称形如P(x,y)dxQ(x,y)dy的微分方

程为全微分方程.

解法：

uuP(x,y),Q(x,y),xy

由

uP(x,y), 得到u(x,y)P(x,y)dx(y), x再由

uP(x,y)dx(y)Q(x,y),yy推出(y)=？ (y)=？

故u(x,y)P(x,y)dx(y)=C为原微分方程的通解.

注：若方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0不是全微分方程，但如果方程两边乘上函数

(x,y)后可将方程化为全微分方程，我们称(x,y)为该微分方程的积分因子，该方程称

为具有积分因子的微分方程.

3

若

1PQ(x)dx ， (x)e 则有积分因子 (x),Qyx1PQ(y)dy. (y)e 则有积分因子 (y),Pyx若

以上是文都数学老师总结的，第一类型常考题型。一阶微分方程比较简单，总结的一共就以上几种类型，而且考试题型都是大同小异，所以完全可以讲解题方法死记硬背，也可以把本部分的题目做得很好，但是计算量比较大，希望同学们在计算过程中认真计算。

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