数学教学通讯 控稿 ｌ箱ｓ￣ｊｋ＠ｒｉｐ １６：３ ｃｏｍ 例谈特征根方程求解线性递推数列 戴培红 江苏南通市通州区金沙中学［摘要］特征根方程是求解线性数列通项中必备的知识［关键词］数列；特征方程；线性；二阶；分式 ２２６３００ ，将数列问题通过特征方程转换为可求解的通式模 ． 型．本文简要介绍特征方程原理的来源，并例谈解决线性数列中使用特征方程的作用数列通项求 ｔｆｔ．仃儿类数列通 项求 难度较大．往 涉及觅赛数学『ｆ１ 的知 ．特征方程求斛数列通顺 是其 ｆＩ１一类．住不少稍难数列通项求解过程 ｆｆＪ，需要用到特征方 的原理．但是笔 ，４：～２｛ｚ｝ｑ－ｘ２ Ｊ合并同类项，可得： ： （ “ ） （１Ｉ） ＝ ， ＝（』４＋Ｈｎ）ｄ ，｛ Ｊ／３＝ 。 ． Ｉ－一－ ． ＝Ａａ＂＋Ｂｆｌ＇７， Ｐ： 证明：（Ｉ）其中， ｑ＝ｌ时，由ｐ—ｑ＝ｌ， 得：ｐ＝１ ，代入递归式，易得：Ｘｎ＝ＸＩ＋ Ｑ（ｄ ）’ （４）② Ｂ： ｔ二 者发现很多教师只讲特 程的运用 ！ 二 ！ 二 ¨＿ Ｊ１－ｑ ＪＢ（ ） 许不讲原理的来源．这是典型的应试教 育、灌输式教育，是不妥的．『太Ｉ此笔者认 为先要讲清原理的来源，才能真ＩＦ体会 特 程原理的作用 （ （Ⅱ）其中，，一ｑ≠Ｉ时，当ｐ—ｇ≠１时 若 一ｔ ｆ ＝０有两相同实根ｄ ，则 由（Ｉ）式可得：Ｘ，，－呲 ＝（ ：一 ） （５）， 整理（５）式： ， ＝ ｌ＋（ ２—０２ｔ＂１）ｄ，ｆ！，两边同 受（Ｉ）启示，设原递归数列能表示为 叭 （ ．Ｉｍ眦 ２）（，』≥３），整理得： ） ｎ－Ｉ－（啦Ｙ ，与原进归式比较系数 Ｉ ＋８＝ｐ． 除以 ： ＝ 一．｛＿￣２－Ｏｄ ｄ” ，Ｌ１．１，因此 ｝以 ｌ Ｏ／“Ｉ 、 二阶线性特征方程原理 得：｛ 可见ｄ，ＪＢ是方程，－ｐｘ＋ｑ＝０ Ｘ 为首项 ＝ｑ，【 定理：没，Ｊ，ｑ为实数， ， 足 ＩＩ 一 ． 为公差的等差数 一 （ ）的两根（实虚均可）①． ｐｘ＋ｑ＝０ｆｌ￣Ｊ＇两个实根， 数列 的前 若 １Ｊ ＋ｑ＝（）有两不同实根０ｆ， ， 项为 Ｊ， ２，日 满足 ＝， ¨＿一ｑｘ （， 呲 ｌ （ ，卜Ｉ一叭 ２）一－，递推之得：ｚ 得： ：ｆ ２ａａ： １３．４．…），证明：数列； ：的通项公 为 Ｉ ４： 二 ！ （． －－ＯＬＩ．１）（Ｊ），同理： ＝ ・ ｆ４ Ｖ２书 １ （ ＋Ｂｎ）ａ ，其中： （ 母 ）（２），联立（１）（２）两式解得： ：（６）．综上 Ｘ２－－Ｏ／Ｘ —（ ）’ （Ｉ） ≠卢， ＋ ，｛ Ｊ Ｄ ｊ Ｊ—Ｉｔ。， ：卢（ ］Ｂ） 等‘＋（＿蛳 ㈩， 并 （４）（６），定理证毕 ７６ ＞２０１７年第６期（下旬） 数学 学ｍ￣投稿邮箱ｌｔ． ！ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｒｎ 征方程的运用 从二阶线性特征方程定理的理解 来看，不难发现 ， 代表的含义是其特 征方程的两根，从上述定理可知，很多 通项公式 ７ｔ＋４ 分析：教材中的问题比较特殊．可以 用珥Ｌ＋２—２ ＝３（‰。一２ ）整体性构造来解， 但是并不具备一般性．因此我们可以从 特征方程角度入手获得问题解决的一 般性 二堕ｍ＋—— 令 ： ＋４２ａ．＋７ ，２ｔ＋５ ，解之得 一１、２，代 ’入上式得０￣＋１－１＝３＂ ａ．－１，％＋ ＋２＝９‘ 类似的竞赛问题中的答案就不难看懂 了，为什么可以简化为类似的过程． 运用一：二阶线性递推数列 盟．两式相除得 ：一１． ＿＿ｌ＿即 ．２ ７ １＋２ ３ ２ 解析：特征￣￣ｘ－５ ＋６＝０两根为 ＝ ２，／３＝３，所以，由 ≠ＪＢ时特征定理，％：Ａ・ ｛磊 为 ＝｝公此为 的等 比 易得 从上述线性递推数列的解决中．我 问题１： ，ｇ为实数， ，卢是方程 。一 ｐｘ＋ｑ＝Ｏ的两个实根，数列｛Ｘｎ｝满足 Ｘ２ ２＿， ２ ，又ｑ， 一１ ＿２（ ＝３，４，…），求数 （三 ： ：≥ Ａ：～—２１— ． ● 列 ｝的通项公式（用 ，／３表示）． 分析：本题与定理几乎一致。我们 可以从定理的结论入手．直接使用验证 定理的正确性． 曰＝三３ 们不难发现稍难的数列通项问题求解 的一般化规律．笔者认为教学可以弓 导学生关注下列几个方面：第一，线性 递推数列是具备模型化的数列．必然 ． 所以， ｆ一 一２伊 运用二：分式线性递推数列 解析：（Ｉ）当 ≠卢时，因为 ： ２＿ｑ， 有相对应的特征方程与之对应．二阶 分式线性递推数列的求解与二阶 ｌ＝ｐ， 所以 ２＝０ 斗 ＋０ ， １＝ ＋ ， 线性递推数列和分式线性递推数列是 高考数学、竞赛数学常常考查的热点 （一阶线性比较容易），成为必备掌握 的两种基本模型；第二，学习特征方程 的作用是给优秀学生开拓思路．理解 数列通项变化中隐含的不变性．为解 决其他各种陌生问题提供可借鉴的思 类似．利用转化将未知模型通过加减参 Ａ：竺垒！： ： ｌ＿． ０ｆ（ — ） （ －－／３） －卢 ，数使其转换为等差数列、等比数列模 所以 ＝ Ｒ一似１ ２一 一／３ 型，其也有固定的求解公式模型，因推 ／３（￣－／３）／￣（ａ－／３） 一 导过程类似及本文篇幅．故推导不赘述． Ａ ｏｔｎ＋鼢： ’ — ＋旦 ： ： ］ 。． ／３一 ＿１８ 笔者通过一例简要分析 问题３：设数列｛％｝满足口。＝２，％＋ｌ＝ ５甜 ４ ２ａ．—＋７’水 （１Ｉ）当 ＝／３时，所以 ２＝３ ， Ｉ＝２ａ， Ａ－—２ｔＸａ；ｌ－Ｘ２： ：１． —Ｏ／‘ 路；第三，重视等差数列和等比数列的 基本知识、基本技能。并将整体化思想 所以 ＝ ＋Ｂｎ）ａ ＝ Ｂ：．￣ｘ２－ａｘ： ：１． 分析：分式线性递推数列是更难的 一种数列模型．通过特征方程找到其显 贯穿于通项求解的始终．将这种不断 变形、不断转化的想法融入线性数列 通项求解中．达到顺利求解的目的．最 后，笔者想说要学会运用特征原理，更 （ｎ＋１） 综上（Ｉ）（ＩＩ）所述，数列｛‰｝的通 一 著特征，利用整体性思想换元切入，转 换为等比或等差数列模型是解决分式 项公执 【（ｎ＋１） ， ＝ 递推数列的一般化模型 解析：对等式两端同加参数 得： ＋ ５ａ．＋４￡：＋ ：—要懂得特征原理的来源．学知识不能 只记公式而不去了解过程．否则知识 问题２（教材课后练习）：数列｛ ｝满 ￣＋７ｔ＋４（２ｔ＋５）ａ—：足：Ⅱ１＝１，ａｚ＝４，且 ＋２＝５％＋广６ａ．，求｛ａｎ｝的 ２ａ￣＋７ ２ａ￣＋７ ｆ２ ＋５）． 、 永远达不到融会贯通的地步． ２０１７年第６期（下旬）＜ ７７
