页眉内容
二次根式的概念与性质
一、目标认知1.学习目标：
编稿：庄永春 审稿：邵剑英 责编：张杨
理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：
，
，
，并利用它们进行计算和化简．
2.重点：
；
，
，
解决具体问题.
，
及其运用．
3.难点：
利用
二、知识要点梳理
知识点一：二次根式的概念
一般地，我们把形如
”称为二次根号．
(a≥0)•的式子叫做二次根式，“
要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
知识点二：二次根式的性质
1. 2.
； ；
3.；
；
4. 积的算术平方根的性质：
5. 商的算术平方根的性质：
要点诠释：
.
二次根式 (a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实
页脚内容1
页眉内容
数范围内进行因式分解.
知识点三：代数式
形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包
括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
三、规律方法指导
1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2；
(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？
要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.
经典例题透析
类型一：二次根式的概念
1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．
思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 解：二次根式有：
、
(x＞0)、
、
、
”；第二，被开方数是正数或0． (x≥0，y≥0)；
不是二次根式的有：
2、当x是多少时，
、、、．
在实数范围内有意义？
才能有意义．
思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•
解：由3x-1≥0，得：x≥
页脚内容2
页眉内容
当x≥时，在实数范围内有意义．
总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
举一反三
【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
(1) 解：(1)由
； (2)；
≥0，解得：x取任意实数
在实数范围内都有意义.
∴ 当x取任意实数时，二次根式 (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1
∴ 当x＞1时，二次根式
在实数范围内都有意义.
【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？
思路点拨：要使+在实数范围内有意义，
必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得
由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-
且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
类型二：二次根式的性质
页脚内容3
页眉内容
3、计算：
(1) (5)
(2)(b≥0) (6)
(3)
(4)
思路点拨：我们可以直接利用 解：
(a≥0)的结论解题．
(1) (2)=； (3)；
(4) (6)
举一反三
=； (5)
．
；
【变式1】计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)
2
.
思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0； (2)a≥0；
(3)a+2a+1=(a+1)≥0； (4)4x-12x+9=(2x)-2·2x·3+3=(2x-3)≥0． 所以上面的4题都可以运用 解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0
；
的重要结论解题．
2
2
2
2
2
2
(2)∵a≥0，∴ (3)∵a+2a+1=(a+1)
2
2
2
；
又∵(a+1)≥0，∴a+2a+1≥0，∴
22
=a+2a+1；
2
页脚内容4
页眉内容
(4)∵4x-12x+9=(2x)-2·2x·3+3=(2x-3) 又∵(2x-3)≥0
2
2222
∴4x-12x+9≥0，∴ (1)
4、化简:； (2)
； (3)
2
2
2
=4x-12x+9.
2
； (4)
2
2
.
2
2
思路点拨：因为(1)9=3，(2)(-4)=4，(3)25=5，(4)(-3)=3，所以都可运用 解：(1) (3)
5、填空：当a≥0时，
=____；当a＜0时，
==
=3； (2)=5； (4)
==
=4； =3.
去化简．
=______，•并根据这一性质回答下列问题．
(1)若 (2)若 (3)
=a，则a可以是什么数？ =-a，则a可以是什么数？ ＞a，则a可以是什么数？
思路点拨： ∵
=a(a≥0)，
2
∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )”中的数是正数， 因为，当a≤0时，
=
，那么-a≥0．
，而
要
(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知大于a，只有什么时候才能保证呢？ 解：(1)因为 (2)因为
(3)因为当a≥0时 要使
，所以a≥0； ，所以a≤0；
，要使
，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，
，
，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.
页脚内容5
页眉内容
类型三：二次根式性质的应用
的值.
6、当x=-4时，求二次根式
思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 解：将x=-4代入二次根式，得
=
.
7、(1)已知y=
+
++5，求=0，求
的值．
(2)若的值．
解：(1)由 (2)
可得，，
2
8、在实数范围内分解因式：
3
(1)x-5； (2)x-2x； 解:(1)原式 (2)原式
.
.
学习成果测评基础达标
一、选择题
页脚内容6
页眉内容
1.下列式子中，不是二次根式的是( )
A．
B． C． D．
2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )
A．5 B．
C． D．以上皆不对
3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A．x＞0 B．x≥0 C．x ≠ 0 D．x≥0且x ≠ 1
4．的值是( )
A．0 B．
5．a≥0时， A． C．
C．4 D．以上都不对
、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )
B． D．
6.(辽宁省大连市) 如图，数轴上点N表示的数可能是( ) A． C．
二、填空题 1.若 2.若
有意义，则的取值范围是____________.
页脚内容7
B． D．
，则 x = ____________.
