工程数学(线性代数)综合练习题

001.四阶行列式 D=

c0002.n阶行列式D=

0b00000d0a0= abcd. 000001011 ( )

100010001000=12n.

(

)

200030n11

( ( (

1n3.设A为n阶矩阵,k为不等于零的常数,则kAkA.

) ) )

4.设A,B均为n阶矩阵,则(AB)2A22ABB2. 5.若n阶矩阵A,B满足AB=0,则有A=0或者B=0.

6.对n阶矩阵A,若存在n阶矩阵B,使AB=E(E为n阶单位矩阵),则A可逆且有A 7.设A,B均为n阶矩阵且AB,则A,B均可逆. 8.若n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则A+B仍为可逆矩阵. 9.设A,B均为n阶可逆矩阵,则(AB)1B.

) ) ) ) ) )

12

( ( ( ( ( (

(B1A1).

10.若n阶矩阵A为对称矩阵,则A为可逆矩阵. 11.若n阶矩阵A为正交矩阵,则A为可逆矩阵.

112.若n阶可逆矩阵A=2111A,则n. 1n( )

13.若存在ki0(i1,2,,m)使式子k11k22kmm0成立,则向量组

1,2,,m线性无关.

( (

) )

14.若向量组1,2,,m线性相关,则m可用1,2,,m1线性表示.

15.设i(i1,2,,n)为基本单位向量组,则1,2,,n线性无关. 16.若

( )

1,2,,r(rm)是向量组1,2,,m的一个极大无关组,则

1

i(i1,2,,m)均可用1,2,,r线性表示.

17.等价向量组所含向量个数相同.

( (

) )

18.若1,2,,r(rm)是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若mn矩阵A有一个r(r( )

)

24若线性方程组AX=0(A为n阶矩阵,X同上)满足A0,则此方程组无解. (

25.若线性方程组AX=B(A,X同24题,B=(b1,b2,,bn))满足A0,此方程组有无穷多解.

( (

) )

26.若1,2都是AX=B(A,X,B同23题)的解,则12仍是此方程组的解.

二、填空题：

10 01. 四阶行列式D20372. 五阶矩阵A1 32235 1_____________________.

26 411 7830132A145,A2010,则

001A100, 其中 A2A1_______, A2________, A_____________.

23. 设A,B均为n阶矩阵,且A2,B3,则AB=_______________.

4. 设矩阵Aaij3310132 1,则a12的余子式为_________________,a12的代

01 1数余子式为________________,A的顺序主子式为__________________________.

2

abc5. 设三阶矩阵Abca,则kA-E =________________(k为不等于零的常数,E为三

cab阶单位矩阵),若A2,则kA=________________.此时A在等价关系下的标准形为____________________.

6. 已知1(1,0,0),2(1,0,2),3(1,2,3),当a1,a2,a3为任意常数时,向量组

1(1,a1,0,0),2(1,a2,0,2),3(1,a3,2,3)线性________关(相关还是无关). 3_______(能还是不能)用1,2线性表示.

7.设1(1,0,0),2(0,1,0),3(1,0,1),(2,1,2),则向量用向量1,2,3线性表示的表达式为_______________________.向量组1,2,3,_____________(是或不是)线性相关.

8. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.

19. 设A为五阶矩阵,且A3,则A__________,A___________,其中A

为A的伴随矩阵. 10.

设

矩

阵

A1A00,A2其中

1112A1,A13210,则

11

= ，A2= ，A1

A1= 。

11 .设A为n阶正交矩阵,则Rank(A) =__________________, A__________________.

12. 设E为四阶单位矩阵,则初等矩阵E(2(3))=________________.

1_______,A

E(1,3)=_______________,

13. 设A为四阶矩阵且A2,B是由A交换2,3行得到的等价矩阵,则Rank(A)_______Rank(B)(等于,大于或小于). B______,14. 齐次线性方程组

x12x23x30的一个基础解系为

___________________________,其全部解为____________________________________.

3

15. 设线性方程组为x12x21,它的导出组的一个基础解系为_________________

x3x42的秩为n1,1,2(12)都是线性方程组

_______________________,此方程组的全部解为________________________________. 16.设mn矩阵

A

AX=B(X=(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bm))的解,则它的一个基础解系为___________,全部解为________________________________________________. 17. 设向量组(0,2,1),(0,t,1),(1,线性相关.

1t,0),则实数t =________时,,, 2三、单项选择题：

1．下列5级排列是偶排列的是（ ）。 A．32415 B．41523 C．51324 D．23154

1101010101022．n 阶行列式4 D030000=（ ）。

00000000000nA．4 12n B．4 12n C．4 (1)n112n D．4 (1)n12n

ka11ka12ka22ka32ka13ka23（ ）。 ka33a113．设3阶行列式a21a12a22a32a13a31a232，则 ka21a33ka313A．2k B．6k C．18k D．2k

4． 已知4阶行列式D中的第2行的元素依次为1，0，-1，2，它们的余子式依次为3，8，

5，4，则D =（ ）。

A．6 B．10 C．-10 D．-6

3x1kx2x304x2x30有非零解，则k =（ ）5．如果线性方程组。 kx5xx0231 A．0或1 B．1或-1 C．-1或-3 D．-1或3

4

6．n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）。

A．A = 0 B．A≠ 0 C．| A| = 0 D．|A|≠ 0 7．如果n阶矩阵A，B均可逆，则必有（ ）。

A．4 (AB)1A1B1 B．4 (AB)1A1B1 C．4 (AB)1A1B1 D．4 (AB)1B1A1 8．如果n阶矩阵A可逆，则4 (2A)1=（ ）。

A．4

1111A B．4 2A1 C．4 (A)1 D．4 A

2229．设A，B都为n阶矩阵，如果|AB|= 0，则必有（ ）。

A．AB = 0 B．A = 0或 B = 0 C．| A| = 0或| B | = 0 D．4 AB0

ab10．当ad - cb =1时，。 cd=（ ）

1acddbA．bd B．ca C．cbab D．cd a11．设A为m×n矩阵，如果r(A) = r （< min( m, n )），则（ ）。

A．A有一个r阶子式不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 B．A有一个r阶子式不等于零，所有r + 1阶子式都等于零。 C．A的所有r阶子式都不等于零，一个r + 1阶子式等于零。 D．A的r阶子式不全为零，一个r + 1阶子式等于零。

12．向量组1,2,,m(m  2)线性相关的充分必要条件是（ ）。

A．1,2,,m中至少有一个向量可以用其余向量线性表示。 B．1,2,,m中有一个零向量。

C．1,2,,m中的所有向量都可以用其余向量线性表示。 D．1,2,,m中每一个向量都不能用其余向量线性表示。

13．向量组1，2，,s的部分组j1，j2，,s的一,jr (rs)是向量组1，2，个极大无关组，则其必须满足（ ）。 A．

,s中至少有一个向量可以用j，j，,j线性无关，1，2，12r5

j，j，,j线性表示。

12rB．1，2，,s线性相关，1，2，,s中所有向量都可以用j1，j2，,jr线

性表示。

C．j1，j2，,s中所有向量都可以用j1，j2，,jr线性无关，1，2，,jr

线性表示。 D．

,s中所有向量都不可以用j，j，,j线性无关，1，2，12rj1，j2，,jr线性表示。

14．设A为n阶矩阵，XT(x1,x2,,xn)T，如果| A | = 0，则齐线性方程组AX = 0（ A．无解 B．有非零解 C．仅有零解 D．不能确定是否有非零解 15．三元线性方程组x1x2x31的全部解为（ ）。

1A．4 0k1k11120 （4 k1,0k2为任意常数） 01011B．4 1k011k2 （4 k1,k2为任意常数）

10111C．4 1k111k20 （4 k1,k2为任意常数）

0011D．4 111k11k20 （4 k1,k2为任意常数）

101四、计算题：

11231.解方程

12x223231x0.

2118x 6

。

）212.设D0011 113113112, 求 D. 02110000110000001001000001101100.

3.计算n阶行列式 D =

4.设矩阵A，B分别为

23 113121A=001,B 0 1 1.求 (ABB). 10 21 0 1A15.设A03 013201A,A010,A. 其中试求,1245A20 016.求x，y，t，u，使得3xyx64tu12utuxy. 30 111337.求矩阵X使XA=B，其中A2 1 0,B4 32. 11 11258.设X为n阶矩阵且满足AX - B = 0,试求X,其中

111011001A000000111101n123n11012n2n1001n3n21,B. 0001121010009.设向量组1(1,1,0,1),2(2,1,1,3),3(1,1,0,0),4(0,1,1,1),,试求此向量组的秩和它的一个极大无关组.

1010．设A=30

1 2 0 73210032510,求Rank（A）. 017

五、求解下列各题：

1101.讨论齐次线性方程组AX=0，其中A=000110000100000101100010x1x0,X2.

x0n11）当n为何值时，此方程组有唯一零解，或有非零解？

2）求出当n = 4时方程组的全部解.

2.当取何值时，下面线性方程组有非零解，并求出此时的全部解.

(2)x1 3x2 2x30x1(8)x2 2x30. 2x1 14x2(3)x303.试讨论下面方程组中取何值时,它有唯一解,无穷多解或无解,并求出有解时的全部

解:

(1)x1x2x31x1(1)x2x31 xx(1)x12314.设向量1(1,1,1),2(1,1,1),3(1,1,1),(0,,2),

1) 当取何值时,可用1,2,3线性表示; 2) 当取何值时,不能用1,2,3线性表示. 5.当a,b为何值时,方程组

x1x2x3x4x513x2xxx3xa12345  有无穷多解?并求此时的全部解.

x2x2x6x334525x14x23x33x4x5bx14x22x312x3xx5x71234 3x7xx5x82341x2x3x416.求线性方程组 的全部解.

7.求下面线性方程组的全部解:

8

x13x26x32x472x5x10x3x101234 

x12x24x30x22x33x4108.当a,b取何值时,下面三元线性方程组有唯一解,无穷多解或无解?

ax1x2x34 x1bx2x33 x2bxx4231

六、证明题：

1.若n阶矩阵A满足A+ A- E = 0,其中E为n阶单位矩阵,试证矩阵A+E为可逆矩阵. 2.设A为n阶矩阵且A= 0 (n为自然数)，则E- A是可逆矩阵且

n2(EA)1=EAA2An1(其中E为n阶单位矩阵).

3.设1,2,3线性无关,则12,23,31亦线性无关.

4.设向量组1,2,,m(1)与向量组1,2,,m,(2)有相同的秩,则可用

1,2,m线性表示.

x1x2a1xxa3425.证明线性方程组 

xxb311x2x4b2满足a1a2b1b2时有解.

6.设A为正交矩阵,试证其伴随矩阵A亦为.

9