直线与圆的方程教学设计

江阴青阳中学 李红艳

【教学设计思路】

教材分析：

直线是解析几何中的灵魂，而圆是在解析几何中的最简单的曲线．这节课安排在学习了 如何求直线的方程，直线的倾斜角和斜率；圆的方程的求法之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在培养解析几何中的数形集合的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法． 学情分析：

所教班级是文科班，学生的层次处于我校的中等偏下水平，应该说学生的认知水平和思维品质还可以，学习习惯和风气比较好，相对自觉，而且学生对前面的有关直线和圆中的基本知识点已经有了较好的掌握。但考虑到本节课的重要性，教师授课时还须充分发挥学生的主观能动性，留给学生更多的思维空间，培养学生在解析几何中的运算意识，以及注意如何减少运算量。 【知识与技能】

（1）掌握圆的切线方程，能根据过定点熟练地写出圆的切线方程，也能根据圆的切线方程熟练地求出切线长．

（2）掌握圆和直线的位置关系的判定方法，

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关直线中的简单问题． 【教学重点，难点】

（1）注意在解析几何中要“一题多解” （2） 如何提高学生运算能力

（3）培养学生简化运算过程的意识能力． 辅助手段：多媒体课件 教学安排：1课时 【教学过程】

一 课前预习：（1）若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2，那么点(x0,y0)在

圆上x0a2y0b2r222圆内xaybr2 00圆外xa2yb2r200（2）直线与圆的位置关系

直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：

0相交（1） 代数法（判别式法）0相切

0相离dr相交（2） 几何法，圆心到直线的距离dr相切

dr相离一般宜用几何法。

（3）弦长与切线方程，切线长的求法

（1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l

l2则d2r

22

（2）切线长，过圆外一点P(x0,y0)引圆：

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线 则切线长：dx02y02Dx0Ey0Fx0a2y0b2r2

二 问题设置：

1：推导过点的切线方程：

问题1：设C（x0，y0）在圆上，圆方程为：x+y=r求过C 的切线方程？

OCl,kocyox,则kl0,切点方程为:x0xy0yr xoy02-5222,

42CO5-2对(x-a)2+(y-b)2=r2而言，切点方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

4问题2：若点C（x0，y0）在圆外，圆方程为：x2+y2=r2, 求切点弦的方2D程？

O-5CE5如图：设D（x1,y1）,E(x2,y2),则过D的切线方程为：x1x+y1y=r 同理， 则过E的切线方程为：x2x+y2y=r2,C在两切线上，

 x1x0+y1y0=r, x2y0+y2y0=r. DE在直线方程xy0+yy0=r上，由于两

2

2

2

2,-2点可以确定一条直线，切点弦的方程为：xy0+yy0=r2

总结：要过点求圆的切线方程，，我们需要注意先验证点是否在圆上在利用切点方程去解决。

2 典型例题示范

(1)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b) 与圆的位置关系是 ( C )

(A)在圆上 (B) 在圆内 (C) 在圆外 (D)以上皆有可能 分析直线ax+by=1与圆x+y=1相交 d=

2

2

1a2b21,a2b21

(2)若圆x2+y2=1与直线bx+ay=ab(a>0,b>0)相切,则ab的最小值为( C ) (A)1 (B)5 (C)2 (D)4 分析：x+y=1与直线bx+ay=ab(a>0,b>0)相切，d=

a2b2a2b22ab,ab2

2

2

abab221，

例题2:已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16

(1)自P作⊙O的切线，求切线的长,切点弦长及切线的方程; (2)过P任意作直线l与⊙O交于A、B两相异点，求弦AB中点M的

4轨迹.

2解:（1）设过P的圆O的切线切圆于点Q，

22543连OQ，∵△PQO是Rt△ ，∴切线长PQ=

-5OP5-2Q OQ4,OP5,PQ3,SOPQOQ*PQOP*QE,24 QE12切点弦线长为：551212-4下求切线方程：

法一:设切点为Q（x0，y0），则切线方程为xox+y0y=16，

16x055x016由题意得： 2122xy16y0005所以所求切线方程为：4x+3y-20=0或4x-3y-20=0 法二:设所求切线方程为:y=k(x-5)

yk(x5)22xy1消去y得：(1k2)x210k2x25k2160100k44(1k2)(25k216)0解得：k434y(x5)3即：4x3y200法三：设切线l的直线方程为：y=k(x-5)  kxy5k0直线l与圆O相切,O到直线l的距离等于半径,

5k44则 k2k13所求切线方程为：4x+3y-20=0,4x-3y-20=0

总结:在直线与圆相切时求切线方程时有两种常见方法：

(1)用几何方法圆心到直线的距离等于半径. (2)代数方法联立方程组用方程解的个数来考虑

（2）设M(x,y)是所求轨迹上任一点，A(x1,y1),B(x2,y2) AB的斜率为

k

2222由题意得： 化简得：（1+k）x-10kx+2k-16=0 22xy1622xx5k10k1210kxx1x2, 2yyk(xx)10k21k1212221k1kyy1y25k

21k2消k得： x2y25x0或y0yk(x5)22xy5x0过0，0点当y=0时,k=0 此时x=0 而

所求轨迹方程为 (x5)2y225(0x16)524 法二：ODEF，D在以OP为直径的圆上O(0,0),P(5,0)52252(x)y(在圆x2y216内部）

24总结:在直线与圆相交时求相交两点的中点的轨迹方程时有三种方法

可以解决:

(1)联立直线方程和圆方程求出关于x或y的二次方程利用根与系数的关系求斜率.此方法适用一切解析几何中直线和曲线相交求中点轨迹问题.

(2)可用点差法求直线的斜率.但此方法只是适用与求中点弦之类的题目,如果不是中点时就很难解决.

(3)用圆的基本性质来解决,直角顶点必在两定点为直径的圆上.这是在圆中才有的特征,在圆锥曲线中没有,要注意区别.

3 课堂练习

(1)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，则过A(2，5)的圆的切线方程为 (2)直线l:x-y+3=0,圆(x-a)2+(y-2)2=4,若直线与圆相交于AB,直线与y轴交于点C,若 ,AC2CB则a=

(3)已知圆C:x2+y22x4y+1=0，直线l:x+y+2=0，在圆上求一点P，使P到直线x+y+2=0的距离最短。

（4）若方程16(x2)2xm有解，求m的取值范围？

4 课堂总结提炼：

(1)掌握直线和圆的位置关系,会求圆的切线方程,公共

弦长,切点弦的方程和切点弦长.

(2) 在处理直线和圆的有关问题时要能够抓住”数”和”

形”的结合,可充分利用圆的几何性质来简化运算. 5 课后作业：数学之友相关练习