半导体物理与器件 第二章

注：文本中宋体部分是原书的翻译，楷体部分是译者的思考，一并呈现在文本中。

第二章 量子力学初步

2.0本章概要

我们的总目标是帮助读者理解半导体器件的工作原理和特征，但是为了更深入地理解半导体器件的工作特性，我们必须首先了解在不同的势函数下，晶体中电子状态的一些相关知识（这与整个器件的工作特性是直接相关的）。

电子和高频电磁波的描述必须依靠量子力学规则而不是牛顿运动定律，因此可以说量子力学的波理论是半导体物理学理论的基础。

定义：利用量子力学规则对电子的状态和特性进行系统的描述称为波动力学。 本章将利用薛定谔波动方程来阐述波动力学中的一些主要内容。 本章目标：

①了解应用在半导体器件物理中的量子力学的基本原理。 ②讨论薛定谔波动方程。

③考虑在各种势函数的前提下，薛定谔波动方程的应用。（这可以用来确定晶体中电子的行为特征）

④对一个电子的原子（就是H原子）应用薛定谔波动方程。（这会产生4个基本的量子数，帮助我们理解离散能带的概念，建立初始的周期表）

2.1量子力学的基本原理

在深入探究量子力学的数学计算之前，我们要考虑三个原则：能量量子化原理、波粒二象性以及测不准原理。 2.1.1能量量子化原理

光电效应的实验结果并不符合光的经典理论。

按照我们过去经典理论的解释，应该是这样的：在一定的条件下，如果一束单色光入射到一种材料的干净表面上，电子（光电子）会从材料的表面射出。如果入射光的强度（光强）足够大，不管入射光的频率如何，只要满足某一个激活条件，那么一个电子就会从材料的表面射出。

令人困惑的是这样的现象并没有被发现。

观察到的现象是：在一个确定的入射光强下，射出的光电子的最大动能（注意是动能）与入射光的频率线性相关（同时有一个阈值v0，阈值之下没有电子射出）。结论请看图2.1。反过来，如果入射光的频率不变而光强在一定范围内变化，单位时间出电子的数目就会发生变化，但是这些电子的最大动能是不变的。

很明显：光中的蕴含的能量是按份计算的（但是每份能量是连续的，与光的频率v有关系），电子在接受光中的能量时也是一份一份接受的，如果一份能量还不够电子从材料表面

“逃逸”，它也不会接受下一份能量。

普朗克（Planck）在1900年提出了一个假设：热的表面上发射出的热辐射的能量是离散的，每一份能量叫做“量子”，这些量子的能量由公式E=hv计算（h是普朗克常量，h=6.625*10-34J*s，v是辐射频率）。

然后到了1905年，爱因斯坦（Einstein）认为光中蕴含的能量也是一份一份计算的，从而解释了光电效应的结果：这种一份一份的能量称为“光子”，其值也是由E=hv给出。

现在我们有了一个足够能量的光子，于是它“击打”某些材料表面的电子，这些电子会变得很活泼，于是带着光子剩余的能量逃跑了。能够激发电子——使电子能够离开材料表面的最小能量由激活函数给出，电子携带潜逃的那一部分能量就成为了动能。但是电子有自己的底线，它不能同时携带其他的光子能量。（这个结果是被实验证实了的，可以参考图2.1）

光电效应展示了光子能量离散的本质，以及光子作为粒子的特征。 最后给出电子的最大动能计算公式：

T=1/2(mv2)=hv-φ=hv-hv0 （v>v0时成立） φ=hv0

hv就代表入射光子的能量，φ代表了最小激活能量，也就是激活函数。 2.1.2波粒二象性

我们在上一章中讲到，在光电效应中，光“波”表现出了它们不为人知的一面——粒子性。这种电磁波的粒子性在坎普顿效应（Compton Effect）的解释中非常重要。

坎普顿在他的实验中将x射线束射向一个固体。一部分的x射线束偏离了原本的轨迹，这部分射线束的频率对比入射的那部分发生了变化。接下来很有趣的事发生了：坎普顿观察到的x射线束频率和偏角的变化恰恰对应了一个x射线束量子（或者光子）与一个电子之间的弹性碰撞的预期结果。它们的碰撞的特点是动能始终守恒。

在1924年，德布罗意（de Broglie）觉得既然光既可以表现出粒子性也可以表现出波动性，那么“物质波”应该也是存在的（既然波可以表现出粒子性，那么粒子应该也能表现出波动性）。德布罗意的假设也就是“波粒二象性”的原理。

光子的动量可以这样计算：

p=h/λ

我们知道光子的能量由E=hv给出，而频率v=c/λ，则E=(hc)/λ，而p=E/v（这儿的v是速度），光子的速度为光速c，也就导出了上面的公式。

这样波长λ和粒子动量的关系也就确定了。德布罗意觉得既然光波可以这样计算，那么我们在这样计算的同时假设了“波”实际上表现出了粒子性（不然动量无从谈起），反过来，粒子的物质波长不也就可以从这个式子中导出了吗？

于是有：

λ=h/p

从物质的角度看，这个公式无从推导，它是一个合理的外拓假设。 这里面p代表物质的动量而λ就是物质的物质波长（德布罗意波长）。

一些实验证明了电子表现出波的性质。1927年戴维森（Davisson）和杰默（Germer）的一次实验中，一个热的灯丝上的电子被加速后垂直入射到一块镍单晶的表面。一旁的接收器画出了电子散射后电子密度关于角度的函数。图2.2和图2.3是实验的装置和结果。散射电子的密度在某一个角度达到峰值，自然而然地想到：多束波在经过镍晶体表面上周期排列原子后散射发生了相长干涉。在接收器画出的函数中，峰值密度角度分布与光经过光栅衍射后产生的干涉图样非常相似。

图2.4展示了电磁波的频率谱。典型来说，我们考虑的波长范围是超声波和可见波段。这些波长相对通常的广播频率谱中的波要小得多。

在不同的场合下，电磁波时而表现出粒子性，时而表现出波动性。这种量子力学中波粒二象性的原则对如电子这类微小粒子是成立的（有时对中子和质子也是成立的）。对于较大的粒子来说，这些方程退变为经典力学的计算，其表现出的波粒二象性可以忽略。

波粒二象性原理是一个基础，在此基础上我们会用波的理论来描述晶体中电子的运动和表现。

2.1.3测不准原理

1927年，海森堡（Heisenberg）给出了测不准原理（又称不确定性原理），同样是应用在微小粒子上。

测不准原理指出：我们没办法完全准确地描述这些亚原子微粒的表现。测不准原理描述了相结合的变量之间的基本关系，包括位置和动量之间以及能量和时间之间的关系。

第一个测不准原理的描述是：不可能同时完全准确地描述一个粒子的位置和动量。记动量的不准确度为Δp，位置的不准确度为Δx，这个描述可以这样表示： ΔpΔx≥ℏ

ℏ称作约化普朗克常量，且ℏ =h/(2π)。这是一个广义的式子，同时包括了角位置和角动量的计算。

第二个测不准原理的描述是：不可能同时完全准确地描述一个粒子的能量和时间点。记能量的不准确度为ΔE，时间的不准确度为Δt，这个描述可以这样表示：

ΔEΔt≥ℏ

这个描述有一点绕口，实际上就是说：我们没法知道具有某个准确能量值的粒子存在于哪一个特定的时间点，或者在某一个特定的时间点上我们没法准确测得粒子具有的能量值。

从实际意义上来说，测不准原理的重点即“同时”、“测不准”。但是测不准原理也说明了这样的同时测量的不准确度是在一定的范围内的。由于约化普朗克常量ℏ很小，于是测不准原理只对亚原子粒子比较明显。尽管测不准原理只是一个基本的描述但是我们必须牢记这个原理，并且测不准原理并不仅仅是对于“测量”生效。

测不准原理导致的一个结果例如：我们没法确定一个电子的准确位置，因此我们转而想办法确定在某一确定位置发现一个电子的“可能性”。在之后的章节中，我们会用概率密度函数来确定一个电子具有特定能量的“可能性”。可以看到，在描述电子的行为方面，我们都是用概率函数来描述的。

2.2薛定谔波动方程

各种关于电磁波和微粒的实验的结果不能用经典的物理定律来解释，因此物理学家迫切地想要用一个修正的力学公式来描述它们（这就是物理学家的习惯，总是想把客观世界的规律用一句话来总结）。

在1926年，薛定谔（Schrodinger）总结了一套叫做“波动力学”的准则，他的这套准则中合并了普朗克的量子化理论和德布罗意的波粒二象性原理。

在波粒二象性的基础上，我们可以用波动理论来描述一个电子在晶体中的行为。 这种理论是用薛定谔波动方程来描述的。 2.2.1波动方程

一维非相对论的薛定谔波动方程是这样描述的：

相对论形式的波动方程即克莱因-高登方程（Klein-Gordon equation），引入了相对论的修正。

其中Ψ(x,t)是波函数，V(x)是势能函数（假设与时间无关），m是微粒的质量，j是虚数。

薛定谔波动方程可以从理论上推导，但是这个公式实际上是作为量子力学的基本假设而存在的。换句话说它就是一个规律的总结，虽然可以从理论上严格地推导出来，但是在运用时是作为基础的假设存在的。

波函数Ψ(x,t)很关键，我们用它来描述一个系统的特征，并且波函数可以是复数量。 我们一定可以用变量分离的方式来表达波函数中包含的两部分：时间的函数和空间的函数。假设我们这样写波函数：

Ψ(x,t)=ψ(x)φ(t)

显然原来的波函数被改写成两个变量函数的乘积形式，这有利于我们之后对原式的变换。将这个形式代入原来的一维非相对论薛定谔方程中,有：

再用分离的波函数除这个式子就可以得到：

因此式子左边部分只是位置x的函数，右边部分只是时间t的函数。这个式子两边只有等于同一个常数才会成立，我们用η（变量分离常数）来代表之。

至于式子两边为何必须等于一个常数很容易证明。若式子左边记G(x)，右边记为F(t):对于G(x)的某一个值G(x0),右边t取所有值时都成立，那么右边函数值为一常数G(x0)，再代入就有G(x)=G(x0)，等式左边的函数也必为一常数，即证。

我们现在单独取出变换后的式子右边时间函数的部分：

参数η也就是分离常数。上式的解（也就是波函数）可以这样写：

φ(t)=exp[-j(η/ ℏ)t]

这个解的形式是经典的正弦波的指数表示形式。在之前我们得到E=hv=hω/2π，也就是ω=E/ ℏ。而解中的η/ ℏ也就是正弦波的频率ω，显然E=η。即分离常数正好是粒子所具有的总能量E（total energy）。于是：

φ(t)=exp(-jωt)

这里E=hv中的E指的是波中具有的所有能量，不仅仅是动能。 ω=η/ ℏ = E/ ℏ正是正弦波的角频率。

现在我们单独取出变换后式子的右边的位置函数的部分：

这里直接把分离常数η写作粒子总能量E，将变量和常量移至等式左侧，有：

这个等式是我们在之后的计算中比较关心的一个等式，牢记。

m还是粒子的质量，V(x)是粒子在某处感受到的势能，E是粒子的总能量。这个一维定态的薛定谔波动方程也可以从经典波动方程直接推导（见附录E）。附录中伪导数的方法是很简单的，也证明了一维定态薛定谔方程假设的合理性。 2.2.2波函数的物理意义

我们最终是想尝试用波函数Ψ(x,t)来描述晶体中电子的表现。既然Ψ(x,t)是一个波函数，那么很自然地我们想找到它和电子之间的关系。完整的波函数是位置函数和时间函数的乘积，我们可以推导出：

Ψ(x,t)=ψ(x)φ(t)= ψ(x) exp[-j(η/ ℏ)t]= ψ(x) exp(-jωt)

既然完整的波函数Ψ(x,t)是一个复函数，那么它本身无法表示一个实际的物理量。 布朗（Max Born）在1926年假设函数|Ψ(x,t)|dx代表在确定的时间点上在x和x+dx范围内找到粒子的可能性，或者说|Ψ(x,t)|就是概率密度函数，展开此函数：

|Ψ(x,t)|=Ψ(x,t)·Ψ(x,t) Ψ(x,t)是复函数的共轭函数：

Ψ(x,t)=ψ(x) exp(+jωt) 那么原函数与其共轭函数的乘积就是：

Ψ(x,t)·Ψ(x,t)= [ψ(x) exp(-jωt)][ψ(x) exp(+jωt)]=ψ(x)ψ(x) 因此有：

|Ψ(x,t)|=ψ(x)ψ(x)=|ψ(x)|

这就是与时间无关的概率密度函数。经典力学和量子力学的一个主要区别是：在经典力学中，粒子或物体的位置的可以精确地计算出；而在量子力学中，我们算出的粒子的位置是

2

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2

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*

2

*

2

2

一个可能性。

我们会在接下来用几个例子来说明这个概率密度函数。因为这个函数是与时间无关的，因此我们总体更关心定态那部分波函数和薛定谔等式。 2.2.3边界条件

因为|ψ(x)|代表概率密度函数，因此它一定是归一化的：

2

在某处找到粒子的概率是确定的。上式让我们能够归一化波函数，并且它也作为确定波函数系数的边界条件之一。

其余的波函数及其导数满足的边界条件是一些基本的假设。以下会阐述这些边界条件并且说明为什么它们必须被满足。波函数和它的一阶导数必须满足以下性质（假设总能量E和势能函数V(x)不存在无穷大点）：

条件一：ψ(x)一定有限，单值，且连续。 条件二：∂ψ(x)/ ∂x一定有限，单值，且连续。 下面是对这些边界条件的说明。

第一，既然|ψ(x)|是概率密度，那么ψ(x)一定是有限并且单值的。如果ψ(x)在某些点上的值是无穷大，那么在这些点上就一定能找到粒子，这违反了测不准原理。

第二，如果总能量和势能函数V(x)在任一点上有限，那么定态薛定谔等式中ψ(x)的二阶导数是有限的，这意味着其一阶导数的连续的；一阶导数与粒子的动量有关系，这也说明其是有限并且单值的。

第三，如果ψ(x)的一阶导数是有限的，那么ψ(x)本身一定是连续的。

以上三点说明了为什么边界条件在任何时候都是满足的。在一些特殊的情况下，势能函数V(x)在空间中特定的区域是无穷大，在这种情况下，ψ(x)的一阶导数不一定是连续的，但是其余的边界条件依然成立。

函数在某一点处连续的定义是在f（x）在某一点处左右极限相等且都等于该点的函数值。一阶导数不连续是因为二阶导数存在无穷大点，但是只要一阶导数有限，ψ(x)函数本身一定是连续的（可以从积分的角度理解）。导数无穷大点的存在是因为原函数中存在类似“阶跃”的点，这很容易证明。

2

图2.5是两种可能的势能函数的样子以及对应的波函数的解。图2.5a中势能函数在任意位置是有限的，于是波函数本身及其一阶导数是连续的；图2.5b中，势能函数在x<0和x>a的地方为无穷大，波函数在边界点处连续，但是一阶导数不连续（因为，或者说所以其二阶导数存在无穷大点）。在接下来的章节和章后习题中我们会具体确定波函数。

2.3薛定谔波动方程的应用

现在我们在不同的势能函数的例子下应用薛定谔波动方程。这些例子展示了我们在求解薛定谔微分方程时使用的方法，并且这些例子的结果指出了不同势能函数下电子的状态特征。在之后讨论半导体性质时我们会利用这些结论的一些概念。 2.3.1自由空间中的电子

作为第一个应用薛定谔波动方程的例子，我们考虑在自由空间中的电子的运动。如果没有任何外力作用在电子上，那么势能函数V(x)的值就是常数，并且一定满足E>V(x)。简单起见我们假设对于任意的x，势能函数V(x)=0。这时定态波动方程可以简化为：

这个方程的解可以写作：

或者：

ψ(x)=Aexp(jkx)+Bexp(-jkx) 其中：

k被称作波数，这是一个重要的概念，不同的波数对应着不同的能量。 记得与时间有关的波动方程的解是：

φ(t)=exp[-j(E/ℏ)t]=exp(-jωt)

那么就可以导出整个波函数的解，即上述两解的乘积：

Ψ(x,t)=Aexp[j(kx-ωt)]+Bexp[-j(kx+ωt)]

波函数的解是一列行波的形式，也就是说电子在自由空间中的移动可以用行波来描述。以A为系数的第一部分是一列向+x方向运动的行波，以B为系数的第二部分是一列向-x方向运动的行波。A和B可以用边界条件来具体确定值。在晶体或者半导体材料中我们会再次见到这样的电子运动描述的行波解。

假设在某一时间，有一个粒子向+x方向运动，按照上述可以用+x方向的行波来描述。因此B=0，此时行波解可以写成：

Ψ(x,t)=Aexp[j(kx-ωt)]

波数k可以写成：

或者反过来：

p= ℏk 想起德布罗意波长可以表示为：

λ=h/p=2πℏ/p 结合上述两式，波长可以由波数来表示： λ=2π/k 或者：

k=2π/λ

也就是说，对任意给定的总能量E，一个粒子在自由空间中运动的物质波长和动量也就全部确定了。

此时概率密度函数Ψ(x,t)·Ψ(x,t)=AA，显然这是一个常数。由此说明：一个动量确定的粒子在自由空间中运动时，可以在任何地方被找到，且概率在任何位置相等。这个结论和海森堡测不准原理是相吻合的：精确确定的动量导致无法确定的位置。

局部的自由粒子是用波包来定义的，它是由不同动量（或波数）的波函数叠加而成的，在此我们不考虑之。 2.3.2无限深的势阱

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*

关于在无限深势阱中的粒子的问题是束缚粒子问题的一个典型例子。在这个例子中的势能函数V(x)的值与位置的关系展示在了图2.6中。在这种情况下，粒子应该存在于区域Ⅱ（RegionⅡ）中，所以粒子应该是被空间中有限的区域包围的（很形象地称之为“阱”，这是后话）。在这儿我们先再次回顾一下定态薛定谔波动方程：

E仍然是粒子的总能量。可以看出，如果E是有限的，那么在V(x)为无穷大的区域，定态波函数ψ(x)一定为零，否则等式必定不成立。形象地说：粒子没法穿过这两堵无限高的势能墙，因此在区域Ⅰ和区域Ⅲ中发现粒子的可能性为零。

在区域Ⅱ中，势能函数V(x)为零，定态薛定谔波动方程简化为：

这个方程的一个特解是：

ψ(x)=A1coskx+A2coskx 这里：

在此处考虑定态波函数ψ(x)需要满足的一个边界条件：ψ(x)本身是连续的，因此：

ψ(x=0)= ψ(x=a)=0

在x=0处应用边界条件，得到特解的一个系数A1的值为0，在x=a处，代入解得：

ψ(x=a)=0=A2sinka

当ka=nπ时这个等式才是成立的（n是正整数）。参数n被称作量子数，我们可以这样写：

k=nπ/a

在这里波数k是由边界条件的，而在上面的自由空间中电子运动的定态波函数中波数k的计算只与德布罗意物质波公式有关。这与边界条件不冲突：在无限深势阱加上边界条件的下，一些能量的取值以及对应的德布罗意波长不允许出现；而在自由空间中电子的能量和动量都可以取连续值。

负的n值仅仅只是在波函数上添加了一个符号，没有改变其本质而只是改变了方向，这是概率密度函数的冗余解。从物理意义上来看，+n和-n的解没有任何区别。因为这种冗余性，负的n值我们不考虑。

系数A2可以通过边界条件“归一化”得出，有：

我们假设ψ(x)的解是一个实函数，那么就有ψ(x)=ψ(x)，将这个条件结合归一化条件，也就是：

*

考察这个积分，得到：

实质上模相等的A2值都是满足条件的解，但是我们更关心A2的模方，因此这个解的值究竟取哪个并不重要，因为它们都对应相同的概率密度。

最终，定态波函数的解写成：

从这个解可以看出，在无限深势阱中的电子的定态波函数的解同样是一个驻波。但我们通常用行波函数表示自由空间中的粒子，驻波函数表示束缚的粒子。

波函数解中的参数k已在上面两处写出（牢记这个值），在这里再次列出：

联立上面两个k的表达式，得到E与量子数n的关系，于是E可以写作：

对于在无限深势阱中的微粒，波函数现在表示为：

常数kn与n有关已在上面给出，kn一定是离散量，预示着粒子的总能量E也只能取特定的离散量。也就是：粒子的能量是量子化的。

边界条件的直接导致了能量量子化。

粒子能量的量子化与经典物理的结论是不一致的，在经典物理中，粒子的能量取连续值非常合理。量子态就是从离散化的能量中得出的，我们在之后的章节中会更详细地讨论量子态。

总的来说，束缚粒子能量量子化是一个及其重要的结论。在本章的最后，我们会从一个由单电子和质子构成的原子出发，讨论电子能量量子化的状态。

图2.7a展示了粒子在无限深势阱中允许存在的首4个能量值，以及图2.7b，2.7c展示了对应的波函数以及概率密度函数。我们发现：随着能量的提升，在任何位置x发现粒子的概率越来越趋向相同。

2.3.3阶跃势函数

现在我们来考察一种阶跃势函数（见图2.8）。在之前的小节中，我们考察了被双层势垒“困住”的粒子。在这里，我们假设有一群粒子射向势垒，它们源起于x=-∞处并且这些粒子向+x方向运动。当粒子的总能量E比阶跃势垒高度小时（即E在图中所示的两个区域中，我们继续考虑定态波函数方程。我们再次写出（可见这个方程的重要性）最初的那个定态薛定谔方程：

在区域Ⅰ中，势函数V=0，方程简化为：

这个方程的通解可以写作：

ψ1(x)=A1exp(jk1x)+B1exp(-jk1x) (x≤0)

常数k1是：

通解中的第一项是一列+x方向的行波，代表入射波；第二项是一列-x方向的行波，代表反射波。就像在自由空间中的粒子一样，入射和反射波都是由行波来表示的。

对于入射波来说，入射粒子的概率密度函数是A1·A1。如果我们把这个值乘上入射速度（incident velocity），也即vi·A1·A1，就代表了入射粒子流，单位是每秒每平方厘米。同样地，值vr·B1·B1代表反射的粒子流，vr就是反射波的速度（这些表达式中的参数vi和vr只取速度的模值，即大小）。

在区域Ⅱ中，势函数V=V0。假设E*

*

*

然后这个微分方程的通解可以这样写：

ψ2(x)=A2exp(-k2x)+B2exp(+k2x) (x≥0)

在此，k2可以表示成：

在前一章中，一个边界条件是这样说的：波函数ψ(x)一定是有限的（否则违反测不准原理），因此显然系数B2=0，波函数现在简化为：

ψ2(x)=A2exp(-k2x) (x≥0)

另一个（边界条件描述）是波函数在x=0处是连续的，因此有： ψ1(0)=ψ2(0) 代入波函数在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的解，得到： A1+B1=A2

因为势函数在每一处都是有限的，因此波函数的二阶导有限，一阶导数连续，有：

再次代入波函数在区域Ⅰ和区域Ⅱ中的通解，得到：

jk1A1-jk1B1=-k2A2

联立两个关于通解系数的等式，如果将B1和A2用A1来表示，它们可以写成：

反射波的概率密度函数也可以用入射波的系数来表示：

k与能量直接相关，当粒子能量确定时，k是一常数，因此以上的步骤是利用x=0处的边界条件找出两个区域中通解系数之间的关系，因为通解的系数直接决定了概率密度函数。上面解出的系数之间的关系直接影响了以下结论的得出，下面讲解。

至此我们知道了两个区域中定态波函数解的系数（也直接决定了概率密度函数）的相对关系，下面分析阶跃势函数下电子的状态。

先考虑区域Ⅰ中的情况。为了方便理解，我们定义一个反射系数R，R是反射粒子流比上入射粒子流的密度，写作：

vi和vr是分别入射粒子流和反射粒子流的速度（取模值）。那么如何确定之？在区域Ⅰ，V=0，因此E=T（T代表动能），计算动能的公式我们非常熟悉：

T=(1/2)mv 代入常数k1的式子中，k1可以写作：

2

因此，入射粒子流速度vi是：

vi=k1 ℏ/m

同样地，反射粒子流也存在于区域Ⅰ中，反射粒子流的速度也由相同的式子给出： vr=k1 ℏ/m 既然vi=vr，反射系数R简化为：

用入射定态波函数的参数A1来替代B1，反射系数展开为：

在区域Ⅰ内部，这里得出了一个很有意思的结论：R=1。这意味着所有射向势垒V0>E的入射粒子最终都被反射了。这个结论和经典物理中描述是完全一致的，既然这样，我们为什么要浪费气力从量子力学的观点出发考虑这个问题呢？别忘了在势函数中还存在另一个区域：区域Ⅱ。在这个区域中发生了很有趣的现象。

在前面我们已经给出了区域Ⅱ中定态波函数的解，系数A2=A1+B1，这是从边界条件导出的。对于Eψ2(x)·ψ2(x)并不等于零，即粒子可以在区域Ⅱ中被找到！这个结论显示：存在一个有限的概率，入射粒子可以“穿过”势垒并且存在于区域Ⅱ中。这个粒子穿过势垒的概率的存在是量子力学与经典力学的一处不同，量子力学允许发生的这种现象在经典物理中是不允许存在的。但是，虽然这个有限的概率存在，由于区域Ⅰ中的反射系数是1，区域Ⅱ中的粒子最终一定会浪子回头，重新进入区域Ⅰ。

当入射势垒的粒子总能量E大于势垒高度时，即E>V0的情况，留作本章末尾的练习题练习。

2.3.4势垒与隧道效应

*

我们再来考虑一个势垒函数（如图2.9所示注意图中阴影突出部分是势垒，实线是定态波函数）。更有趣的情况同样发生在入射粒子的总能量E小于势垒高度V0时。

我们继续假设我们有一群入射粒子流，源起于负x轴并且向+x轴运动。现在我们对洞察这类问题可以说是轻车熟路了，我们自然地想到我们需要在三个区域中分别解定态薛定谔方程，在三个区域中求得的解分别是：

ψ1(x)=A1exp(jk1x)+B1exp(-jk1x) ψ2(x)=A2exp(jk2x)+B2exp(-jk2x) ψ3(x)=A3exp(jk3x)+B3exp(-jk3x)

这里k1值：

以及k2值：

第三个式子中的系数B3代表在区域Ⅲ中向负方向运动的的波。然而，一旦粒子进入区域Ⅲ，就不再会有势垒使正向运动的波产生反射。因此B3必定为零；第二式中两个指数项都应该保留，因为势垒宽度是有限的，存在反射的粒子流，且不存在无限大概率密度的x。

我们可以利用的有四组边界条件下的关系，分别处在x=0和x=a处，对应波函数及其一阶导数连续。由此我们可以解出四个系数B1、A2、B2和A3用A1表达的表达式。三个区域的定态波函数解展示在图2.10中。

我们不关心定态波函数的绝对解，只想知道它们之间的相对关系。

相似地，我们可以特别定义一个“穿越系数”T，T在这儿表达为区域Ⅰ中注入粒子流密度比上区域Ⅲ中穿越过势垒的粒子流密度，用系数来表示就是：

vt和vi分别是穿越的和注入的粒子流的速度（模值）。因为在区域Ⅰ和区域Ⅲ中势函数的值为零，同上节得出穿越和注入的粒子流速度相等。系数T就可以直接从解边界条件下的系数方程组获得，当E<这个系数的值表示，存在有限的可能，注向势垒的粒子会穿过势垒并且出现在区域Ⅲ中。这个现象称为隧道效应，并且也与经典物理矛盾。在之后我们会看到，量子力学的隧道效应如何影响如隧道二极管等的半导体器件的特性。

本章末尾列出了很多其他的势能函数下一维非相对论薛定谔波动方程的应用。其中一些势能函数中存在如今半导体器件应用较多的量子阱结构。

2.4对原子应用波动理论

至此，我们已经解出了在自由空间、无限深势阱、阶跃势函数、势垒隧道（都是一维势函数）下的薛定谔定态波函数，描述了在这些情况下在空间中某一点找到粒子的可能性。

但是这些势函数都是我们创造的。现在考虑一个实际的单电子（也就是氢原子）原子的势函数。对于详细的数学计算和波函数解下文没有非常细致的描述，但是定性的结论非常有趣并且非常重要。 2.4.1单电子原子

经典的玻尔原子理论指出，相对重的、带正电荷的质子存在原子核中，电子相对轻、带负电荷，围绕着原子核旋转。质子和电子间的库仑引力（coulomb attraction）的存在在原子周围形成了势场，势函数是：

e是电子电荷量大小，ε0是自由空间的介电常数。这个势函数是球状对称的，我们把问题放在三维球面坐标中求解。

将一维的薛定谔定态波动方程改写为三维形式：

▽称作拉普拉斯算子（Laplacian operator），在这里必须写成球面坐标形式。参数m0

是电子的静止质量。在球面坐标下，上式展开为：

这里的质量必须是这个双粒子系统的静态质量，但是退一步说，质子的质量比电子要大得多，等价质量退变为电子的质量。

此式的解可以进一步用分离变量的方法（在2.2章中提到过）来确定。我们假设定态波函数的解分离成这样写：

在2.2节中，分离变量法用来分离出薛定谔波动方程中定态的部分，这里用来分离出定态波动函数的一部分。

这里出现了三个函数。R、Θ、Φ分别只是r、θ和φ的函数。将这个形式代入上面的展开式：

注意到式子中第二项只是φ的函数，而另外的项中包含了r或θ，记：

m是这里的分离常数，此式的解的形式是：

如果要解释为什么分离常数等于m，在这儿会花费大量的篇幅，译者争取在之后的文章中具体解释这个问题。而现在我们虽然不了解电子的质量，还是先记住这个结论。在文章中，会结合下标来引用质量参数。

波函数一定是单值的，我们让m取整数： m=0,±1,±2,±3...

在分离常数的帮助下，我们可以继续分离变量θ和r，并且产生两个额外的分离常数l和n。

讲到这里也许读者并没有觉得这三个分离常数很特别，但是如果你看过很多这方面的杂志和书籍，接下来的内容你一定会有种似曾相识的感觉。

这里的分离常数m、l、n也就是我们熟知的“量子数”。其中参数n叫做主量子数，l叫做角量子数，m称作磁量子数。这三者之间存在以下的关系：

n =1,2,3...

l =n-1,n-2,n-3,...,0 |m|=l,l-1,...,0 分离常数或量子数m、l、n与总能量E存在等式关系。

每一组量子数对应一个“量子态”，做稳恒运动、能量确定的电子可以占据这样的量子态，也就是量子态可以描述电子的状态。

电子的能量和量子态之间的关系可以这样写：

n依然是主量子数。负的能量说明电子是被原子核束缚的，并且这个束缚电子的能量仍然量子化。假设能量变成正值，电子就不再被原子核束缚，并且总能量也不再量子化。

因为主量子数n是整数，电子的总能量取值只能取离散值。这又是一个关于在有限空间中束缚粒子能量离散化的结论。

可以算一下E的前三级能量，分别是-1.51eV、-3.39eV、-13.58eV。

用ψnlm来表示定态波函数的解，注意下标n、l、m仍然代表不同的量子数。当能量最低时，n=1，l=0，m=0，波函数ψ100写成：

这个函数在球坐标上时对称的，系数a0是：

它等于玻尔半径（Bohr radius）。

径向的概率密度函数（在离原子核一定距离的地方发现一个电子的概率）与ψ100·ψ100

及原子核周围壳层的体积微元成正比。其中最低能量（n=1，l=0，m=0）态的概率密度函数见图2.11a。最有可能找到电子的地方是离原子核距离r=a0处，与波尔理论（Bhor theory）一致。有了球面对称的概率密度函数，现在我们不难理解“电子云”（或“能壳”）的概念了：电子并不是以离散的轨道绕原子核运动而是包围着原子核的周围。

电子轨道不离散，但是能量是离散的。

*

当n=2，l=0，以及m=0时的电子能量，比最低能量径向球面对称的概率密度函数的电子能量高一些，请看图2.11b。图中是下一层电子层电子的概率密度函数。第二层“能壳”比第一层距离原子核要远一些。同时图中显示在离核稍近一些的地方也存在一个不能忽略的概率找到电子。

对于n=2，l=1的情况，m的取值有三种，对应三种不同的量子态，波函数也开始不球面对称了。

在以上单电子原子的计算中，我们没有过多地强调具体的数算的步骤（很多地方直接给出了结论），因为我们的重点是记住以下三点，在之后半导体材料的深入分析中我们会使用到。

第一，薛定谔波动方程的解（重点是定态波函数）。我们从中导出了不同势函数下的粒子概率密度函数。在之后的章节中讲述半导体材料物理的过程中这个函数会经常使用到。

第二，束缚电子的能量取值是离散化的。

第三，量子态和量子数的概念。这是从分离变量法中归纳出的几个参数。在之后的章节中我们同样会涉及这些概念。 2.4.2周期表

我们可以用上一节的内容加上两个基本概念导出元素周期表的头部部分。

第一个概念是电子自旋（electron spin）。电子会带有一个固有的角动量，或者说旋转。这种角动量也是量子化的，它只能取两个值+1/2和-1/2。我们用量子数s来表示这种自旋。现在我们就一共有了四个基本的量子数：m、n、l和s。

第二个概念是我们熟悉的泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）。泡利不相容原理指出：在一个给定的系统（原子、分子或者晶体）中，不存在两个量子态完全一样的电子。在同一个原子中，不相容原理就是指任何两个电子的量子数不可能一致。在晶体中我们也可以看到，不相容原理是决定电子能量分布的一个重要因素。

表2.1是周期表头部的一些元素。第一个元素是氢（hydrogen），它唯一的一个电子落在能量最低处，对应量子数n=1，l和m都是0。然而，这个电子的自旋量子数s可以取+1/2或-1/2。第二个元素是氦（helium），两个电子都落在能量最低处，此时量子数l和m依然是0，但是两个电子的自旋量子数分别取+1/2和-1/2，最低能量的“能壳”被占满。我们知道，某种元素的化学活性基本取决于化学键的性质，或者直接说是外层电子。而在氦中形成

化学键的电子层是占满的，因此氦几乎不与其他元素反应，它是一种惰性元素。

第三个元素是锂（lithium），其原子核外有三个电子。按顺序第三个电子只能落在第二层“能壳”中，对应主量子数n=2。当n=2时，分离的薛定谔方程引出的角量子数l可以取0或1：当l=1时，磁量子数m可以取-1、0或1，同时在每种情况下，自旋量子数还可以取-1/2或+1/2。加上l=0时的两个量子态，因此n=2时一共有8个可取的量子态。氖（Neon）一共有10个电子，其中n=1层中落入2个电子，n=2层中落入了8个电子。现在第二层“能壳”也满了，因此氖也是一种惰性元素。

这里的很多结论正对应了化学理论中的很多关于原子结构和性质的概念。可以说每一个学科都可以追溯到它的上一级学科，并且从更根本的角度来解释。在之后的讲述中，我会引入关于量子力学的更多概念解释。

从单电子原子的薛定谔波动方程的解和两个基本概念，我们初步导出了一些元素周期表中的元素。随着元素数量的增加，电子会开始相互影响，之后的推导所涉及的内容和我们在此讲述的内容有一些偏离，因此不再讲解。

2.5本章总结

我们在量子力学的三个基本原则中讲述了一些量子力学的基本概念，后来我们用这些概念来描述不同势函数下的电子表征。理解电子的表征对之后理解半导体物理非常重要。其中波粒二象性是我们用波动理论来描述电子特性的重要基础。

导出电子表征的是薛定谔波动方程，其中定态波函数的模方即是概率密度函数（布朗提出的）。定态波函数是从定态薛定谔波动方程求出的。我们在不同的势函数下求解薛定谔定态波动方程，例如无限深势阱、薄层势垒函数。由此得出了例如束缚粒子能量量子化以及薄层势垒函数下粒子的隧道效应等重要特性。

将薛定谔波动方程应用到单电子原子上，我们得出了四个基本的量子数的概念。在电子自旋和泡利不相容原理的基础上，薛定谔波动方程还可以预测元素周期表的基本结构。

*本章重要术语

德布罗意波长（de Broglie wavelength）：普朗克常数h和粒子动量p的比值得到的波长。 海森堡不确定性原理（Heisenberg uncertainty principle）：该原理指出我们无法精确确定一组绑定的参数值来描述粒子的状态，比如动量和位置。

泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）：该原理指出任意两个电子都不会处在同一个量子态。

光子（photon）：电磁能量的粒子形态。 量子（quanta）：热辐射的粒子形态。

量子化能量（quantized energies）：束缚态粒子所处的分立能量级。 量子数（quantum numbers）：描述粒子状态的一组数，例如原子中的电子。 量子态（quantum state）：可以通过量子数描述的粒子状态。 隧道效应（tunneling）：粒子穿过薄层势垒的量子力学现象。

波粒二象性（wave-particle duality）：电磁波有时表现为粒子状态，而粒子有时表现为波动状态的特性。

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