04第四章 几个初等函数的性质【讲义】

第四章 几个初等函数的性质

一、基础知识

1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当01时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：a1na,aa,anmnnmn1n1。 n,amnaam3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），

值域为R，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）；

x

1）a=Mx=logaM(a>0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；

M）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；， Nlogcb15）loga nM=loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).

nlogcaa5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是,a和a,，单调递减区间为a,0x和0,a。（请读者自己用定义证明）

3）loga（

6．连续函数的性质：若a0. 【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.

例2 （柯西不等式）若a1, a2,„,an是不全为0的实数，b1, b2,„,bn∈R，则（≥(

ai1n2i）·（

bi1n2i）

abii1nni)2，等号当且仅当存在R，使ai=bi, i=1, 2, „, n时成立。

【证明】 令f(x)= （因为

ai1nn2i）x-2(

2

abii1ni)x+

b=(a2ii1i1nnixbi)2,

ai12i>0，且对任意x∈R, f(x)≥0，

所以△=4(展开得（

abii1n2ini)-4（

ai12i）(

nbi1iin2i)≤0.

ai1）(

bi1n2i)≥(

abi1)2。

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=bi, i=1, 2, „, n。

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11的最小值。 yxyxy1111xy【解】u=x=xy+≥xy++2·y yxxyxyxyyx1=xy++2.

xy1(xy)2c2c2. 令xy=t，则0t444c2c2因为0例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=xc2c24c24所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.

44c24c2cc24当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为+2+2.

24c2．指数和对数的运算技巧。

例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求

q的值。 p【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

44所以9 t +12 t =16 t，即1+.

3315q12t4记x=t，则1+x=x2，解得x.

2p93qq15又>0，所以=. pp2例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且证：a+b=c.

【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以

tt2t1111，求xyzw111111lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，

xzwwwy相加得

11111111， (lga+lgb+lgc)=lg70，由题设wxyzwxyz所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2×5×7.

若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c.

例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab. 【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得

logax2logax， logaclogab因为ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab. logax数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载

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注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.

125【解】 方程可化为=1。设f(x)=

236xxx125, 则f(x)在(-236xxx∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.

xyy12x+

例8 解方程组：xy（其中x, y∈R）. 3xy(xy)lgx12lgy【解】 两边取对数，则原方程组可化为. ①②

(xy)lgy3glx把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.

由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6， 代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0. 又y>0，所以y=2, x=4.

x11x24;所以方程组的解为 . y1y212例9 已知a>0, a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。

(xak)2x2a2【解】由对数性质知，原方程的解x应满足xak0.①②③

x2a20若①、②同时成立，则③必成立，

(xak)2x2a2故只需解.

xak0由①可得2kx=a(1+k2)， ④

a(1k2)1k2

当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k.

2k2k

若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

三、基础训练题

1．命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。 2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________. 3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。

1a2

4．若log2a<0，则a 取值范围是_________。

1a

a5．命题p: 函数y=log2x3在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)

x的值域为R，则p是q的_________条件。

6．若00且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

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8．若x=

11log13211log135，则与x最接近的整数是_________。

9．函数ylog110．函数f(x)=

11的单调递增区间是_________。 1x1x211．设f(x)=lg[1+2x+3 x +„+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程四、高考水平训练题 1．函数f(x)=

x13x,2的值域为_________。 2x22x5lg2x=2有一解，二解，无解？

lg(xa)8

1+lg(x2-1)的定义域是_________. x

2．已知不等式x2-logmx<0在x∈0,时恒成立，则m的取值范围是_________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________. 4. 若f(x)=ln

5. 命题p: 函数y=log2x121xab，则使f(a)+f(b)=f_________. 1x1aba3在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)x的值域为R，则p是q的_________条件.

6．若00且a1，比较大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________. 8．若x=

11log13211log135，则与x最接近的整数是_________.

9．函数y=log110．函数f(x)=

11的单调递增区间是_________. 1x1x211．设f(x)=lg[1+2x+3 x +„+(n-1) x +n x·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。 12．当a为何值时，方程四、高考水平训练题 1．函数f(x)=

x13的值域为_________. x,222x2x5lg2x=2有一解，二解，无解？

lg(xa)8

1+lg(x2-1)的定义域是__________. x

2．已知不等式x2-logmx<0在x∈0,时恒成立，则m的取值范围是 ________. 3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________.

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12数学题_数学网 http://www.qzwh.com

1xab，则使f(a)+f(b)=f成立的a, b的取值范围是________. 1x1ab10231q5．已知an=logn(n+1)，设，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p·q的值

pn2logan1004．若f(x)=ln

为_________.

6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.

7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.

|lg|x1||8．函数f(x)=0x1的定义域为R，若关于x的方程f-2(x)+bf(x)+c=0有7个x1不同的实数解，则b, c应满足的充要条件是________. （1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。

11x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）. x2211xabab10．已知f(x)=lg，若f=1，f=2，其中|a|<1, |b|<1，则

1x1ab1ab9．已知f(x)=f(a)+f(b)=________.

11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 12．设f(x)=|lgx|，实数a, b满足013．设a>0且a1, f(x)=loga(x+x21)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若

ab，求证：

23n3nf(n)<(n∈N+)，求a的取值范围。

2-1

五、联赛一试水平训练题

1．如果log2[log1(log2x)]= log3[log1(log3x)]= log5[log1(log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排

235列为___________.

2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有logx1993+ logx1993+ logx1993> klogx1993恒

01020x1x2x3x3成立，则k的最大值为___________.

3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则

1Smax1Smin的值为___________.

4．已知05．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.

6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为M，则M的最小值为___________.

7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x由小到大排列为___________. 8．不等式log2x11

1998

，则f98101104,f，f1715191log1x2+2>0的解集为___________. 229．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).

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lg(6x)lg(x2)log1(x2)10．（1）试画出由方程（2）若函数y=ax+

10lg2y1所确定的函数y=f(x)图象。 21与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。 211．对于任意n∈N+(n>1)，试证明：[n]+[3n]+„+[nn]=[log2n]+[log3n]+„+[lognn]。

六、联赛二试水平训练题

3x2x3y2y3z2z1．设x, y, z∈R且x+y+z=1，求u=的最小值。 1x21y21z2+

2．当a为何值时，不等式log1(xax51)·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个

n2解（a>1且a1）。

3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xy)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x). 4. 求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：

uv

14u14vnm14f(n)=f(f(nm13))nm2nm2,

求出所有的m,使得f(1995)=1995.

6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。 8．设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为

1p1的开区间中的每一个数x, 有f(x)2. qqq9．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·fxf成立。

x2f2数学题_数学网 www.qzwh.com 课件、教案、试卷，全免费下载