复数代数形式的四则运算(教学设计)(1)

教学目标：

知识与技能目标：

掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义

过程与方法目标：

培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。 情感、态度与价值观目标：

培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。 教学难点：复数加减法运算的几何意义。 教学过程： 一、复习回顾：

1、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数zabi复平面内的点Z(a,b) 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和

它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 一一对应2、. 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，

ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 3、 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 AB=OBOA=( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1) 二、师生互动、新课讲解： 1、复数代数形式的加减运算

（1）复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. （2）复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. （3）复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.

∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.

（4）复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)

=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.

z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］

1

=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i

∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).

∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例：

例1（课本P57例1）计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)

解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i 例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)

解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.

解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i， ……

(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)

=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i 2.复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

（1）复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

一一对应（2）复数zabi平面向量OZ

一一对应（3）复数加法的几何意义：

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐

标形式为OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是OZ，

∴OZ= OZ1+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i （4）复数减法的几何意义：

复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对

OZ1为一条边画平行四边形，角线，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？

解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i， ∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，

∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表

2

示的复数是zB－zA. ，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只

要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

分析一：利用ADBC，求点D的对应复数.

解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：

ADODOA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; BCOCOB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.

∵ADBC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，

x11,x2,∴解得

y23,y1.例2图 故点D对应的复数为2－i.

分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.

解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1.

故点D对应的复数为2－i.

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 课堂练习：（课本P58练习：NO：1；2） 三、课堂小结，巩固反思：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。

复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP、2，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，1OP对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向

量终点并指向被减数的向量对应.

四、布置作业： A组： 1、（课本P61习题3.2 A组：NO：1） 2、（课本P61习题3.2 A组：NO：2） 3、（课本P61习题3.2 A组：NO：3）

4、已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于（B）

3

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5、在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是（C）

A.5－9i B.－5－3i C.7－11i D.－7+11i

6、已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为（A）

A.32

B.22

C.2

D.5

7、复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是（A）

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 8、一个实数与一个虚数的差（C）

A.不可能是纯虚数 B.可能是实数

C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数

B组：

1、计算(－23i)(32i)[(32)(32)i]=____.（答：－22i） 2、计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R).（答：.(y－x)+5(y－x)i）

3、计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i).

解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i =－1001+1001i

4、已知复数z1=a2－3+(a+5)i,z2=a－1+(a2+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.

解：Z1Z2对应的复数为z2－z1，则

z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i

∵z2－z1是纯虚数

2aa20∴2 解得a=－1. aa605、已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数. 解：设D（x,y),则

ADODOA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i BCOCOB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i

∵ADBC ∴(x－1)+(y－2)i=1－3i ∴x11x2,解得

y23y1∴D点对应的复数为2－i。

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