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梯形面积优秀教案【梯形的面积教案】

来源：五一七教育网

梯形面积优秀教案【梯形的面积教案】

梯形的面积教案

一、教学目标

1．在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。

2．引导学生在自主参与探索的过程中，发现并掌握梯形的面积计算方法，能灵活运用梯形面积计算公式解决相关的数学问题。

3．结合数学“再创造”过程，培养学生观察、操作、比较等逻辑思维能力与初步的科学探究能力。

4．通过小组合作学习，培养学生合作学习的能力。

二、教学设计

（一）新知探索

（一）呈现实际情境，感受计算梯形面积的必要性

师：孩子们，这是一幅堤坝的图案，知道堤坝有什么作用吗？

生：它是用来防水灾的。

师：对了，它是一种防水拦水的建筑物，请看，这是它的横截面，这个横截面是个什么图形吗？

生：梯形。

师：堤坝横截面是梯形是因为水的压强随深度增加而增大，因此在筑堤坝时要将下部做的又宽又厚，这样既能防止强大的水压将堤坝压垮，又节省材料！你还记得梯形各部分的名称吗？

生：上底，下底，还有高。

师：那么这个堤坝的横截面积到底该怎么计算呢？今天，让我们共同来研究。（板书课题：梯形的面积）

师：你认为我们该从哪儿入手研究呢？想想我们在学习三角形的时候是怎么开始的？

生：可以象三角形那样把梯形转化为学过的图形。

师：孩子们学得真好。我有个建议，发挥小组的力量，共同合作探究。

（二）提供材料，自主探究图形的转化过程

1、提出小组合作的要求

师：听清楚老师的要求：

a.利用你们手上的梯形学具，思考能把梯形转化成已学过的什么图形。

b.想：拼成的图形和原来的梯形有什么关系？

2．自主探究，合作学习

（学生小组合作讨论，动手操作，教师巡视参与并给以适当的指导。让部分小组上黑板展示）

3．全班汇报交流

师：同学们已经用不同的方法把梯形转化成了我们学过的图形，哪一个小组愿意先上来给我们讲一讲。

生1：我们小组的方法是用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。这个平成的平行四边形的底就是梯形上底加下底的和，高还是原来梯形的高，所以梯形的面积是平成的平行四边形的一半。

生2：我们用的是两个完全一样的直角梯形，拼成的是一个长方形，长方形的长是梯形的上底加下地的和，长方形的宽是梯形的高，梯形的面积是这个长方形的一半。

生3：

4．公式的推导

师：（展示教具）对了，用两个完全一样的梯形可以平成一个平行四边形，梯形上、下底的和等于拼成后平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半。

生：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

（教师板书梯形面积计算公式）

师：我再请一位孩子来流利的说出这种推倒的方法。

生：有没有小组是其他的办法的？

生：我们小组用的是割补法，就是沿梯形高的一半分割成两个梯形，再转化成平行四边形。高是原来的一半了，所以推导出梯形的公式。

生3：我们是把一个梯形剪成了两个三角形，利用乘法分配律，用三角形的公式推出梯形的公式。

师：同学们介绍了各种推导方法，你们都推出了梯形的面积。这可是我们大家智慧的结晶，我们的同学真了不起！

师：如果用s表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形面积的计算公式应怎样表示？

板书：s=（a+b）h÷2

师：谁来说说，想算出大坝横截面的面积应该知道什么条件呢？

梯形的面积教案

课题

单元

梯形的面积

共 6 课时课时第 6 课时主备人姓名学校赵玉玲学校七一小学

二

课型

新授

授课时间

使用人姓名

1.使学生理解并掌握梯形面积的计算公式，能正确地应用公学习目标式进行计算。 2.通过操作，培养学生的迁移类推能力和抽象概括能力。 3．培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，发展空间观念，引导学生运用转化的思想探索规律。学习重难点课前准备重点：理解并掌握梯形的面积计算公式。难点：理解梯形面积计算公式的推导过

程。

两个完全一样的梯形。

导学过程

一、温故互查： 1.计算下面图形的面积。(单位：厘米) 三角形：底：4 高：3 高：4 平行四边形：底 6 什么要必须知道哪些条件?为什么要

面是一个平面。②生试做。③订正。提问：你是怎样想的?为什么要

曲边梯形面积教案

1.5.1曲边梯形的面积教案

青冈一中高洪霞一：教学目标

知识与技能目标

理解求曲边图形面积的过程：分割、近似代替、求和，取极限。感受在其过程中渗透的思想

过程与方法

通过对曲边梯形的分割理解求曲边梯形面积的原理。

情感态度与价值观

培养学生建立分割的思想和极限的思想。

二：教学重难点

重点掌握过程步骤：分割、近似代替、求和、取极限

难点对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解

三：教学过程：

1．创设情景

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？

这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

一个概念：如果函数y把函数y课讲授

f(x)在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就

f(x)称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2．新

问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线

yf(x)的一段，我们把由直线

xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的图形

称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？

例1：求图中阴影部分是由抛物线y面

x，直线x1以及x轴所围成的平面图形的

积S。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？

（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．

0.1

把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小

曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯

形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：（1）．分割在区间

0,1

上等间隔地插入n

1个点，将区间

0,1

等分成n

112n1，，„，,,1 nnnn

记第i个区间为

i1i

,(i1,2,,n)，其长度为 nnx

ii11 nnn

分别过上述n别记作：

1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分S1，

S2，„，

Sn 显然，S

（2）近似代替

记fxx2，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间

i1i

,nn

上，可以认为函数f似的等于

xx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近

左端点

处的函数值n

i1f，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小

i1i

用小矩形的面积Si近似的代替Si，,上，

曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间即在局部范围内“以直代取”，则有

i1i1i11SiSifxx

1,2,,n) ①

nnnn

（3）求和

由①，上图中阴影部分的面积Sn为

i1i11

SnSifx

ni1i1i1nn

12n

111nn

22 12n1=0=

1n1n2n1111=11 3

n63n2n

从而得到S的近似值 SSn（4）取极限

111

11 3n2n

分别将区间大时，即

0,1等分8，16，20，„等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷

x趋向于0时，Sn

111

11趋向于S，从而有 3n2n

1111i11

SlimSn

lim1

flim11 nnn3nnn2n

3．求曲边梯形面积的四个步骤:

第一步：分割．在区间间

a,b中任意插入n1各分点，将它们等分成n个小区

xi1,xii1,2,,n，区间xi1,xi的长度xixixi1，

第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．

第三步：求和．

第四步：取极限。

说明：1

2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值

四：课堂小结

（

“以直代曲”的思想）

五：课后作业

求y2xx,y0,0x2围成图形面积

《梯形的面积》教案

教学内容：

青岛版小学数学五年级上册P88——P91 信息窗3 红点2 第2课时教学目标：

1、理解梯形面积计算公式，并会计算梯形的面积。

2、能运用梯形的面积计算公式解决简单的实际问题。

3、经历探索梯形面积计算公式的过程，培养观察、比较、推理和概括能力，渗透转化思想，发展空间观念。

4.在解决问题的过程中，感受数学和生活的密切联系，体会数学的乐趣。教学重难点：

教学重点：理解梯形面积计算公式，并能运用梯形的面积计算公式解决简单的实际问题。

教学难点：用“转化”的方法推导梯形的面积公式。

教具、学具

教师准备：多媒体课件、

学生准备：直尺、剪刀、两个完全一样的梯形纸片，一般梯形。

教学过程：

一、拟定导学提纲，自主预习

（一）创情板题示标导学

1.创情板题

师：同学们，前面我们学习的平行四边形，三角形的面积公式是怎样推导出来的？

师：同学们能不能用学过的这些方法，设计一种推导方案，推导出梯形的面积计算公式呢？

板书课题：梯形的面积

2.出示目标

师：本节课要达到以下学习目标（课件出示）：

［1. 理解并掌握梯形面积公式，会计算梯形的面积。 2. 会正确、较熟练的运用公式计算梯形面积，并能解决一些生活中的实际问题。］

3.自学指导

过渡：目标明确了，有没有信心达到？

学生：有

要达到本节课的学习目标，需要靠大家的努力，请看自学指导。

（出示自学指导）

［自学指导：认真看课本88——页内容，重点看第二个红点中的内容，思考：1、怎样才能把梯形转化成已学过的图形？2、如何求梯形的面积？3、如果用s表示梯形的面积，a表示梯形的上底，b表示梯形的下底，h表示梯形的高，梯形的面积公式该如何表示呢？4、信息窗3中里1号甲鱼池的面积是多少平方米？

5分钟后，比一比谁汇报得最清楚］

师指名读自学指导

（二）看一看

师：下面请同学们根据“自学指导”开始自学，比一比谁看书最认真，谁自学效果最好！（师目光巡视每一个学生）

二、汇报交流，评价质疑

1．调查

师：看完的同学请举手，看会的请把手放下。

2.小组交流。把自己的想法在小组中交流一下，请大家充分发表自己的意见。教师走到学生中间参与讨论，了解学生的合作情况，并特别关注学困生的发言情况。

3．全班汇报

（1）师引导：哪个小组说一说你们组的意见。

预设一：

把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底是梯形的上底与下底的和，高是原来梯形的高。

因为平行四边形的面积=底×高，

所以梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 。

质疑：梯形面积为什么要除以2 ？

生释疑：因为拼成的平行四边形的面积是原来一个梯形面积的2倍。预设二：

先把梯形上下底对折，找出梯形两腰的中点，再把两点用直线连接起来，然后按上图所示，剪下梯形的上半部分，并拼成平行四边形。

因为平行四边形的面积=底×高，

所以梯形面积=（上底＋下底）×高÷2 。

质疑：为什么要除以2 ？

生释疑：因为拼成的平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高是原梯形高的一半。

预设三：

先把梯形上下底对折，找出梯形一腰的中点，沿中点做另一腰的平行线，然后按下图所示，剪下阴影部分，并拼成平行四边形。

因为平行四边形的面积=底×高，

所以梯形的面积=（上底＋下底）÷2×高。

质疑：上底加下底的和为什么要除以2 ？

生释疑：因为拼成平行四边形的两个底之和正好等于梯形上下底之和。预设四：

先把梯形上下对折，找出梯形腰的中点，然后按照下图所示，剪下阴影部分，并拼成一个三角形。

从上图可以看出：把梯形剪拼成三角形，三角形的底就是梯形的上底与下底之和，三角形的高是原来梯形的高。

因为三角形的面积=底×高÷2 ，

所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2 。

三、抽象概括，总结提升

师谈话：通过大家的努力，我们解决了如何求梯形面积的问题，而且还想出了多种解决梯形面积的方法。我们再来比较一下，看看你有什么发现。

师：谁来说一说,怎样求梯形的面积？要求梯形的面积必须知道哪些条件？生说师强调并板书：梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2 。

师：如果用字母怎样表示梯形的面积呢？

生说师强调并板书：S=(a＋b)×h÷2 。

师：谁来说一说，怎样计算1号甲鱼池的面积？

生：因为1号甲鱼池是一个梯形，根据梯形的面积计算公式可列式为：（80＋100）×60÷2

=180×60÷2

=10800÷2

=5400（平方米）

答：1号甲鱼池的面积是5400平方米。

四、巩固应用，拓展提高

（一）.考一考

师：同学们学会了吗？下面老师就来考一考大家，你们有信心接受挑战吗？

出示题目：（1）计算下面梯形的面积：

（2）某水渠的横截面是梯形（如图）。渠口宽8米，渠底宽5米，渠深1.8米。求它的横截面面积。

指四名“学困生”上台板演，其余同学做书上。

教师台下巡视，收集典型错误和解决问题的方法。

（二）议一议

1．更正

（1）观察。做完的同学认真看黑板上同学做的和你是否一样。

（2）纠错。

2、议一议。

师：到底做得怎么样呢？下面咱们来评议一下。

（1）他忘记除以2了。

（2）其中的一个底和高混了。

（3）他用长度单位了。

（4）上底加下底的和忘记加括号。

师追问：计算梯形面积时应注意什么？

师小结：在计算梯形面积时要做到：仔细看，看清哪儿是上底和下底，哪儿是高；计算时不要忘记括号及除以2；注意结果单位的使用。

3、师：现在批改一下自己的做题情况。（生批改）

师：全对的“举手”？

生举手，师统计正确率。

4、小结：想一想，这节课你学会了哪些内容？

生根据本节课的学习内容汇报。

5、练一练

师：下面咱们就利用今天所学的知识来做作业，比一比谁做题最认真、最细心、书写最整洁！

作业：配套练习册相关内容。

练习：（1）课本第91页“自主练习”第6题。

（2）课本第91页“自主练习”第7题。

使用说明：

1、教学反思：回顾整个教学过程，我感觉本节课有以下亮点：

（1）尊重学生的认知规律，注重知识的前后联系。

教学时关注学生已有的知识、水平和经验。因为学生已经学过了平行四边形和三角形的面积，梯形的面积公式推导方法与平行四边形、三角形的面积的面积推导方法有相似之处，所以，上课开始我就让学生回忆平行四边形和三角形的面积的推导过程，为这节课探索梯形的面积做好铺垫。

（2）注重学法引导，发展学生的多向思维。

学生在原有知识经验的基础上通过自主动手剪拼，运用转化的思考方法，把梯形转化成已学过的图形，然后研究两者之间的联系，从而推导出梯形的面积计算公式。这节课中向学生提供充分从事数学活动的机会，通过“猜想—验证”来展开知识的发生发展过程，促使学生主动探索，大胆创新，想出了不同的拼剪方法，促进了学生学习的兴趣，使学生的多项思维得到进一步发展。通过观察、操作、猜测、验证、推理和交流等活动，全面参与新知的发生、发展和形成过程。

（3）转变学习方式，让学生自主学习。

教学中，我改变过去教师讲，学生听的教学模式，突出学生的主体作用，让学生主动操作、讨论，亲历知识的探究过程。在梯形面积公式的推导中，我让学生小组内动手操作，在充分交流的基础上，自主学习总结出公式，实现“要我学”为“我要学”这一目的。

2、教学建议：

（1）教学本节课时，尽可能为学生提供足够的探究空间，给学生提供充分地交流和展示的机会。

(2) 在梯形的面积公式的推导过程中，其实不止本节课提到的这些方法，如：把梯形沿高剪开后拼成平行四边形或长方形；把梯形沿对角线剪开，分成两个三角形„„，总之，只要学生想出的方法合理，都要对答案给予肯定。

3、需要破解的问题：梯形的面积计算能否用两课时完成。

曲边梯形的面积(教案)

曲边梯形的面积（教案）

杭州市源清中学徐骋

【教学目标】

1、知识与技能目标：

通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求曲面梯形的一般步骤。

2、过程与方法目标：

通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：

体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。【教学重点】

求一般曲面梯形面积的方法。【教学难点】

对以直代曲、无限逼近思想的理解。【教学准备】

多媒体电脑、课件等。【教学过程】

曲边梯形的面积（学案）

杭州市源清中学徐骋

【学习目标】

1、理解“以直代曲”的意义； 2、理解求曲边梯形面积的四个步骤； 3、了解“近似代替”时取点的任意性。【课堂程序】

问题一：我们在小学、初中就学习求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积，比如浙江省的面积？

问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，这样的面积又该怎样得出？

概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。

问题三：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？

图4

【知识应用】

1、求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

图3

y=x

特别帮助：12+22+32+„+n2=n(n+1)(2n+1)

2、求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

【总结归纳】

1、对于一般曲边梯形，如何求面积？ 2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？【曲边梯形的面积作业】

1、求由y=x2＋1,和x=0,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。

2、求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。

教案1.5.1曲边梯形的面积(教案)

1.5.1曲边梯形的面积

一、目标导学

教学目标:⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以

曲代直、逼近、求和；

⑵进一步感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用； ⑶通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极限的数学思想方法运用。

教学重点：求曲边梯形的面积。

教学难点：深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。教学过程：二、自主探究

1.求下图中阴影部分的面积：

2.对于哪些图形的面积，大家会求呢？

三、交流点拨

（一）问题引入：对于x0，x1，y0，yx

围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所

要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。（二）学生活动

1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟） 2、让学生说出自己的想法

希望学生说出以⊿OAB

的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？

希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。（在讨论的过程中

渗透分割的思想）

问题：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）

方案一方案二方案三

方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）

总结：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例： ⑴分割细化

将区间0,1等分成n个小区间0,，,，„，,，„，,，每个

nnnnnnn区间的长度为x

112i1in1n

ii11

（学生回答），过各个区间端点作x轴的垂线，从而得到nnnn

个小曲边梯形，它们的面积分别记作，S1,S2,Si,Sn.。 ⑵以直代曲

i1i1i

对区间对应的函数值,上的小曲边梯形，以区间左端点

nnn

一边的长，以x

i1i1

f为nn

为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。 ni1i121

)x() 即Sif(nnn

（当分割很细时，在

i1i

,上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点nn

或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法） ⑶作和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积S的近似值：

i11SS1S2Sn=Si（复习符号的运用）

nni1i1

1222

01n13n

⑷逼近

当分割无限变细时，即x无限趋近于0（n趋向于）

1222

1n36n3

1n1n2n11(11)(21) 01n1

6nn111

当n趋向时，1无限趋近于1，2无限趋近于2，故上式的结果无限趋近于，

n3n

11S，即所求曲边三角形面积是。（在逼近的过程中，难点是求

122232n2nn12n1在此应给学生一些时间探求

自然数的平方和，

最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线部分时，这个问题也有所体现）

3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。

（设计的目的是培养学生的合作交流的能力，优化解题方案）

四、拓展建构

例1. 求由直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围成的平面图形的面积S 【解】（1）分割

在区间 [0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：

112i1in1[0,],[,],,[,][,1]. 分别过上述n-1个分点作垂线，把曲边

梯形分nnnnnn

成n个小曲边梯形。它们的面积记作近似代替

s1,s2,si,sn,则S（2）

记f(x)=2x+1,当n很大时，第i个小曲边梯形的面积 si可以用小矩形（以

si;

为底，n

)为高）的面积si近似代替，则有： n

i11n1121

SiSf()(21)2(i1)(i1,2,,n),记SnSi;

nnnnnni1

（3）求和

SSiSi

2n11[12(n1)]112; 2

nnn

（4）取极限

当n趋向于无穷大时，

趋向于S,从而有：

S=limSilimf(

i111

)lim(2)2. nnnn

五、梯度训练

1.函数f(x)=x2在区间【（i-1）/n,i/n】上（）

A. f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小

2.由y=x,x=0,x=1,y=0围成图形的面积为 3. 求直线x=0,y=0与曲线y

x 所围成的曲边梯形的面积。六、跟进反思：

梯形的面积教学设计教案

教学准备

1. 教学目标

知识与技能：运用知识迁移类比规律和“转化”的数学思想，通过小组合作探索推导出梯形的面积计算公式，并能正确地运用公式解答有关问题。

过程与方法：培养操作、观察、分析、比较、概括及利用已有知识和经验解决新问题的能力。

情感态度价值观：通过自主探究，合作交流，体验成功，建立自信，激发学习兴趣，培养创新意识，渗透“变”与“不变”的辩证唯物主义观点教育。

2. 教学重点/难点

【教学重点】掌握梯形面积的计算公式，并运用公式正确计算梯形的面积。

【教学难点】推导梯形的面积计算公式。

3. 教学用具

多媒体课件、大小形状相同的梯形纸片若干、直尺、剪刀、彩笔等。

4. 标签

教学过程

一、创设情境，提出问题

师:老师家想装一面梯形的镜子,请你想一想,帮老师设计一下,画在老师为你们提供的纸上,好吗?

生画后交流展示所画的梯形。

师：谢谢同学们！那我要知道镜面的大小，才能进行配置呀，也就是要知道什么？

对了，要知道镜面的大小，也就是梯形镜面的面积，这是我们目前还没掌握的。今天，我们就一起来探究解决梯形的面积计算的问题。（板书：梯形面积的计算）

（一）联想猜测

师：谁还能记得我们探究平行四边形和三角形面积时，是怎样推导出面积计算公式的？

生回答

师：我们都是把它们转化为我们已经学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那么，凭借前面学习平行四边形、三角形面积的经验，你猜想梯形的面积可能与什么图形有关？你想怎样推导出梯形面积的计算方法？

生自由回答进行猜测。

（二）合作探究

师：在你们每个小组桌上老师已经为你们准备好了很多的材料。请你们在小组长的组织下进行合作探索，看看哪个小组最快转化成功，在音乐结束时推导出梯形的面积计算公式。开始„„（多媒体播放音乐，教师巡视指导）

（三）汇报交流

师：现在请各组派代表到台上来汇报

1、汇报演示由两个完全相同的梯形拼成平行四边形的过程

（1）引导学生在实物投影仪下演示交流

① 用两个完全一样的直角梯形拼成平行四边形的过程

② 用两个完全一样的等腰梯形拼成平行四边形的过程

③ 用两个完全一样的任意梯形拼成平行四边形的过程

生猜测、实验后汇报交流

师：那么什么样的两个梯形才能拼成一个平行四边形呢？

小结：完全相同（形状、大小都相同）的两个梯形才能拼成一个平行四边形。

（2）观察拼成的平行四边形，你发现了拼成的平行四边形和梯形间的关系吗？那您认为梯形的面积应该怎样计算呢？

（3）师生归纳出公式

（4）追问：(上底+下底)表示什么？(上底＋下底)×高算得是什么？为何要除以2？

2、汇报演示用一个梯形推导出梯形面积计算公式方法。

预设有下面几种，如没有学生想出，师可以通过课件引导演示给学生看：

（1）沿着梯形的高作出一条中位线，把中位线剪开，旋转，就拼成了一个平行四边形，平行四边形的底刚好是梯形的上底和下底的和，高刚好是梯形的高的一半，所以也可以推导出梯形的面积 =（上底+下底）×高÷2

（2）连接对角线，把一个梯形划分为两个三角形，其中一个三角形的底就是梯形上底，高就是梯形的高，另一个三解形的底就是梯形的下底，高也是梯形的高。两个三角形面积分别为：“上底×高÷2”及“下底×高÷2”；而三角形面积和=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2=梯形的面积

（3）如图演示

3、小结

师：其实推导的方法还有多种多样，同学们回家有时间还可以继续探讨

（教师指着公式），不过，我们可以发现无论哪种推导方法得出的结论都是相同的公式。谁来告诉大家梯形面积计算的字母公式该怎样写呢？

生： S=(a+b)h÷2（板书）

一、实际应用、巩固练习

１、口答：下列梯形的面积。

2、列式计算梯形的面积

3、判断：

（1）任意两个梯形可以拼成一个平行四边形（）

（2）面积相等的两个梯形可以拼成一个平行四边形（）

（3）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形（）

（4）梯形的面积是平行四边形面积的一半（）

（5）梯形的面积＝上底＋下底×高÷2 （）

（6）平行四边形的面积一定比梯形的面积大（）课堂小结

谈谈你这节课的收获及感想，你认为本节课中哪位同学的表现值得你学习？

教案1.5.1曲边梯形的面积(教案)

1.5.1曲边梯形的面积

主备人：赵秀娟审核人：王甜甜时间：

一、目标导学

教学目标:⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以

曲代直、逼近、求和；

⑵进一步感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用； ⑶通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极限的数学思想方法运用。

教学重点：求曲边梯形的面积。

教学难点：深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。教学过程：二、自主探究

1.求下图中阴影部分的面积：

2.对于哪些图形的面积，大家会求呢？

三、交流点拨

（一）问题引入：对于x0，x1，y0，yx

围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所

要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。（二）学生活动

1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟） 2、让学生说出自己的想法

希望学生说出以⊿OAB

的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？

希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。（在讨论的过程中渗透分割的思想）

问题：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）

方案一方案二方案三

方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面

积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

将区间0,1等分成n个小区间0,，,，„，,，„，,，每个

nnnnnnn区间的长度为x

112i1in1n

ii11

（学生回答），过各个区间端点作x轴的垂线，从而得到nnnn

个小曲边梯形，它们的面积分别记作，S1,S2,Si,Sn.。 ⑵以直代曲

i1i1i

对区间对应的函数值,上的小曲边梯形，以区间左端点

nnn

一边的长，以x

i1i1

f为nn

为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。 ni1i121

)x() 即Sif(nnn

（当分割很细时，在

i1i

,上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点nn

或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法） ⑶作和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积S的近似值：

i11SS1S2Sn=Si（复习符号的运用）

nni1i1

1222

01n13n

⑷逼近

当分割无限变细时，即x无限趋近于0（n趋向于）

1222

1n36n3

1n1n2n11(11)(21) 01n1

6nn111

当n趋向时，1无限趋近于1，2无限趋近于2，故上式的结果无限趋近于，

n3n

11S，即所求曲边三角形面积是。（在逼近的过程中，难点是求

122232n2nn12n1在此应给学生一些时间探求

自然数的平方和，

3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，

并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。

（设计的目的是培养学生的合作交流的能力，优化解题方案）

四、拓展建构

例1. 求由直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围成的平面图形的面积S 【解】（1）分割

在区间 [0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：

112i1in1[0,],[,],,[,][,1]. 分别过上述n-1个分点作垂线，把曲边

梯形分nnnnnn

成n个小曲边梯形。它们的面积记作近似代替

s1,s2,si,sn,则S（2）

记f(x)=2x+1,当n很大时，第i个小曲边梯形的面积 si可以用小矩形（以

si;

为底，n

)为高）的面积si近似代替，则有： n

i11n1121

SiSf()(21)2(i1)(i1,2,,n),记SnSi;

nnnnnni1

（3）求和

SSiSi

2n11[12(n1)]112; 2

nnn

（4）取极限

当n趋向于无穷大时，

趋向于S,从而有：

S=limSilimf(

i111

)lim(2)2. nnnn

五、梯度训练

1.函数f(x)=x2在区间【（i-1）/n,i/n】上（）

A. f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小

2.由y=x,x=0,x=1,y=0围成图形的面积为 3. 求直线x=0,y=0与曲线y

x 所围成的曲边梯形的面积。六、跟进反思：

1.5.2汽车行驶的路程

主备人：赵秀娟审核人：王甜甜时间：

一、目标导学教学目标：

1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；

2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 3．了

解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：二、自主探究

1．连续函数的概念；

2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；

利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？三、交流点拨问题引入：

汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S速直线运动，在时刻t的速度为v位：h)

vt．如果汽车作变

2（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单

这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上，由于v

的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每

个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和

无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）． 1．分割

在时间区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

112n1，，„，,,1 nnnn

记第i个区间为

i1i

,(i1,2,,n)，其长度为 nnt

ii11 nnn

把汽车在时间段0,

12n1，，„，,,1上行驶的路程分别记作： n

S1，S2，„，Sn 显然，S

2. 近似代替

当n很大，即t很小时，在区间

i1i

,上，可以认为函数vtt22的值变化nn

处的函数值n

很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

i1ii1i1

，从物理意义上看，即使汽车在时间段,(inn

1,2,,n)v2nn

i1i1i1

上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度vn

2作匀n

速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积似的代替，则有

Si，即在局部范围内“以直代取”

Si近

i121i1i112

SiSivt2(i1,2,,n) ①

nnnnnn

3. 求和

2ni1i112

由①，SnSivt

nnnni1i1i1

2113

12nnn

12n

2 n

12n1=0

1n1n2n11112=112 3

n63n2n

12 n2n

从而得到S的近似值 SSn14. 取极限

当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，Sn1

311

12趋向于S，从n2n

而有

1i11115

limSn

limvlim11n2 n

ni1n3n2n3

思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线t0和曲线v

2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

0,t1,v

结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程S1,v

limSn在数据上等于由直线t0,t

和曲线vt22所围成的曲边梯形的面积．

一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用

分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，

求出它在

a≤t≤b内所作的位移S．

四、拓展建构

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．

xkx（k为常数，x

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为W

x．（1）分割

在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

n1bbb2b

,b 0,，,，„，nnnn

记第i个区间为

i1bib

,(i1,2,,n)，其长度为 nn

ibi1bb nnn

把在分段0,

n1bbb2b

,b上所作的功分别记作：，，„，,nnnn

W1，W2，„，Wn （2）近似代替有条件知：WiF

i1bi1bb (i1,2,,n)

xknnn

（3）求和

WnWi

i1bbk

kb2kb2nn1kb21

=2012n121 nn22n

kb21

从而得到W的近似值 WWn1

（4）取极限

kb21kb2

limWnlimWilim1nnn2n2i

kb2

所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：

五、梯度训练

1、作匀速（v）直线运动的物体在【0,6】这段时间内，物体所运动的路程S= 2、已知自由下落物体的速度为v=gt，则物体从t=0到t=t0走过的路程六、跟进反思：

1.5.3定积分的概念

主备人：赵秀娟审核人：王甜甜时间：

一、目标导学教学目标：

⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．

3．理解掌握定积分的几何意义；

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：二、自主探究复习：

1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．三、交流点拨

1．定积分的概念一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

ax0x1x2xi1xixnb

将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（x

），在每个小区间n

xi1,xi上取一点ii1,2,,n，作和式：Snf(i)x

f(i) n

如果称该常数

x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么

S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：Sf(x)dx

其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。说明：（1）定积分

f(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n时）称为

f(x)dx，而不是Sn．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间取点

a,b；②近似代替：

nbbaba

inni

xi1i

1,xi1

；③求和：f(i)；④取极限：f(x)dxlimfi

（3）曲边图形面积：S

变力做功 W

fxdx；变速运动路程S

v(t)dt；

F(r)dr

2．定积分的几何意义

说明：一般情况下，定积分

f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线

x积去负

a,xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面

号．（可以先不给学生讲）．

分析：一般的，设被积函数yx1,f(xn)

f(x)，若yf(xi)

f(x)在[a,b]上可取负值。考察和式ff

x 不妨设f(xi),f(xi

1),

0 于是和式即为

fx]}

x1xfx2xf(xi1)x{[f(xi)x][fxn

f(x)dx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）

2．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1 性质2 性质3

1dxba

kf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）

[f(x)f(x)]dx

f1(x)dxf2(x)dx （定积分的线性性质）

性质4

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

(其中acb)

（定积分对积分区间的可加性）

说明：①推广： ②推广:

[f(x)f(x)f

(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

bbb

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

f(x)dx

③性质解释：

四、拓展建构例1．计算定积分

S曲边梯形AMNBS曲边梯形AMPCS曲边梯形CPNB

1)dx

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为

5。 2

即：

(x1)dx

5 2

变式练习：1．

解：2．

(2x4)dx

(2x4)dx945 xdx

xdx

11111 22

解：

例2．计算由两条抛物线yx和yx所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积

的差得到。

解：

yyx

x0及x1，所以两曲线的交点为

（0，0）、（1，1），面积S=

x2dx，所以

231x

S=x)dxx=03033

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积； 4.微积分基本定理求定积分。

C y

xD A O

计算下列定积分 1、定积分

cdx （c为常数）的几何意义是

2、由y=sinx, x=0,x=3、定积分

,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是 2

f(x)dx的大小（）

A、与f(x)和积分区间a,b

及

a,b有关，与i的取法无关 B、与f(x)有关，与区间

a,b

无关 D、与

i的取法无关 C、与f(x)和a,b

和

i的取法有关，与积分区间

f(x)、区间i的取法都有关 4、下列等式成立的个数是（） ①

f(t)dtf(x)dx ②2sinxdxsinxdxsinxdx

③

xdx2x ④

4xdx2dx

A、1 B、2 C、3 D、4 5、计算下列定积分 1．2．

(2x4)dx (2x4)dx945

11xdx11111 xdx 11

六、跟进反思：

《曲边梯形的面积》教学教案2

1.5.1曲边梯形的面积

一、学习目标

1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；

2.通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．

二、重点、难点

重点：求曲边梯形的面积；

难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．

三、知识链接

1、直边图形的面积公式：三角形，矩形，梯形

2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系．

四、学法指导

探求、讨论、体会以直代曲数学思想．

五、自主探究

1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)

所围成的图形称为．

2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？

例1、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图

形的面积S．

分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，

曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．

解：（1）分割

把区间[0，1]等分成n个小区间：

112i1in1n[0,],[,],,[,],

,[,], nnnnnnn

1 / 3

每个区间的长度为 xii11 nnn

过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作 S2,

,Si,

,Sn.

（2）以直代曲

Sif(i1i121)x() nnn

（3）作和 SS1S2SnSi

i1n

i-11ni-121 f()() nni1nni1

1 3[021222(n1)2]nn

（4）逼近

S1,

当分割无限变细，即x0(亦即n)时，

1221122[0)

6nn3

12(n1)](n1)n(2n1)n3n36 1111(1)(2

11所以S，即所求曲边三角形的面积为。33

分割以曲代直作和逼近

当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积

f(x1)xf(x2)xf(xn)x

表示了曲边梯形面积的近似值。

变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．

2 / 3

反思:

例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t的速度为

求它在0

t1(单位：h)这段时间内行使的路程S(单v(t)

t22(单位km/h)，

位:km)．

变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻t的速度为v(t)5(单位km/h),求它在0

2(单位:h)这段时间内行使的路程S(单位:km)．

反思:

六、目标检测

七、作业布置

八、小结

3 / 3

《梯形面积的计算》教学案例

《梯形面积的计算》教学案例 12月份

一、教材分析：

梯形的面积是在学习了平行四边形、三角形面积的基础上进行的，与前面的两节一样，先通过小轿车的车窗是梯形的这样一个生活实例引入的，然后通过学习动手操作实验探索出面积计算公式，最后用字母表示出梯形的面积计算公式。通过转化的思想，使学生通过动手操作采用分割、拼摆等方法进行梯形面积的推导，利用所学的旧知识学习新知识，发

展学生的思维及用多种方法策略解决问题的意识和能力。

二、教学目标：

1、在实际情境中，认识计算梯形面积计算的必要性。在自主探索活动中，经历推导梯形面积公式的过程。

2.、能应用梯形的面积计算公式，解决相应的实际问题。

3.、让学生感受到我们可以应用学过的数学知识来解决问题，体验生活中处处有数学。

三、教学重点：在自主探索活动中，经历推导梯形面积公式的过程。在实际情境中，认识计算梯形面积计算的必要性。

四、教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。能应用梯形的面积计算公式，解决相应的实际问题

五、教学流程：

（一）复习回顾，提出问题

师：我们学习了平行四边形和三角形的面积，能回忆一下三角形的面积是怎样推导出来的吗？

生：转化成平行四边形。

（在学生说的同时，教师用准备好的图形展示，让学生注意到图形的转化。）设计意图：通过复习回顾，唤起学生的回忆，为沟通新旧知识的联系，找到学习新知的植根点。

（二）自主探究，尝试解决

提出问题，激发探究欲望

出示汽车侧面玻璃实物图，问：这是什么图形？（梯形），梯形的面积该怎么计算呢？今天，让我们共同来研究。（板书课题：梯形的面积）

师：你认为我们该怎样研究呢？（学生思考片刻可能会回答：可以先转化为学过的图形）

师：在我们生活中有很多这样的梯形，而且需要我们计算它的面积。那么到底该怎样计算它的面积呢？我建议，发挥小组的力量，共同合作探究。

设计意图：启发学生运用已学的知识，大胆提出猜测，激发学生的探索新知的

欲望，又使学生明确了探索目标与方向。

（三）小组合作、共同解决

1、提供材料，提出合作的要求

师：下面我们共同来研究梯形的面积计算方法。小组合作的要求如下： a.利用梯形

学具，先思考能把它转化成已学过的什么图形。

b.把你的方法与小组成员进行交流，共同验证。

c．选择合适的方法交流汇报。

2、自主探究，合作参与

学生小组动手操作，合作交流，教师巡视并给以适当的指导。让部分小组上黑板展示

3、集体汇报交流

师：同学们已经用不同的方法转化成了我们学过的图形，哪一个小组先派代表给同学们介绍转化的方法和转化的图形？

生1：我们小组的方法是用两个相同的梯形拼成一个平行四边形。（学生边动手演示，边说转化过程。）

生2：我们小组是把梯形沿两腰中点的连线剪开，变成两个小梯形，再旋转拼接转化成平行四边形。

生3：我们取了两个相同的直角梯形，因此，拼成的图形是长方形。

（四）展示评研、归纳升华

师：同学们介绍了各种方法，现以第一种转化为平行四边形为例，这一个梯形和转化

后的平行四边形有什么联系？怎样推导其面积公式？

3 生：梯形上、下底的和等于拼成后平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。

生：梯形的面积是所拼平行四边形面积的一半。

生：梯形的面=（上底+下底）×高÷2

（教师板书梯形面积计算公式）

师：一个梯形的面积为什么要除以2 ？

生：因为拼成的平行四边形有两个梯形，求一个梯形就需要除以2。

师：请同学们再任选一种转化方法进行推导，验证梯形的面积计算公式和刚才的是否一致。

师：如果用S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形面积的计算公式应怎样表示？

板书：S=（a+b）h÷2

设计意图：在提出问题，激发起了学生的探究欲望后，采用了小组合作学习这种方式，让他们主动探究、大胆猜测、积极验证的教学方法。使学生在数学学

习活动中相互合作，主动探索，把新知识转化为旧知识。整个过程学生是学习的主体，教师只是学生学习的引导者、合作者，使学生从中体验到了成功的喜悦。

（四）联系实际，巩固运用

1．试一试

引入：梯形的用途很广泛，在很多物体中都经常看到梯形。下面我们来解决一些日常中的问题，计算下列梯形的面积

出示汽车侧面玻璃，要制作这扇门的窗户需要多少平方厘米的有机玻璃？

2．“练一练”第1、2、3题。

3．思考题我们经常见到圆木，钢管等堆成下图的形状（出示课本第28页第4题），求图

中圆木的总根数，你有几种解答方法？

四、课堂小结

通过今天的学习，谈谈你的收获。

五．教学反思

这节课从学生的已有知识出发，提出问题——梯形面积如何计算，引发学生探究梯形

面积的学习欲望。在学习欲望的驱使下，学生调动自己已有的知识经验，探究出了很多种方法，自己解决了数学问题，体验到了成功的喜悦，既培养了学生的创新思维能力，又增强了自主学习的能力。

《数学课程标准》指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，本课的教学具体体现在：

1．新的学习方式是本节课最突出的一个特点。如：在“自主探究”这一环节中，改变了过去由教师讲解、代替学生操作的传统教学方式，通过“动手实践—合作交流—选择可行的方法”这样三个步骤，完成了转化和归纳的全过程。突出体现了“学生是学习的主人，教师只是学生学习过程中的引导者、合作者”这一新理念。充分调动了学生学习的主动性，激发了学生探究的欲望。使学生在不断地探索、合作、交流中经历了知识的形成与发展的全过程，并从中体会到了探究所带来的乐趣。

2．数学知识与实际生活的密切联系是本节课的第二个特点。如练习题的设计就突出体现了这一点。通过计算学生比较熟悉的某些汽车侧面的玻璃面积等实际生活中的问题，使学生体会到数学与生活的联系。培养了学生用数学眼光认识事物，应用数学的意识，从而进一步体会数学的应用价值。

不足之处：学生手中的梯形学具应具有多样性（大小不同；大小相同；形状不同；形状相同），让学生在动手操作转化的过程中去体会：“两个完全一样的

梯形”这一条件的重要性。

梯形的面积教学案例

《梯形的面积》教学记录

教师：同学们玩过七巧板吗？有趣吗？

学生：有趣！（七巧板真有趣！请欣赏！出示课件）

教师：请同学们仔细观察这幅图中都有我们学过的哪些平面图形？

学生:三角形、正方形、平行四边形、梯形。

教师：你们会算它们的面积吗？学生：三角形的面积等于底乘高除以二、正方形的面积等于边长乘边长、平行四边形的面积等于底乘高、梯形的面积等于……正方形的面积加三角形的面积。教师：是吗？请同学们看三峡水电站的大坝横截面如何计算呢？【设计意图：本环节一开始学生就展开想象，在兴趣盎然的状态中打开了思维，轻松自然的引出各种已学平面图形的面积，渗透了转化的数学思想，即复习了旧知，又引出了新知，而且培养了学生以发展的眼光看数学，逐步建构自己知识体系的能力。】

学生：（沉默) 教师：有点棘手吧！今天我们主要解决这个问题（揭示课题：梯形的面积）同学们，联系已学三角形、平行四边形面积计算公式，猜想一下梯形的面积计算公式可能是怎样的？请同学们以小组为单位探究一下。备注：桌上的学具放有直角梯形、一般梯形等若干个，有完全一样的，也有不一样的。具体做法:

⑴自选学具。（每个小组发梯形图片和探究表各一份） ⑵提出要求： ①做一做：利用手中的学具，选择你所需要的梯形，或拼、或剪…转化成一个以前我们所学的图形。

②想一想：可以转化成什么图形？所转化成的图形与原来梯形有什么联系？

③说一说：你发现了什么，并尝试推导梯形的面积计算公式。 ⑶小组合作，操作、观察、交流、填表，教师参与讨论。

【设计意图：此环节为学生创设了一个广阔的天空，顺其天性，自然调动已有的数学策略，突破教材以导为主的，以学生活动为主。凡是学生能想到、做到、说到的教师不、不替代、不暗示，为学生提供了一个充分发挥才智自己想办法解决问题的思维空间，在这里学生可以按照自己的想法任意剪拼一

个梯形，摆拼两个梯形，使学生通过尝试—失败—成功的亲身体验，主动发现公式，注重了学生推理能力的培养，从而有效地突出本节的重点，突破本节的难点。】

学生：小组汇报。

a、从以上梯形中选择两个完全相同的梯形，拼成一个平行四边形或者一个长方形。得出的结论是：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底等于梯形上底和下底的和，高等于梯形的高。每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。

b、沿梯形的对角线剪开分成两个三角形。

c、把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形。 d、沿等腰梯形的一个顶点做高，剪拼成一个长方形。

e、沿梯形中位线的两端点分别向下做高，剪拼成一个长方形。 f、从梯形的两腰中点的连线将梯形剪开拼成一个平行四边形。 …… 备注：对学生以上的做法教师给予充分的肯定和表扬。只要学生能把以上意思基本说出来，再通过小组之间的交流、互补，使结论更加完善。教师：同学们真不错！下面我们共同探讨一下梯形的面积公式(播放课件）怎么样？梯形的面积好算吗？

学生：好算。

教师：怎么算：

学生：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2

教师：如果用字母S表示面积，用a和b表示梯形的上底和下底，用h表示高，那么上面的公式用字母如何表示？学生：S＝（a＋b）h÷2 【设计意图：对多种方法各抒己见，在交流的过程中互补知识缺陷，学生在猜想—操作—争辩—演示—叛变—互补的过程中深刻的理解梯形面积的推导，纠正学生的错误猜想，巩固正确的推导思路。】

教师：同学们，现在你们会算三峡水电站的大坝横截面面积吗？（课件演示）

学生：（20＋80）×40÷2＝2000（平方米）

教师：其实我们身边有好多物体的平面是梯形面，比如幼儿园的滑梯侧面的形状是一个梯形，已知梯形的上底是2m，下底是5m，高是1.8m，你能求出它的面积吗？

学生：（2＋5）×1.8÷2＝6.3（m2）教师：看来同学们对梯形的面积掌握得不错，

下面做个动手操作题（课件出示练习3）

教师：做了这道题，同学们有没有新发现？

学生：只要梯形的上底、下底、高分别相等，它们的面积也就相等。且这样的图形有很多很多。

教师：回答得不错！请同学们再熟熟手（练习4、5）学生：（同桌订正）教师：今天我们学了梯形的面积，根据同学们做题的速度看掌握得较好。数学知识来源于生活，又要应用于生活，下面有个实际问题等待我们解决，愿意吗？

学生：愿意。

教师：OK!（出示练习6）【设计意图：运用公式是课堂教学中不可缺少的一个过程，这一环节通过练习既能巩固公式，又有利于学生灵活运用所学知识解决生活中的数学问题，使学生体会到数学来源于生活，又应用于生活，同时感受祖国伟大的壮举，从而产生爱国主义情怀。】

学生：（3＋8）×6÷2＝33（根）

教师：对不对？同学们数一数验证一下！教师：看来同学们对梯形的面积计算掌握得不错！是不是忘了它的推导过程呢？

学生：没有。

教师：真的吗？假如梯形的上底缩小到一点时，梯形转化成什么图形？这时面积公式怎么变化？

学生：三角形。

教师：是吗？（课件演示）教师：当梯形的上底增大到与下底相等时，梯形转化成什么图形？这时面积公式怎么变化？

学生：平行四边形。教师：当梯形的上底增大到与下底相等，并且两腰与下底垂直时，梯形就变成什么图形？面积公式怎么变化？

学生：长方形。

教师：从这几个公式的联系，可发现什么规律？

学生：底不变、高不变... 【设计意图：本环节是为了将学生的学习积极性再次推向高潮，通过运用梯形面积公式计算其他图形，让学生体会知识结构的内在联系，从中培养了学生构建知识系统的能力和知识迁移及综合整理的能力。】

教师：回想这节课所学，说说自己有哪些得失？【设计意图：这个环节主要是再次把学习的主动权交给学生。让学生在回忆过程中更清晰地认识到这节课到底学了什么，通

过谈感想，谈收获，学生间互相补充，共同完善，有利于学生学习能力的培养，同时体验学习的乐趣和成功的快乐。】学生：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2；梯形面积的计算的推导过程……

教师：梯形的面积计算的推导方法是对前面所学的几种图形面积计算公式推导方法的拓展和延伸。通过本节课的学习，同学们对图形特征以及各种图形之间的内在联系的认识有所加深，真正领会转化的数学思想，为我们今后学好几何图形打下了坚实的基础。望同学们再接再厉！

《1.5.1曲边梯形的面积》教案

《1.5.1 曲边梯形的面积》教案

【教学目标】

1、知识与技能目标：

经历求曲面梯形面积的形成过程，理解求曲面梯形面积的一般步骤。了解定积分概念的实际背景。 2、过程与方法目标：

①通过问题的探究体会“以直代曲”、“无限逼近”的思想。②经历观察、猜想、分析、综合等数学过程，发展初步合情推理和演绎推理能力。

3、情感、态度与价值观目标：

①使学生积极参与数学学习活动，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。 ②体验“数学来源于生活，又应用于生活”的价值观。【教学重点与难点】

重点：掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（分割、近似代替、求和、取

极限）。难点：“以直代曲”、“无限逼近” 思想的形成过程及理解。【教学方法】“启发探究式”

【教学手段】运用“几何画板”辅助教学【教学过程】

(一)问题引入

问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？如我省的国土面积（如图）？

方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。方法2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。

方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为A/P. 方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比A/P。

上述方法得到的都是面积的近似值，如何求精确值呢?

问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的横断面面积。该如何计算横断面面积呢？引导学生认识 “曲边图形”。引出曲边梯形的定义。（二）新课

讲授

定义：由直线x=a，x=b,（a≠b），y=0与曲线y=f(x)所围成的图形称为

曲边梯形。

曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．问题三：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形面积该怎样求？（曲边梯形的特殊情况） [几何画板演示]引导学生回顾刘微的“割圆术”，理解“以直代曲”、“无限逼近”的思想。

形成思路：把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，

对每个小曲边梯形“以直代曲”，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近于所求曲边梯形的面积S．

探究1：怎样分割？分成怎样的形状？（分割）

在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

112n1

，，„，,,1 nnnnii11i1i

记第i个区间为,(i1,2,,n)，其长度为： x

nnnnn

分别过上述n别记作：

1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分

S1，S2，„，Sn，显然，S

探究2：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？采用哪种好？（近似代替、求和）

222

介绍公式： 12(n1)

1)n(2n1)

方案一：以小直角梯形（直边图形）的面积来近似代替曲边梯形的面积。

i1ii1i

f()f()

nn1(i1)2i2SiSix

22n2n3

(i1,2,,n)

SnSi

(n1)n(2n1)1(i1)2i2

＝

2n6n32n3

)。（不足近n

方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高是对应区间的左端点处的函数值f(

i1i11

似） SiSif()x

nnn

(i1,2,,n)

1Sin

1120

i11n1113

22 1nn

1=＝Snnni

1= 11111 1n1n2n

= 3

n63n2n

方案三：用一个大矩形的面积来近似代替，大矩形的高是对应区间的右端点处的函数值f()。（过剩近

似）Sn

100

111i1

＝ 11

3n2nnn

探究3：如何用数学的形式表达分割的图形越来越多？（取极限）

[几何画板演示]当n时，Sn探究4：若取任意i[

三种方案得到的极限值都是(面积的真实值) 33

101

i1i

,]的函数值f(i)作为矩形的高，会有怎样的结果？ nn

夹逼定理――若anSnbn,而且

lima

limbnM,那么limSnM

（三）针对训练：

长江三峡溢流坝的横断面最上面抛物线所围的那一块面积ABE该怎样计算呢？假设A（0，4）、B（1，3），A是抛物线的顶点。

解：依题意，即求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=－x2＋1所围成的曲边梯形的面积

lim[

102

12(n1)112

n]12

n33n

222

（四）小结提升：

如何求直线x=a，x=b,（a≠b），y=0与曲线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。（1）其思想方法是什么？“以直代曲”、“无限逼近” （2）具体的步骤是什么？ “分割、近似代替、求和、取极限”

S=lim

baba

为区间［a,b］n等分后的小区间长度 f(i)其中nni1

103

） 3

（五）作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。（答案：

学生容易出错的地方：区间为[0,2], 小区间的长度为

2(i1)2

) ，每个小矩形的高为f(nn

数学梯形的面积教案

这部分内容的教学是在学习了平行四边形和三角形面积计算的基础上进行的。与前两节一样，教材先通过小轿车车窗玻璃是梯形的这样一个生活实例引入梯形面积计算。然后通过学生动手实验探索出面积计算公式，最后用字母表示出梯形的面积计算公式。但是要求又有提高，不再给出具体的方法，而是要求用学过的方法去推导梯形面积计算公式。这里仍然要运用转化成已学过图形的方法，但是从教材中学生的操作可以看出，方法与途径多了，可以用分割的方法，也可以用拼摆的方法；可以转化为三角形进行推导，也可以转化成平行四边形进行推导。

教学建议

学生经过平行四边形和三角形面积公式的推导，已经知道要把梯形转化为学过的图形

104

进行推导。前面平行四边形和三角形转化的方法不同，平行四边形主要是用割补的方法，而三角形主要用拼摆的方法。本课要求用学过的方法去推导，没有指明具体的方法。在学生操作实验前，可以先回忆一下前面运用过的两种方法，有条件的可以把前面推导的过程制成课件，进行展示，加以回顾。在此基础上放手让学生自己去做，教师不必提出统一的操作要求。

2．梯形面积计算公式推导有多种方法，教材显示了三种方法。

（1）两个一样的梯形拼成一个平行四边形。

推导过程：

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的（上底+下底），这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2

(2)把一个梯形剪成两个三角形（见下左图）。

推导：

梯形的面积＝三角形1的面积＋三角形2的面积

＝梯形上底×高÷2＋梯形下底×高÷2

＝（梯形上底＋梯形下底）×高÷2

105

（3）把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形（见上右图）。

推导：

梯形的面积= 平行四边形面积＋三角形面积

= 平行四边形的底×高＋三角形的底×高÷2

=（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高

=（平行四边形的底＋三角形的底÷2）×高×2÷2

=（平行四边形的底×2＋三角形的底÷2×2）×高÷2

=（平行四边形的底＋平行四边形的底＋三角形的底）×高÷2

因为梯形的上底=平行四边形的底

梯形的下底=平行四边形的底＋三角形的底

所以梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2

第（1）种方法比较容易推导和理解，（2）和（3）因为涉及乘除法运算定律、性质和等式变形，学生的推导会有困难。教学中要鼓励学生用多种方法进行推导，在此基础上进行汇报和交流。可以第（1）种方法为研究重点，让学生叙述推导的过程，得出梯形面积计算公式。（2）和（3）种方法可视学生接受能力，不做统一要求。

106

学生在操作实验中，可能会出现更多的方法。例如教材第96页的方法，注意给学生留有较充分的操作和交流时间。

推导过程：

从梯形两腰中点的连线将梯形剪开，拼成一个平行四边形。

平行四边形的底等于（梯形的上底＋梯形的下底）

平行四边形的高等于梯形的高÷2

梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积

所以梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2

3．例3及“做一做”。

编排意图

（1）例3应用梯形面积计算公式解决实际问题。

（2）“做一做”是计算引入部分提出的车窗玻璃的面积，注意是求两个梯形的面积。

教学建议

（1）例3可结合图片和横截面的示意图帮助学生理解横截面的含义，找到直角梯形

107

的高也是它的一个腰长，再应用公式进行计算。

（2）结合例3和“做一做”，检查学生运用公式计算的情况，强调计算时不要忘记除以2。

4．关于练习十七一些习题的说明和教学建议。

第1、3题是应用梯形面积计算公式求面积。第1题需要先测量计算所需条件的长度，再计算；第3题要选择条件进行计算，有些是间接条件要转化为直接条件。通过练习可以加深学生对梯形面积计算公式的理解和记忆。

第2、4、5、6题都是应用梯形面积计算公式解决实际问题。

第2题，飞机模型的机翼是两个完全相同的梯形。求机翼的面积，可以先求出一个梯形的面积，再乘2；也可以根据梯形面积公式的推导经验，设想把两个梯形拼成一个底长100mm＋48mm，高250mm的平行四边形，求出它的面积。

第4题，注意让学生观察图示找到计算所需条件。花坛的三面围篱笆，形成一个直角梯形。20m就是它的高，用46m-20m可以得到梯形上底与下底的和。

第5题，要结合示意图先让学生理解水渠的横截面。水渠的渠口宽、渠底宽和渠深分别是梯形的上底、下底和高，再计算出梯形的面积。

第6题，可结合教材中的图使学生理解圆木堆的横截面可以看作一个梯形，梯形的上底长相当于顶层的根数，梯形的下底长相当于底层的根数，梯形的高相当于圆木的层数。

108

所以可以借助梯形面积计算公式计算出圆木的总根数。

第8*题是选作题。首先要考虑如何剪去一个最大的平行四边形。应该是以梯形上底长度为底长的平行四边形。

剩下的是三角形，可以用两种方法求面积。

方法一梯形的面积－剪去的平行四边形的面积

（2＋3.5）×1.8÷2－2×1.8＝1.35 (cm2)

方法二用梯形的下底长减去梯形的上底长得到剩下三角形的底长，乘梯形的高, 再除以2,得到剩下的三角形的面积。

(3.5－2)×1.8÷2 = 1.35(cm2)

《梯形面积的计算》教案

教学目标：（1）理解梯形面积公式的推导过程，会应用公式正确计算梯形的面积。

（2）培养学生合作学习的能力。

（3）继续渗透旋转、平移的数学思想。

教学重点：理解并掌握梯形面积公式的计算方法。

109

教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。

教学过程：

一、复习旧知

1．求出下面图形的面积。

2．回忆三角形面积公式推导过程（演示课件：拼摆三角形下载）

二、设疑引入

教师出示一个梯形和一个三角形（已标出底和高）。这个梯形比三角形的面积大还是小？相差多少呢？要想得到准确地结果该怎么办？

板书课题：梯形面积的计算

三、指导探索

第一部分：梯形面积公式的推导。

1．小组合作推导公式。

教师谈话：利用手里的学具，仿照求三角形面积的方法推导梯形面积的计算公式

提纲：

110

2．（演示课件：拼摆梯形下载）

电脑演示转化推导的全过程。

梯形的面积教案李桂丽

1、在平行四边形、三角形面积推导的基础上，引导学生采用合作探究的形式，概括出梯形面积计算公式； 2、会正确、较熟练的运用公式计算梯形面积，并能解决一些生活中的实际问教学目标题，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力； 3、通过自主探究，小组合作，在操作、观察、比较中，培养学生的想象力、思考力，发展学生的空间观念。 4、渗透数学迁移、转化思想，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。教学重难点教法与学法理解并掌握梯形面积公式，会计算梯形的面积。演示法动手操作合作交流讨论法教一、复习旧知，进行铺垫。谈话：1.我们已经学习了哪些平面图形的面积计算，怎样计算？ 2.我们在研究三角形的面积公式时，是怎样推导的？积计算公式。 3.梯形的特征是什么？根据学生的回答小结。二、串联情境，激发兴趣。（出示情境图）学过程二次修改错误！未找到引用源。在复习准备阶段，利用师生间的准知识的起点，将新旧知识有机结合起来，有效地把握教学起点，定位准确，为学生自主学

小结：我们把三角形转化成已学过的平行四边形推导出了三角形的面交流，帮助学生找

谈话：同学们，上节课我们在甲鱼池参观，提出了许多有价值的数学好新知识作好充分问题。看，问题口袋里还有问题呢！你想知道吗？（出示问题口袋里的铺垫。的题目）三、小组合作、探究新知。 1.出示问题：1 号甲鱼池的面积是多少？串联情境，引

111

出问题口袋里的问题既

谈话：求 1 号甲鱼池的面积是多少？就是求什么图形的面积？那么怎有利于激发学生的样求梯形的面积呢？这节我们就一起来探究。板书课题：梯形的面积学习兴趣，激活学计算。你们准备怎样研究？小组讨论。 2.交流汇报。生的旧知，复习梯形的特征，又可以引入下一步求梯形

师归纳汇总：（表扬）刚才同学们从不同角度，用所学知识，创造性地面积的探究。想出了这么多办法，很了不起！从同学们汇报情况看大致有三种： a 把梯形划分成两个三角形；b 把梯形划分成一个三角形和一个平行四边形；c 把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。从我们的知识水平来看，老师提一个建议，用拼成大平行四边形的方法来计算，这样比较简单，那么是不是任意两个完全相同的梯形都能拼成大平行四边形呢？ 3.小组合作推导公式谈话：请大家拿出课前准备的任意两个完全相同的梯形，试试看

！发现卡上。发现卡用两个完全一样的梯形可以拼成一个---------------形。这个平行四边形的底等于--------------，高等于--------------。每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的--------------。梯形的面积=--------------。当加以引导。 4.学生拿着拼图汇报展示，师注意引导。 5.电脑演示转化推导的全过程。边演示边提问发现卡上的问题。提问：（上底＋下底）×高算的是什么？为何要除以 2？ 7.师说明字母公式。母表示？说说每个字母分别表示什么？板书： S = （ a + b ）× h÷2 梯形的面积计算在日常生活中有着普遍的应用，因此学习了这方面的知识，不能只停留 “以葫芦画瓢”会算抽象的梯形面积上， )平方厘米. 而应能灵活地应 8.阅读课本，并把梯形面积公式填写在课本页相应的位置。四、运用知识，解决问题 1.现在你能算出 1 号甲鱼池的面积了吗？请学生填在课本上。两名学生板演，其余学生练习。全班交流。 2.想一想，填一填（CAI 出示题图）用两个完全一样的梯形,拼成平行四边形. 如果梯形的面积是 12

112

平方厘米, 拼成的平行四边形的面积是( 本环节大胆放手，注重学生的自主探究，通过适当的引的迁移。由于特别重视沟通新旧知识之间的联系，让学生利用已有的知识经验学习数学、理解数学。鼓励学生流，让学生真正成为学习的主人，充分调动了学生学习问题的过程中，进一步领悟方法、运提高能力。

想一想：拼成图形与梯形之间有何联系？你能从中发现什么？并填在导，实现学生知识

老师注意辅导学生，了解学生探究的情况，鼓励有因难的学生，并适自主探究、合作交

6.师生归纳出公式（完成板书）：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。的积极性。在解决

谈话：与平行四边形和三角形一样梯形面积也有字母公式，谁能用字用知识、发展思维、

3.做自主练习的第 3 题。学生练习。全班交流。全班交流。 5.做自主练习的第 5 题。你知道什么是水渠的横截面？（CAI 出示）学生练习，全班交流。四、小结：通过这节课的学习你有哪些收获？五、作业布置： 91 页的 6、7 题。

用，解决日常生活学生感受到所学的数学知识的实际应用价值，让学生有学习的成就感，也使所学的知识得到了深化和延伸，培养了学生解决实际问题的意识和能力。

4.做自主练习的第 4 题。要求面积你需要测量什么？学生练习。中的相应问题。

113

让

板书设计：上底

高

梯形的面积下底

高

教学反思：本节课我充分尊重学生已有的知识和经验，利用“做数学”的思想，把空间让给学生，把思考还给

学生，让创新走进课堂。以研究性学习为教学的主线，组织学生展开了一系列的操作、观察、交流等探究活动，引导学生动眼、动手、动脑、动口探索

下底

上底

梯形面积计算的方法，使学生经历梯形的面积计算公式推导过程，从而完成自己的知识建构。学生在活动中积极参与，不仅能获取梯形面积计算方法这一新知，同时也发展学生的空间观念，汲取数学思想方法，使整个教学过程集知识性、趣味性、活动性、探究性为一体，充分发挥了学生的主体性。

114

梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2 S = ( a + b ) ×h ÷2

梯形的面积教学案例

潘彩兰

师：请同学们想一想，你认为梯形的面积与梯形的什么有关呢？生1：上底。

生2：下底。

生3：高。

师：同学们能大胆的猜想，很棒！梯形的面积到底跟它的上底、下底和高有什么关系呢？计算公式是怎样的？答案待会儿揭晓。

【设计意图：通过猜想，激起学生探求新知的欲望，使学生明确探究的目标和方向】

师：前面我们已经学习了求三角形的面积，还记得三角形的面积是怎样计算的吗？我们是怎么获得这个公式的？

生：两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形。

师：是这样的吗？我们一起来看一看。

115

请两位学生代表到前面来演示拼、移过程。

师：这里用到了转化的数学思想，把我们要研究的图形转化成我们所学过得图形。

【设计意图：再现三角形面积公式的推导过程，不但吸引了学生的注意力，还唤起了学生的回忆，使新旧知识的联系得到了贯穿，为学生推导梯形面积计算公式做了有效的思维策略的铺垫，体现“温故知新”的教学思想】

师：今天我们要研究的是梯形，那梯形的面积怎样计算呢？它的公式

怎样才能得到？我们能否像三角形一样，把梯形转化成我们学过得图形？动手之前先来了解一下操作要求：（课件出示）

（1）2人一组，选择其中的两个梯形来拼图形，看能拼成我们所学过得哪些图形。

（2）思考所拼成的新图形的面积计算公式。

师：现在请同学们拿出学具，以小组为单位，动手操作。

(小组合作，动手操作，教师巡回指导)

师：老师发现很多小组都已经把梯形转化成了我们所熟悉的图形，有那个小组愿意来告诉我们，你们小组把梯形转化了我们所学过得什么图形？

（小组汇报）

116

师：你们是怎么转化的？

生：我们选择了两个直角梯形，把它拼成了一个长方形。

师：和他们小组一样的请举手。据我所知，你们的学具里有3个直角梯形，为什么你们只有这两个直角梯形去拼了？

生：这两个梯形完全相同。

师：为什么要用两个完全相同的梯形？

生：这两个完全相同的直角梯形能拼成长方形。

师：直角梯形除了像你们刚才这样可以拼成长方形，也能把它们拼成平行四边形。

师：还有不同的吗？

生：我们小组选择了2个普通的梯形，拼成了一个平行四边形。

师：你们为什么选择两个一样的梯形呢？

生：因为这两个梯形完全一样，可以拼成一个平行四边形。

师：回答得真好！我们一定要用两个完全一样的梯形才能拼出一个平行四边形。我们通过课件也来看看，用什么方法，才能确定2个完全一样的梯形一定可以拼成平行四边形，看看是怎么拼的。（课件演示）师：老师这里也有2个完全一样的梯形，哪个小组愿意来

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拼给我们看？（学生拼）

师：同学们真是心灵手巧，一下子就把梯形转化成了我们所学过得平行四边形。接下来，我们要找到梯形和所拼成的平行四边形的关系，就能顺利推导出梯形的面积公式。

师：现在请同学们观察黑板上的梯形和拼好平行四边形。原梯形与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

生：原梯形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半。

师：接下来，请同学们拿出表格，仍以两人为一小组，共同寻找梯形与所拼好的平行四边形各部分之间的关系。

〖设计意图：由于学生已经经历了平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程，他们完全有能力利用所学得方法进行梯形的面积计算公式的推导，所以在这个环节中，我放手让学生去实践、去探索。不

仅体现了学生的主体地位，还让学生真正经历了知识的形成过程。〗（学生汇报时，请代表到前面来指出各条边。）

师：平行四边形的面积是怎样计算的？

平行四边形的面积=底×高

师：接下来，我们根据原梯形与拼成的平行四边形各部分之间的关系，推导出梯形的

118

面积公式。（师引导学生说出梯形的面积公式，板书）梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

S=(a+b)×h÷2

师：谁愿意把刚才的推导过程复述一遍？

（先请学生代表说，再全班读公式。）

师：那现在同学们可以确定梯形的面积跟什么有关了吗？

生：上底、下底和高。

师：根据公式我们应该先算什么？这里为什么要加括号？

生：先算上底和下底的和。因为它等于拼成的平行四边形的底，所以计算时要加上小括号。

师：为什么要除以2？

生：因为每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以计算中要加上“除以2”。

〖设计意图：在操作探究的基础上，引导学生自己来总结梯形面积的计算公式，体现了让“学生自主探究、自主学习”的教学理念，满足了“学生希望自己是一个发现者、研

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究者、探索者的需要，进一步激发了学生的学习兴趣。〗

梯形的面积教案设计

学习内容：

西师版小学数学第九册教材P100-103上例1、例2、“课堂活动”的内容及“练习二十”第1题。学习目标：

1、知识与能力目标：掌握梯形的面积计算公式，能正确地计算梯形的面积。

2、过程与方法目标：通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念，使学生进一步认识转化的思考方法在研究梯形面积时的运用。

3、情感态度与价值观目标：进一步培养学生的分析、综合、抽象、概括和运用转化的方法解决实际问题的能力。

学习重点：

正确地进行梯形面积的计算。

学习难点：

梯形面积公式的推导。

120

教具：

投影、小黑板。

学具：

若干个梯形图片（其中有两个完全一样的）。

学习过程：

一、导入新课

1、提问：我们学习过哪几种平面图形的面积计算？计算公式分别是什么？

2、你能说出平行四边形的面积公式是如何推导的吗？三角形的面积公式呢？

3、创设情境：

投影显示：平行四边形和三角形的面积推导过程。

启发谈话：同学们能依照平行四边形和三角形面积的方法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗？（板书课题）

二、新课展开

1、操作探索

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⑴拼一拼，让学生拿出自己准备的两个完全一样的梯形动手拼一拼。

提问：你拼成了什么图形，怎样拼的？演示一遍。

⑵看一看，观察拼成的平行四边形。

提问：你发现拼成的平行四边形和梯形之间的关系了吗？

出示小黑板：拼成的平行四边形的底等于（），平行四边形的高等于（），每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的（）。

⑶想一想：梯形的面积怎样计算？

学生讨论，指名回答，师板书。

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

师：（上底+下底）表示什么？为什么要除以2？

⑷做一做：计算“前面出示的梯形”的面积。

2、扩散思维

师：如果我们手中只有一个梯形，你们能不能自己动脑想出别的计算方法推导它的公式？下

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面小组讨论。分组汇报：

生1：做对角线，把梯形分割成两个三角形，如下图⑴：

图⑴

生2：从上底的一个顶点做另一腰的平行线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。

如下图⑵。

图⑵

生3：从上底的两个顶点作下底的垂线，把梯形分割成一个长方形和两个三角形，如下图⑶。图⑶

师：同学们真聪明，想出了好多种方法，推导出了梯形的面积计算公式，但不管采取何种方法都可以得出梯形的面积是“上底与下底的和乘以高再除以2。”

3、反馈练习

完成课本P102“课堂活动”的内容（一人板演）。

三、应用深化

1、出示例子：一个梯形的上底是2cm，下底是5cm，高是3cm。求这个梯形的面

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积。学生尝试计算：

( 2 + 5 ) ×3÷2

= 7×3÷2

=21÷2

=10.5（平方厘米）

答：它的横截面的面积是2.52平方厘米。

四、巩固练习：

P103“练习二十”第1题。

五、全课小结：

本节课你学到了什么？你是采用什么方法学到的？

六、课外作业：

练习二十相应题目。

梯形面积计算教案

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一、说教材

1、说课内容：九年义务教育六年制第九册第三单元第3小节《梯形面积的计算》。这一课内容是在学生学会计算平行四边形、三角形面积的基础上进行教学的。

2、教学目标：

认知目标：使学生理解梯形面积计算公式，能正确地计算梯形面积。

能力目标：通过操作观察比较发展学生的空间观念，学生经历梯形面积公式的探索过程，进一步感受转化的数学思想，进一步培养学生的观察、分析、概括、推理和解决实际问题的能力，

情感目标：让学生自我展示、自我激励，体验成功，在不断尝试中激发求知欲，陶冶情操。培养学生探索精神和合作精神。

3、教学重、难点：

重点：理解梯形面积计算公式的推导，并能正确运用梯形面积的计算公式进行计算。难点：运用不同的方法推导出梯形的面积公式。

二、说教法与学法

1、根据几何图形教学的特点，我采用了以下几点教法：

125

①充分发挥学生的主体性，让学生通过课堂讨论、相互合作、实际操作等方式，自主探索、自主学习，使学生在完成任务的过程中不知不觉实现知识的迁移和融合；

②有目的地运用知识迁移的规律，引导学生进行观察、比较、分析、概括，培养学生的逻辑思维能力。

2、通过本节课的教学，使学生掌握一些基本的学法：

①让学生学会以旧引新，掌握并运用知识迁移进行学习的方法；

②让学生学会自主发现问题，分析问题，解决问题的方法。

三、说教学过程

新课程的基本理念就是要让学生“人人学有价值的数学”，强调“教学要从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们积极主动地探索、解决数学问题。所以本课在教学思路上淡化教师教的痕迹，突出学生学的过程。从而充分体现了学生是学习的主人，教师只是学生学习的组织者、引导者与合作者。根据本课教学内容、学生的实际认知水平和新课程理念的指导下，本课的教学设计如下：

（一）、复习旧知引出新课

1、回忆已经认识的平面图形。说说平形四边形和三角形面积的计算公式，并回想三角形面积的推导过程。

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2、谈话引出课题

关于梯形你们想知道什么？（让学生说说自己的想法）

〈这个环节的设计主要是通过复习提问，从而唤起学生的回忆，为沟通新旧知识的联系，奠定基础。也就是为梯形面积的推导做好铺垫，并在学习新课之前激发学生的学习兴趣，让学生怀着由好奇引起的理智上的震动进入认知活动方面的探索。〉

（二）、讲授新课

1、直接切入主题：

对于梯形的面积你们打算怎样找到它的计算方法？（让学生说说自己的思路——把梯形转化为我们学过的图形。）

〈这一环节的设置意在激活学生思维，为学生提供创新机会，让学生主动参与，培养他们从小树立探寻知识的意识的良好学习习惯，变“要我学”为“我要学”，也为新课的展开起好前奏。〉

2、动手操作前让学生先对梯形进行分类。（可分为：一般梯形、等腰梯形和直角梯形）

3、研究建议：

①选择喜欢的梯形，按照“转化”的思路来研究。

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②小组分工合作，考虑不同的转化方法。

4、自主探究，合作学习

学生小组讨论，动手操作。〈教师可有意识地参加到小组中去合作、辅导〉

5、分小组展示汇报，教师深化点拔。

指名说说自己是怎样做的。（边说边演示其过程）

〈两个完全一样的梯形拼成〉〈沿着高切割、拼摆〉〈沿着一条腰的中线切割、拼摆〉„. （上底+下底）×高÷2（上底+下底）÷2×高（上底+下底）×高÷2„„

刚才同学们采用不同的割补、拼摆等方法，将梯形转化成平行四边形、长方形或三角形，发现了它们之间的关系，推导出了不同的面积公式，运用这些公式，我们都可以计算出梯形的面积。只不过，这些公式从形式上看略有不同，我们可以把它们整理成：

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

7、应用公式，尝试计算梯形面积（出示一个基本图形让学生计算）

〈这一环节意在让学生主动参与到数学活动中，亲自去体验，让学生运用自己已有的知识，大胆提出假想，共同探讨，互相验证，更强烈地激发学生探究学习的兴趣，更全面、更方便地揭示新旧知识之间的联系。这种让学生在活动中发现、活动中体验、活动中发散、活动中发展的过程，真真正正地体现了以人的发展为本的教育理念。〉

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（三）、深化巩固

1、学习例1

（1）、借助教具演示，理解“横截面”的含义。

（2）、弄清渠口、渠底、渠深各是梯形的什么？

（3）、学生尝试计算横截面积。

〈巩固新知是课堂教学中不可缺少的一个过程，这一环节是为了将学生的学习积极性再次推向高潮，能更好地运用公式计算梯形面积，从中培养了学生解决简单实际问题的能力。〉

四、总结，反思体验

〈这个环节主要是再次把学习的主动权交给学生，让学生在回忆过程中更清楚地认识到这节课到底学了什么,通过谈感想,谈收获,学生间互相补充,共同完善,有利于学生学习能力的培养,同时体验学习的乐趣和成功的快乐。〉

板书：

梯形的面积

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

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梯形的面积教案设计

一、教学目标：

1．理解、掌握梯形面积的计算公式，并能运用公式正确计算梯形的面积。

2．发展学生空间观念。培养抽象、概括和解决实际问题的能力。

3．掌握“转化”的思想和方法，进一步明白事物之间是相互联系，可以转化的。

二、教学重点：理解、掌握梯形面积的计算公式。

三、教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。

四、教学过程：

（一）复习引入：

师：同学们！在我们开始讲新知识之前我先来考考大家，之前我们学过的平行四边形和三角形的面积是如何计算的？

生：平行四边形的面积=底×高三角形的面积=底×高÷2 生：三角形S=ah 平行四边形S=ah÷2

130

（注意要求学生回答全面，也就是说文字对应公式都说出来。）师：不错啊！看来大家对于公式都记得很熟了！下面我再来考考大家的运用。

师：请你口算求出下面图形的面积。

生：30 平方厘米。生：32 平方厘米。（这个过程不找学生重复的说公式，耽误时间，当学生回答出答案时，问大家和她想的一样的

举手了解学生情况即可。）

接着进行下面的练习。生1：12 平方厘米。生：9 平方厘米。（当学生出现错误答案时仍然用大家举手来进行否定或肯定，最后都要强调除以 2）

师：看来大家对前面的知识掌握得很好啊！今天我们就来一起研究梯形的面积，看看梯形的面积又是如何计算的呢？

探索新知：请拿出我们准备好的梯形。下面就用你们手中两个相同的梯形摆一摆，看一看两个相同的梯形能拼出一个什么样的图形呢？

生：能得到。。。。图形，请同学上来进行演示，

师：大家拼的种类还挺多，哪种是我们认识，求面积时也比较熟悉的图形呢？

生：平行四边形

131

师：是不是任意两个梯形就能拼成一个平行四边形呢？讨论出两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。

师：那这个平行四边形的面积又和这个梯形的面积有什么关系呢？生：一个梯形的面积就是这个拼成平行四边形的一半

师：板书：平行四边形的面积=底×高

师：那梯形的面积=底×高÷2

师：大家同意吗？

生：不同意！（同意，老师追问大家都没有问题啊！那老师有个问题要问问了，梯形有上底和下底之分，这里的底×高÷2 中的底是那

个呢？引导学生讨论出这个底其实就是上底加下底的和）

生：不同意的说明理由，也就在这个过程中引导出这个底其实就是上底加下底的和。

师：如果用字母s 表示梯形的面积，a、b、h 分别表示梯形的上底、下底和高，用字母怎样表示梯形的面积公式就是S=（a+b）h÷2（领着学生一边说一边板书）

师：同学们这节课表现这不错啊！大家在一起拼一拼探讨探讨就把梯形的面积计算公式研究出来了！你们还真厉害，那下面我们就做几道练习，看看你们是不是能够很好的运用你们所探讨出来的公式呢？

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（三）巩固练习

（四）课堂小结今天你学到了哪些知识呢？

梯形的面积教案张伟

课题：北师大版小学数学五年级（上）《梯形的面积》

姓名：张伟

学校：辽宁省大连市庄河蓉花山镇中心小学

通讯地址：辽宁省大连市庄河蓉花山镇中心小学

邮编：1103

电话：202277

资源连接search/wenku/huodong/teach.html

教学内容：

北师大版小学数学五年级（上）探索活动（三）梯形的面积

教材分析：

133

“梯形的面积”是北师大版小学数学五年级上册第三单元的内容。梯形面积的计算是在学生学会平行四边形的特征和面积，以及梯形的特征的基础上进行教学的。这部分知识是将来进一步学习图形面积的基础，也是计算组合图形面积和圆的面积计算的基础。在前面学习的平行四边形的面积时，学生已经积累了一些经验，意识到图形之间的转化思想了。实际上梯形面积公式的推导也是应用平行四边形公式推导的思路，利用转化思想解决问题。因此，在教学时，教师主要还是一个引导者，主要是带领学生探究梯形的面积公式，意在让学生在实际操作中发展空间观念，在动手操作中理解转化的思想，为后面探索图形的面积打好基础。本课是在学习了平

形四边形面积的基础上教学的，学生学好这部分内容，既发展了空间观念，又培养了知识解决问题的能力，为今后学习几何部分知识奠定了基础。

梯形的面积

教学内容：

北师大版小学数学五年级上册 “梯形的面积”

教学目标：

1、在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。

2、在自主探索活动中，运用学过的转化方法，通过寻找图形之间的联系，经历梯形面积公式的推导过程。

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3、培养学生动手操作和观察、比较、分析、概括的能力，同时发展学生的空间观念。

4、能运用梯形面积的计算公式解决相应的实际问题。

教学重点：

推导梯形的面积公式并能正确运用公式计算。

教学难点：

转化后的图形与梯形之间的内在联系。

教学媒体：

PPT课件一份，实物投影仪，粉笔。

学具准备：

每人两个完全相同的梯形，剪刀，直尺，三角板

教学过程：

（一）复习准备

师：同学们还记得平行四边形的面积公式吗？

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生：平行四边形面积=底×高

师板书：平行四边形面积=底×高

师：用字母怎么表示？生：„

师：三角形的面积公式是什么？用字母怎样表示？三角形面积公式是怎样推导出来的？（课件）

把2个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高就是三角形的高。平行四边形面积等于底乘高，三角形面积是这个平行四边形面积的一半，所以三角形面积=底×高÷2

师：我们在推导平行四边形和三角形面积公式时，把要研究的图形经过拼组、割补等方法转化成已经学过的图形，进而推导出面积计算的公式。利用面积计算公式可以解决生活中的很多问题。

（二）新知探索

1、呈现实际情境，感受计算梯形面积的必要性

师：其实生活中，还有很多类似于这样的问题也需要解决。（课件出示）读题：这里有一个灌溉堤坝的横截面，它的面积是多少？

什么是横截面呢？师演示

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师：堤坝的横截面是什么形的？求堤坝的面积其实就是求梯形的面积。

师：梯形的面积该怎么计算呢？今天，让我们共同来研究梯形的面积。（板书课

题：梯形的面积）

师：大家认为我们该从哪儿入手呢？

（学生思考片刻可能回答：可以先转化为学过的图形。）

师：下面咱们发挥小组的力量，共同来研究。

2、提供材料，自主探索图形的转化过程。

（1）提出小组合作的建议。（课件）

小组合作的建议：

①利用你们小组的梯形学具，先思考，能把它转化成已学过的什么图形？

再动手试一试，注意观察转化后的图形与原来的梯形有什么关系？怎样计算

梯形的面积？

②把你的方法与小组成员进行交流，共同验证。

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（2）学生小组合作讨论，动手操作，教师巡视参与并给予适当的指导。

（3）全班汇报交流。

同学们已经用不同的方法把梯形转化成了我们学过的图形，哪个小组派代表跟大家交流？（投影展示）

生①：我用两个完全相同的梯形（一般梯形）拼成了一个平行四边形。。。。。生②：我用两个完全相同的梯形（直角梯形）拼成了一个长方形。。。。。

师：长方形是特殊的平行四边形，因此也可以说拼成了平行四边形。

生③：我用两个完全相同的等腰梯形拼成了一个平行四边形。。。。。

3、探索、归纳梯形的面积计算公式

师：同学们介绍了各种方法，现在以“用两个普通梯形拼成一个平行四边形”为例，再来看看梯形面积计算方法的推导过程（课件出示），观察转化后的平行四边形与原来的梯形有什么关系？

生1：梯形的面积是所拼成的平行四边形面积的一半。

生2：梯形上底、下底的和等于拼成后的平行四边形的底，

（板书：上底+下底）梯形的高就是平行四边形的高。（板书：高）谁再说说他们的

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关系？

生3：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

（教师板书梯形面积计算公式。）

师：梯形的面积为什么要除以2？

生：因为拼成的平行四边形有两个梯形，求一个梯形的面积就要除以2。

师：谁能把刚才的推导程完整地再说一遍？（课件演示）

我们把梯形转化成平行四边形推导出了它的面积公式，看来转化的确是一种很有用的数学思想方法以后我们也会经常用到它。刚才大家都是利用两个梯形来推导梯形面积的算法，其实我们也可以利用一个梯形来进行研究，不妨来看看这几种方法。（课件演示）

预设：

（3）做对角线，把梯形分割成两个三角形。

（4）将梯形上底和下底对折，沿折线剪开，拼成了一个平行四边形。

（5）沿梯形一腰中点和对角顶点对折，再沿折线剪开，拼成了一个三角形。

师总结：实际上利用一个梯形推导梯形面积的方法还有很多。不管采取何种剪拼方法都可以得出梯形的面积是“上底与下底的和乘高再除以2”。课下同学们可以继续去用不同

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的方法验证。

师：如果用S表示梯形的面积，用a,b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形面积公式应怎样表示？

（板书：S=（a+b）×h÷2。）齐读公式

师：计算梯形面积必须要知道哪些条件？现在堤坝横截面的面积大家会算了

吗？（课件）从图中得到哪些数学信息？写在练习本上。

学生汇报。（课件出示答案）

（三）联系实际，巩固运用

1、完成试一试

师：接着试一试这两道题，读题。汇报，说方法。

2、练一练第1题看图填表。（每个小方格的边长表示1cm）

练一练第2题、

计算下面图形的面积，你发现了什么？

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为什么他们的面积会相等？

4、练一练第4题

我们经常见到圆木、钢管等堆成下图的形状（出示教材第28第4题），求

这堆圆木有几根？你会列式计算吗？

5. 解决生活中的问题

30页第4题，让学生完成。集体交流

（四）课堂小结

师：这节课你有什么收获？

教学反思：

数学来源于生活，那么我就从生活中入手设计了一个情境，为了给防洪工作做好充分的准备，我们需要知道堤坝的横截面的面积。让学生产生疑问，如何去求横截面的面积呢？使学生产生兴趣，有好奇心去探索。

体现学生的主体性，让每个学生都能主动参与学习。学生是学习活动的主体。这堂课在设计时，至始至终体现了让学生主动参与学习的基本理念。让学生学会以旧引新，掌握运用知识迁移，学法迁移进行学习的方法，培养学生的自学能力和探索精神。让学生通过

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动手操作、和直观演示进行观察、比较、推理等探索过程，得出梯形的面积计算公式，另外，在思考问题的基础上进行合作交流，从而提高学生自主发现问题，分析问题，解决问题的能力，以及培养学生团结合作的意识。在这节课中学生亲身经历了实践探究的过程，通过自主探索和同伴间的合作交流，充分运用割补，平移和旋转等的数学思想，掌握平面图形之间的内在联系，得出公式推导的多种方法，为学生个性的发挥提供了很大空间，从而使学生获得一种莫大的成就感，因此养成自觉观察、学习和思考的良好习惯，为他们的可持续发展创造了很好的条件。

3.《梯形的面积》教案设计

3.《梯形的面积》

教案设计

设计说明

本节课的教学内容是在学生学习了平行四边形和三角形的面积计算方法的基础上进行教学的。本教学设计体现在以下两个方面：

1．精心设计问题，引领学生交流探索。

设计能启发学生思考的数学问题对于数学教学有着无法估量的价值。有价值的数学问题是数学教学的有效载体，它具有恰当的探索空间，具有较好的针对性，具有一定的趣味性。本教案首先设计了导向型问题“平行四边形和三角形的面积计算公式是怎样推导出来的？”接着是计划型问题“面对梯形的面积这样一个新知识，你打算怎么办？”紧接着是

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目标型问题“怎样计算梯形的面积呢？”并以这个大问题统领全课，引导学生围绕这个问题进行交流互动，寻找解决问题的方法，充分体现数学学习的过程就是解决问题的过程。

2．迁移思想方法，探索梯形面积的计算方法。

在本节课的学习中，学生解决问题的关键是在于头脑中是否有“把梯形转化成已学过的平面图形”的思路和“怎样转化”的策略。由于学生经历了平行四边形和三角形的面积计算公式的推导过程，他们完全有能力利用所学的方法对梯形的面积计算公式进行推导。因此，老师为每个学生都准备了一般梯形、直角梯形和等腰梯形。选择他们喜欢的梯形，先思考能把它们转化成已学过的什么图形，再按照“转化——找联系——推导公式”的思路来研究。由于每个学生的数学基础不同、思维方式不同，学生面对问题所使用的思考策略必然不同。在整个汇报展示的过程中，不但要为学生提供一个展示不同方法和想法的平台，还要通过实际操作、互动交流，启迪学生深思，引发争论。让思维的火花得到碰撞，让学生在合作交流中理解意义、掌握方法。

课前准备

教师准备 PPT课件、学情检测卡、课堂活动卡、梯形教具、剪刀

学生准备两个完全一样的梯形、剪刀、练习卡片

教学过程

⊙创设情境，导入新课

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我们的校园很美，现在学校准备在小操场上种植草皮进一步绿化、美化我们的校园(课件出示一个近似梯形的空地)，这块空地的形状是什么图形？现在要铺好这样一块地，求学校至少要种植多少草皮，就是计算这块地的什么？怎样求梯形的面积呢？这就是今天我们要学习

的内容。

(板书课题：梯形的面积)

设计意图：通过创设绿化、美化校园的情境，提出一系列问题，引发学生进行思考，激发学生的探究欲望。

⊙猜想并自主探究

1．公式的猜想。

师：同学们，前几节课我们学习了哪些图形的面积计算公式？

(学习了三角形、平行四边形的面积计算公式)

师：现在请同学们回忆一下，平行四边形的面积计算公式我们是怎样推导出来的？三角形的面积计算公式我们又是怎样推导出来的？

(学生回答，教师出示PPT课件，演示平行四边形与三角形的面积计算公式的推导过程) 师：我们在推导平行四边形和三角形的面积计算公式时，有什么共同点？

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(都是运用转化的方法，把未知转化为已知)

师：这种方法很重要，我们在解决很多问题的时候都是利用已有的知识去解决新问题。对于梯形的面积如何计算，同学们也可以大胆地猜想一下，梯形可以转化成我们已学过的哪种图形呢？

(生猜想，教师根据学生回答写出图形名称)

设计意图：通过对平行四边形与三角形的面积计算公式的推导过程的回顾，为学生推导梯形的面积计算公式做了思维策略上的有效铺垫。让学生对梯形如何转化进行猜想，进而培养学生的直觉思维和探究意识。

2．公式的探究。

师：同学们对梯形能转化成哪种图形作了大胆猜想，但光有猜想是不够的，我们还要对自己的猜想进行探究和验证，通过事实来说明你的猜想是否合理、正确。现在同学们就开始动手对自己的猜想进行探究和验证吧！这里老师提几个要求。

教师出示：

(1)把准备好的梯形转化成已学过的图形。

(2)认真观察，探究梯形与拼成的图形在面积和各边的长度上有什么关系？

(3)尝试从拼成的图形的面积计算公式的基础上推导梯形的面积计算公式。

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(学生探究，教师指导)

探究后，学生汇报推导过程，教师引导得出如下几种推导思路：

思路一用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形(如下图)，得出拼成的平行四边形的面积是梯形面积的2倍，拼成的平行四边形的高与梯形的高相等，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，从而推出“梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2”。

思路二把梯形剪成两个三角形(如下图)，得出梯形的面积等于两个三角形的面积之和，从而推出“梯形的面积＝上底×高÷2＋下底×高÷2”。

思路三把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形(如下图)，得出梯形的面积等于一个平行四边形与一个三角形的面积之和，从而推出“梯形的面积＝上底×高＋(下底－上底)×高÷2”。

(4)引导学生对以上的推导结果进行比较，最后得出“梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2”。

师：如果用S表示梯形的面积，用a表示梯形的上底，用b表示梯形的下底，用h表示梯形的高，那么梯形的面积计算公式用字母怎样表示？

[学生自主探究，交流并汇报：S＝(a＋b)×h÷2]

设计意图：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。在这个环节中，教师放手让学生自主去实践、去探

146

究，使学生在探究梯形的面积计算公式的过程中，不仅掌握了梯形的面积计算公式，理解了梯形的面积计算公式的由来，而且更有力地促进了学生思维能力的发展和解决问题的策略意识的形成。

⊙运用公式解决问题

课件出示教材96页例3情境图和横截面示意图。

1．引导学生观察：横截面是什么形状？它的高在哪里？

(横截面是一个直角梯形，它的高就是和上、下底形成直角的那个腰)

2．学生尝试计算，交流后汇报。(教师巡视)

S＝(a＋b)×h÷2

＝(36＋120)×135÷2

＝156×135÷2

＝10530(m2)

设计意图：解决问题时，利用课件和图片帮助学生理解横截面的意义，找到直角梯形的高就是它的一个腰长，再应用公式进行计算，让学生感受到数学源于生活，并应用于生活。

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⊙巩固练习，实践运用

1．火眼金睛我能辨。

(1)梯形的面积是平行四边形面积的一半。( )

(2)两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。( )

(3)一个梯形的上底是10 cm，下底是20 cm，高是10 cm，它的面积是300 cm2。( )

2．生活运用我能行。

(1)教材98页10题。

(引导学生分析题意，列式解答)

(2)课前留给大家的问题还没有解决，现在我们来解决它。(师再次出示近似梯形的空地)要求这块空地的面积需要知道什么条件？(要知道上底、下底和高各是多少)

教师出示：上底12 m、下底16 m、高2 m，学生进行计算，求出这块空地的面积。 ⊙全课总结

通过本节课的学习，你有什么收获？你是如何学习的？

⊙布置作业

148

教材97页2、4题。

板书设计

梯形的面积

平行四边形转化梯形――→ 三角形平行四边形和三角形

梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷2

S＝(a＋b)×h÷2

例3：S＝(a＋b)×h÷2

＝(36＋120)×135÷2

＝156×135÷2

＝10530(m2)

梯形的面积导学案

五

年

149

数

学

导

学

案

课型自学展示课

年级：五年级

主备人：郭丽

审批人：胡俊岭

课题梯形的面积学习

知识目标： 2. 经历推导梯形面积公式的过程。

1、回顾一下，我们是如何推导三角形的面积计算公式的？ 2、两个同样的梯形能否拼成一个平行四边形？ 3、梯形面积=_____________________ 4、有一个堤坝的横截面如图，它的面积是多少？（三）、练一练： 1. 第一题看图填表（每个小方格的边长表示 1 厘米）梯形 m ① ② ③ 你用的什么方法？写一写（四）、拓展延伸练一练第四题 a/c

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m b/c m h/c m? s/c

知识超市

1. 在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。

目标能力目标：能运用梯形面积的计算公式解决相应的实际问题。

德育目标：积极参与探索活动，体会观察，分析，猜想验证等方法。

重点重点：推导梯形面积公式的过程。难点难点：能运用梯形面积的计算公式解决相应的实际问题。环节导学流程

梯形的面积= （上底 +下底） ×高 ÷2 字母公式： s= （a+b） h÷2 a=2s÷ h-b

一、导入新课（2＇）二、知识导图

认识计算梯形面积的必要性梯形的面积三、自主学习 1、独学（7＇）运用梯形面积的计算公式解决实际问题推导梯形面积公式的过程（

五、反馈检测（5＇） 1.两个（）的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形的），高是梯形的（）。梯形的面积计算公式：（）字母表达式：（）。

看交流展示部分内容，完成。 2、对学（3＇）学生以对子组为单位，交流意见，探讨学案上未能解决的问题。教师了解学生完成学案的情况。 3、组学（5＇）

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学生以讨论组为单位，合作探究完成学案上的内容，达成共识，并准备板演。教师适时点拨。四、交流展示（16＇）

2、一梯形良田，上底是 17 米，下底是 26 米，高是 34 米，这块良田每平方米场小麦 712 千克，小麦多少千克？六、归纳总结（2＇）梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母公式：s=（a+b）h÷2 a=2s÷h-b

梯形的面积导学案

<导学案

【学习内容】课本第88--页内容。用红笔勾画出疑惑点；思考完成自主

学习和合作探究任务，并总结规律方法。

【学习目标】

1、理解、掌握梯形面积的计算公式，并能运用公式正确计算梯形的面积。

2、发展学生空间观念。培养抽象、概括和解决实际问题的能力。

3、掌握

【学习重难点】

理解公式并正确计算梯形的面积。

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【学习流程】

一、自主探索、合作交流

（一）、小组合作、动手操作

1、玩一玩手中完全一样的两个梯形,看能拼成什么图形。

并贴在下面：

2、讨论?梯形的上底加下底的和求的是什么？上底加下底的和乘高求的是什

么图形的面积？那要求梯形的面积还应该怎么办？

3、小组共同探索梯形的面积公式，求梯形的面积要具备什么条件

（二）、实践运用

1、自主完成页例3

2、全班交流。进行组内交流、组际解疑，老师进行点拨。班级姓名科目课型主备人组长签名

四、合作考试（1、先答题 2、组内交流 3、师生交流）

1、填空。

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（1）两个完全一样的梯形能拼成一个（），拼成的平行四边形的底由

梯形的上底和下底的（）组成，所以梯形的面积等于（）。

用字母表示是（）。

（2）一个梯形的上底是3.8m，下底是8m,高是2.5m，面积是（）。

（3）12.5公顷=（）平方米 78000平方米=（）公顷

680平方厘米=（）平方分米 0.75平方米=（）平方分米

2、判断。

（1）平行四边形的面积一定比梯形面积大。（）

（2）两个面积相等的梯形可以拼成一个平行四边形。（）

（3）梯形的面积等于梯形的上底加下底的和乘以高。（）

3、解决问题：

（1）有一块梯形菜地，上底长15m，下底长28m,高14.7米.如果每平方米蔬菜

收入36.5元，这块菜地的总收入是多少元？

154

（2）梯形的上底是15厘米，下底是25厘米，面积是130平方厘米，这个梯形

的高是多少米？

总结、评价：今天的学习，

了：。我学会

我在方面的表现很好，在方面表现不够，以后要注意的是：

梯形面积导学案

班级 :

姓名:

使用时间：20xx.12.4

《梯形面积的计算》导学案【预习案】1．知识回顾：

（1）梯形有（）条高，有（）个底边。（2）平行四边形的面积公式是（），用字母表示是（）。（3）三角形的面积公式是（），用字母表示是（）。（4）要计算出平行四边形的面积，必须要知道它的一个（）的长度与它所对应的一条（）的长度。 2．教材助读：阅读课本第 27 页，思考“梯形可以转化成什么图形？”并试着

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做一做。在理解内容的基础上，完成以下题。（1）梯形可以通过（）法转化成（）形。（2）通过阅读联系平行四边形的面积，得出梯形的面积公式是（）。（3）用字母表示：面积用字母（）表示，a 和 b 分别表示梯形的（）（） h 表示梯形的和，（），因此梯形的面积公式用字母表示是( )。 3、预习自测：算出它们的面积：（画出高，量出上底、下底和高）

个条件决定的（） 2．当梯形的面积一定时，上底与下底的和越大，高越大。（） 3．梯形的上底和下底各减少 5 厘米，面积就减少 10 平方厘米。）（ 4．梯形的面积随着高的变化而变化。（） 5．有一组对边平行的四边形是梯形。（） 6．梯形的面积等于平行四边形面积的一半。（）三、计算下面梯形的面积。（单位：米） 7.8 3 4.5 5 6 6 3.9

四、解决问题： 1．一块白菜地的形状是梯形，它的上底是 9 米，下底是 12 米，高是 18 米。如果平均每棵白菜占地 9 平方分米，这块地里一共有白菜多少棵？

【探究案】探究点一：梯形的面积计算公式的推导 1.你能仿照求三角形面积的方法，用两个完全一样的梯形推导出梯形面积的计算公式吗？拼拼看。 2. 结论：两个（）的梯形可以拼成一个（）拼成的平行四边形的底等于，（），平行四边形的高等于（），梯形的面积是拼成的平行四边形面积的（）。所以，梯形的面积= （）字母公式：，（）。探究点二：求梯形的面积运用梯形的面积公式完成课本第 28 页的试一试。当堂检测：完成练一练第 1-4 题。【训练案】一、填空。 1．一个梯形的上底是 6dm，下底是 13dm，高 7dm，这个梯形的面积是（）。 2．两个（）的梯形，可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于（），高等于（），这个

156

梯形的面积是拼成的平行四边形面积的（）。 3．一个梯形的面积是 48 平方厘米，上底是 4 厘米，下底是 8 厘米，高是（）厘米。 4．如果一个梯形上底与下底都不变，高扩大到原来的 2 倍，梯形的面积就（）。 5．如果梯形的面积不变，上底和下底都扩大到原来的 3

倍，高应该( )。二、判断。 1．梯形面积的大小是由梯形的上底、下底和高三

2．一个梯形上底 6 米，下底 9 米，高 5 米，在这个梯形中，画一个最大的三角形，这个三角形的面积是多少平方米？

3.一块梯形土地，上底为 40 米，下底比上底长 20 米。这块梯形土地的面积是 1500 平方米，它的高是多少米？

（能力提升）4．一堆水泥管，横截面是梯形，上层 10 根，下层 18，每相邻两层差 1 根，这堆水泥管共有多少根？

5.一个梯形的面积是 60 平方厘米，周长是 38 厘米，两腰长度之和是 18 厘米。求梯形的高。 4cm 6.右图中，梯形的面积等于 72 平方厘米，上底长 4 厘米，下底长 8 厘米。求图中阴影部分的面积。

8cm

《梯形的面积》导学案

157

年级姓名

一、复习导入：

1、平行四边形和三角形的面积公式。

2、回顾平行四边形和三角形面积公式的推导过程。

二、探究新知：

1、你能想办法求出下面梯形的面积吗？

2、（1）动手拼一拼

提问：你认为拼成一个平行四边形所需要的两个梯形有什么特点？

（2）测量、计算，完成表格。

(3)小组讨论：

拼成的平行四边形的底与梯形的上底和下底有什么关系？

平行四边形的高与梯形的高有什么关系？

每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？

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根据平行四边形的面积公式，怎样求梯形的面积？

(4)梯形的面积公式。

三、巩固练习：

1、试一试

2、练一练

3、练习三第6题

四、课堂总结

通过今天的学习，你有什么收获？

159

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