空间几何体的结构
教学目标：
掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．
掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征． 概括简单组合体的结构特征．
教学过程：
1． 几何体
只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素 (1)构成空间几何体的基本元素：
点、线、面是构成空间几何体的基本元素． (2)平面及其表示方法： ①平面的概念：
平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的． ②平面的表示方法：
图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的 符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．
深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．
(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：
①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．
②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．
③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义
一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面． 两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点． (2)棱柱的本质特征：
①两个底面是全等的多边形，且互相平行；
A1F1B1E1C1D1AFE②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行． (3)正棱柱
底面是正多边形，每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱．
4.棱锥 (1)棱锥的定义
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。由棱柱的一个底面 收缩而成的点叫棱锥的顶点。原棱柱的底面叫棱锥的底面。原棱柱的侧面收缩后的面 叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱． (2)棱锥的本质特征：
①有一个面是多边形； ②其余各面是有一个公共顶点的三角形． (3)正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥． 5.棱台 (1)棱台的定义
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱． (2)棱台的本质特征
①上、下底面平行，且是相似多边形； ②各侧面是梯形； ③各侧棱延长后交于一点． (3)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 6.多面体
(1)多面体的定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． (2)几面体：多面体有几个面就称为几面体． 7.圆柱 (1)圆柱的定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做圆柱． 如右图，旋转轴叫圆柱的轴；垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂 直于轴的边都叫做圆柱的母线． (2)圆柱的简单性质
BAA1B1DCD1C1①平行于底面的截面是与底面大小相同的圆； ②过轴的截面（轴截面）是全等的矩形； ③圆柱的侧面展开图是矩形．
8.圆锥
(1)圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，直角三角形旋转一周形成的几何体叫圆锥． 如右图，轴为SO，底面为O，母线为SA或SB,S叫做圆锥的顶点，OA(或OB) 叫底面O的半径，线段SO是圆锥的高． 顶点(2)圆锥的简单性质
①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面是全等的等腰三角形； ③圆锥的侧面展开图是扇形． 9.圆台 (1)圆台的定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的集合体叫做圆台． 如右图，旋转轴叫圆台的轴（即上、下底面圆心的连线）；在轴上这条边 的长度叫圆台的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；不垂 侧面于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置，这条边 都叫做圆台的母线． (2)圆台的简单性质
①平行于底面的截面都是圆面；
②过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形；
③圆台的侧面展开图是扇环． 10.球
(1)球的定义
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球． 如右图，半圆的圆心叫球的球心；半圆的半径叫做球的半径； CA半圆的直径叫做球的直径；半圆弧旋转而成的曲面叫做球面．
直径(2)球的简单性质
用一个平面去截球，截面是圆面，而且球心和截面圆心的连线 O垂直于截面，球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有下面 球面的关系：r=11.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 12.简单组合体
常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图（1）和（3）所示的组合体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图（2）所示的组合体.
AO底面BA'O'B'底面母线高、轴S侧面轴母线OBA底面半径球心BR2−d2
类型一 平面概念的理解
例1：下列说法中正确的是________．
(1)平行四边形是一个平面； (2)任何一个平面图形都是一个平面； (3)平静的太平洋面就是一个平面； (4)圆和平行四边形都可以表示平面．
解析：(1)不正确．我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的．
(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的，而平面是无限延展的，故没有大小．
(3)不正确．太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平的．太平洋只是给我们一种平面的印象． (4)正确．在需要时，除用平行四边形表示平面外，还能用三角形、梯形、圆等来表示平面． 答案：(4)
练习1：有下列结论：(1)平面是处处平直的；(2)平面是无限延展的；(3)平面的形状是平行四边形；(4)一个平面的厚度可以为0.001mm.其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
练习2：1．构成空间几何体的基本元素为( )
A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 答案： D
类型二 构成几何体的基本元素
例2：试指出下列各图中几何体的基本元素．
解析：此类题要联想到实物，正确理解概念，只有暴露在外面的部分才是面，像(1)中把中间的四边形误认为面就错了． 答案：由几何体的构成可知：
(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面； (2)中几何体有12个顶点，1棱和8个面； (3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
练习1：指出所给两个几何图形的面、顶点、棱，并指出它们分别由几个面围成，各有多少条棱？多少个顶点？
答案：(1)中，面SAB、面SBC、面SCD、面SAD、面ABCD，共5个，棱SA、SB、SC、SD、AB、BC、CD、DA，共，顶点S、A、B、C、D，共5个．
(2)中，面ABCD、面A1B1C1D1、面ABB1A1、面BCC1B1、面CDD1C1、面DAA1D1，共6个，棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1、A1A、B1B、C1C、D1D，共12条，顶点A1、B1、C1、D1、A、B、C、D，共8个． 练习2：下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面． 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B
例3：下列说法错误的是________(填序号)．
(1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面； (2)直线绕着一个点转动，只能形成曲面；
(3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离，其轨迹是长方体．
解析：(1)错误．水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．
(2)错误．直线绕一个点左右转动也能形成平面．
(3)错误．矩形上各点沿铅垂线方向移动相同的距离，其轨迹才形成长方体． 答案：(1)(2)(3)
练习1：如图所示，画出①②③中线段L绕着直线l旋转一周形成的曲面．
答案：
类型三 多面体与旋转体的问题
例4：下列几何体中是棱柱的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①③⑤为棱柱，故选C.
答案：C
练习1：下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 答案：A
练习2：棱柱的侧面都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．矩形 答案：B
练习3：给出下列三个命题，其中正确的有( )
① 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ② 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A
例5：下列说法不正确的是( )
A．圆柱的平行于轴的截面是矩形 B．圆锥的过轴的截面是等边三角形 C．圆台的平行于底面的截面是圆面 D．球的任意截面都是圆面
解析：当圆锥的母线长与底面圆的直径不相等时，过圆锥的轴的截面是等腰三角形，但不是等边三角形． 答案：B 练习1：(2014·江西丰城三中高一期末测试)半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的轨迹是( )
A．球 B．球面 C．球或球面 D．以上均不是 答案：B
练习2：(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)如图(1)所示的几何体是由如图(2)所示的哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的？( )
答案：A
例6：请描述如图所示的组合体的结构特征.
解析 : 将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断. 答案：图（1）是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；
图（2）是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体． 练习1：（1）说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？
(2)如图（1）、（2）所示的两个组合体有什么区别？
答案：(1) 图（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和一个圆锥拼接而成；图（2）中的螺帽可以近似看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体．
（2）图4（1）所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的组合体；而图（2）所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体． 练习2：（1） 如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征．
（2） 如图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°，说出它形成的几
何体的结构特征
答案：（1）如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．
（2）一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球．
1. 下面没有体对角线的一种几何体是
A 三棱柱 B 四棱柱 C 五棱柱 D 六棱柱 答案：A
2．下列平面图形旋转后能得到下边几何体的是
（1） (2) (3) (4)
A （1） B （2） C （3） D（4） 答案：A
3．下列说法中不正确的是
A 棱柱的侧面不可以是三角形 B 有六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图 C 正方体的各条棱都相等 D 棱柱的各条侧棱都相等 答案：B
4. 指出下图分别包含的几何体
（1） （2） （3）
（1） （2） （3）
答案：（1）球、圆柱（2）圆锥、圆柱、圆台（3）圆柱、长方体
5．用一个平面去截正方体，得到的截面可能是 、 、 、
、 边形。
答案：三角形、梯形、平行四边形、五边形、六边形 6. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )
A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 答案：B
7. 根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形. (2)由五个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的三角形. 答案：(1)根据棱柱的结构特征可知,该几何体为六棱柱.
(2)根据棱锥的结构特征可知,该几何体为四棱锥.
8. 下列命题中正确的有（ ）
A、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C、有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D、棱台各侧棱的延长线交于一点 答案：D
9、如下图，图（1）截得的下半部分是否为棱台？图（2）是否是棱柱？图（3）是否是棱台？
（1） （2） （3）
答案：（1）截面与底面不平行，故下半部分不是棱台；（2）不是平行移动，故不是棱柱； （3）侧棱的延长线不交于一点，故不是棱台. 10、如下图，分析下面几何体是由何种基本几何体构成的.
（1） （2） （3） 答案：（1）上面是棱柱，中间是棱台，下面是棱锥； （2）两个四棱锥； （3）上面是四棱锥，下面是三棱锥.
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基础巩固
1. 如图所示是平行四边形ABCD所在的平面，下列表示方法中不正确的是( )
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④AC；⑤平面α. A．④ B．③⑤ C．②③④ D．③④ 答案：D
2. 一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．
答案：③
3. 下列几何体中是棱柱的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
4. 下列关于长方体的说法中，正确的是________．
①长方体中有3组对面互相平行；
②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD、BC和AA1； ③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；
④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1平行且相等．
答案：①③④
5. 设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 以上命题中，真命题的是________．(填序号) 答案：④
6. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是( )
答案：D
能力提升
7. 斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C
8. 下列命题中，错误的是( )
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的 C．圆台的轴截面一定是等腰梯形 D．圆锥的轴截面是全等的等腰三角形
答案：B
9. 图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________(填序号)．
答案：①⑤
10．四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有_____个．
答案：4
11．下列命题中为假命题的是（ ）
A、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱 B、以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥
C、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥
D、以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥
答案：B
12．(2014·湖南邵阳一中月考)棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点 答案：C
13．（2015贵州六校联考）下列结论正确的是 ( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案：D
14. （2014·杭州模拟）下列命题中，不正确的是( )
A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 答案：B
15. 关于“两底面直径之差等于母线长”的圆台，下列判断中正确的有（ ）
A、是不存在的 B、其母线与下底面必成60角 C、其高与母线成60角 D、其母线与下地面所成的角不确定 答案：B
