修改：函数的奇偶性与周期性的教学设计

何春丽 2012-3-21 一．教材分析 1、教材的地位与作用

内容自人教版A版必修1第一章第三节;

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此 成为函数的重要性质之一。

奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

函数的奇偶性与单调性、周期性、对称性、抽象函数等是高考的重点考查内容，解决奇偶性，周期性，对称性综合性问题是学生的难点，多与抽象函数有关，这分成三课时，第一课时奇偶性的定义、判断；第二课时奇偶性与单调性的应用;第三课时奇偶性与周期性的综合应用。本节课是第一课时。 2、重点与难点

重点：函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断 难点：函数奇偶性概念的判断 3、学情分析

前面复习了函数的单调性，今天我们复习函数奇偶性,学生在以往学

习中，对函数图象的奇偶性有一定的认识，在复习函数的单调性方面，采用的是由形象到具体,由特殊到一般的方法,这一节课奇偶性也采用由形象到具体,由特殊到一般的方法学习。同学们以往在这部分学习中遇到的问题: 判断函数的奇偶性经常忘记求定义域；奇函数特殊的性质如“若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则有f(0)=0”比较不会应用；求对称区间解析式时，代解析式没有对应相应的自变量的取值范围；还有就是遇到抽象函数不知所措。 二．目的分析

教学目标知识与技能目标：

1、理解函数奇偶性的概念, 能利用定义判断函数的奇偶性 2、掌握奇偶函数的性质和图像特征 3、奇偶性的应用 过程与方法目标：

1、在复习奇偶性概念过程中，注意培养学生的类比，观察,归纳能力；

2、渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法

情感态度与价值观目标：

1、 培养学生勇于探究问题的精神，对数学研究的科学方法有进一步的感受

2、体验数学研究严谨性，感受数学对称美 三．教法、学法 教法 借助多媒体

结合本章的实际，及其高考的有关要求，重在应用、解决实际问题，本节课采用引导探究法进行教学，激发学生的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣。 学法

引导学生采用互相合作与自主探索相结合的学习方式，让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。 四．过程分析 （一）引入新课

1请同学们画出(1)f(x)x (2) f(x)

x2问题1：对于上述两个函数，一个奇函数一个是偶函数，我们来回忆一下，奇、偶函数的定义？ 问题2：函数

f(x)x2,x[3,2]偶函数吗？具有奇偶性的函

数的定义域有什么特征？

问题3：它们的图像分别具有什么特征？判断奇、偶函数的步骤？ （二）知识要点：

1、复习奇偶函数的定义及图象特征 奇偶性 奇函数 定 义 偶函数 设函数y=f(x)的定义域为D，任意 x属于D ,都有-x属于D . f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 关于y轴对称 图像特征 关于原点对称 判断 步骤 定义域是否关于原点对称. f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0 f(x)1(f(x)0) f(x)f(-x)=f(x) f(x)－f(-x)=0 f(x)1(f(x)0) f(x)2、奇、偶函数的性质

①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。(观察图象)

②若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则有f(0)=0

③函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。（定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。）

④在公共定义域上，两函数有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇÷奇＝偶，偶÷偶＝偶(分母不为零)．

结合定义讲评导与练中的“试一试”

1、f(x)3x3x与f(x)3x3x的定义域均为R，则（ ） A．f(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数g(x)偶函数

22、已知f(x)axbx是定义在[a1,2a]上的偶函数，那么ab=( )

A．1111 B． C． D． 33223、设函数f(x)与g(x)分别是R上偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）

A．f(x)+｜g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|+g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数

设计意图：复习奇偶性定义并指出其性质，讲评3小题练习以加深奇偶性定义的理解。

（三）例题解析： 一）函数奇偶性的判断 例1、判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)(1x)1x （2）f(x)log2(xx21) 1x（3）yx211x2

问题4：是否存在既奇又偶的函数？它是唯一的吗？

存在，有无穷多个，但解析式经过化简后都 是f(x)=0，定义域可以

是关于原点对称的任一数集。

x22(x0)2lg(1x)f(x)f(x)0(x0)（4） （5） 2|x2|2x22(x0)分析：判断奇偶性步骤：⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(－x)与f(x)的关系；

☆ 小结：1、判断奇偶性步骤

2、分段函数的奇偶性分段判断

3、在分析f(x)与f(x)的关系时，经常需要对f(x)的解析式进行等价变形。

奇函数偶函数根据奇偶性,函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数变式练习：导与练P12

3f(x)x判断下列函数的奇偶性：1)

1x 2)

f(x)x2x3

3)

f(x)2x112x 4)

4x2f(x)

|x3|3x22x1(x0)f(x)2

x2x1(x0) 5)

二）、用奇偶性求函数的表达式

2x例2、f(x)是定义在R上的奇函数，当x(0,1)时， f(x)x则f(x)41在(1,1)上的解析式为__________

☆ 小结：利用函数的奇偶性可以求关于原点对称区间上的函数的表达式．

练习：(1)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝

xx2，则 x≤0 时，f(x)＝_______；

(2)已知函数 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当 x∈(－∞，

40)时，f(x)＝xx，则当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________. 三）、奇偶性的应用

例3、（1）（2011湖北卷）若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex,则g(x)=（ ）

A exex B (exex) C (exex) D (exex)

(2) （2009重庆卷）若f(x)1a是奇函数，则a ． x21121212(3)偶函数f（x）在（-∞,0］上是增函数，若f（a）≤f（2），则a的取值范围是（ ）

A.（-∞,2］ B.［-2,+∞）

C.［-2,2］ D.（-∞,-2］∪［2,+∞）

(4)已知奇函数 f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若 f(m－1)＋f(2m－1)>0，求实数 m 的取值范围．

☆小结：抓住奇、偶函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝. 练习:

1、导与练P12

2、（2010山东文数）（5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb（b为常数），则f(1)

（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3

3、(2005重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且

f(2)0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 （ ） (A) (,2)； (B) (2,)； (C) (,2)(2,)； (D) (2,2)。

4、已知偶函数f(x)在区间[0,)上单调增加，则满足f(2x1)f()的

值范围是_______________

13x的取

5、若函数f(x)loga(xx22a2)是奇函数，求实数a的值.

设计意图：奇偶性的应用是高考常考知识点，考查形式主要是用奇偶求函数值等，常与单调性等结合考查。

五、课堂小结 1、奇偶函数定义

2、奇偶函数图象特征 3、奇偶函数性质及其应用 判断奇偶函数的步骤 用奇偶性求对称区间解析式 六、板书设计 一、定义 七、作业 A组：

1给出四个函数①f(x)lg1x ②ylg(1x)lg(1x) 1x1、 奇函数 2、 偶函数 3、 图象特征 4、 判断奇偶性步骤 二、例题解析 例1、 小结 例2 小结 例3、 小结 课堂小结 布置作业 ③ylg[(x1)(x1)]④ylg(x1)lg(x1)其中奇函数是______偶函数是______

2、已知函数yf(x)在R是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则x0时，f(x)的解析式为_______________

3、若f(x)2x2xlga为奇函数，则实数a_____

4、函数（fx）=ax2bxab是区间［a-1,2a］上的偶函数，则a=_b=_

5、已知f（x）=x3 +bsinx+1（b≠0）.若f（-3）=5，则f（3）= .

B组（选做）

1、已知函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)＝x2－2x－1. 1)若 f(x)为 R 上的奇函数，求 f(x)的解析式；

2)若 f(x)为 R 上的偶函数，能确定 f(x)的解析式吗？说明理由。

1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若2、定义在[1，f(a2a1)f(4a5)0，求实数a的范围。

3、（05山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（ ） （A）f(x)sinx（B）f(x)x1（C）f(x)1x2xxaaf(x)ln（D） 22x4、（2008·福建卷）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R）,若f（a）=2,则 f（-a）

的值为（ ）

A. 3 B. 0 C. -1 D. -2

第3课时 对称性与周期性

1、f(a+x)是偶函数f(a+x)=f(a－x) f(x)=f(2a－x)f(x)关于x=a对称。

ab f(a+x)=f(b－x) f(x)关于x=对称。

22、y=f(b+x)奇函数 f(b－x)= －f(b+x) f(x)关于(b,0)成中心对称图形。

ab f(a+x)=f(b－x) f(x)关于（，0）中心对称。

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