第20讲 组合图形的计算
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组合图形是由一些基本图形如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆和扇形等组合而成的图形。在本讲中，主要介绍长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形组合而成的图形。组合图形的计算，指的是与组合图形的面积、周长等有关的问题的计算。
对五种基本图形，首先要熟记它们面积的基本公式：
。
重点·难点
组合图形的计算是以上述几种基本图形为基础的。这几种基本图形的一些酝酿性质的恰当运用是本讲的重点。这些基本性质包括：等底等高的两个三角形面积相等；等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积比等于底之比。这三条性质都是三角形的性质，它们同样适用于平行四边形和长方形。
学法指导
在求组合图形的面积时，可用一些比较常用的方法，如：直接法、相加法和相减法、翻转法、等积移位法、重叠法。最终的目的是将这些图形转化成我们熟悉的简单规则图形的和或差。
同时，也可以构造图形，利用面积的关系来解一些代数题，如关于线段成比例等问题。
经典例题
[例1]有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
思路剖析
先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。
解答
如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。
由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方
形的宽是5厘米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。
由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的长为（11-5）÷2=3（厘米）。
所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。
[例2]如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到得到一个新的
，如果△ABC的面积为10，求△
的面积。
，
思路剖析
本题仅知△ABC的面积为10，因此，必须根据三角形的两条基本性质：等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积等于底之比，来作出与△ABC等底或等高的三角形。
解答
在△
和△ABC中，因为
，所以
的面积是△
ABC的两倍。即
同理
所以
答：△ABC的面积是70。
[例3]如图4所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，那么这个四边形的面积是多少平方厘米（单位：厘米）？
思路剖析
这个四边形不是规则的图形，无法直接应用面积公式。可以连接AC，将其分割成两个直角三角形，但是求解这两个三角形面积的条件又不足。这时不妨把四边形看成整体的一部分，延长BA、CD交于点E（如图5所示），则所求四边形的面积就转化为两个等腰直角三角形面积之差。
解答
延长BA、CD交于点E，
则（平方厘米）
[例4]如图6所示，四边形ABCD是正方形，求阴影部分的面积。
思路剖析
本题的解法思路不外两种：
（1）由大正形的面积减去四个三角形的面积；
（2）由两个平行四边形AFCH和BGDE的面积和减去中间的四边形面积。这两种方法均可。下面我们采取第二种思路解题。
解答
平行四边形AFCH旋转90°后变成平行四边形BGDE，从而这两个平行四边形面积相等，并且有DE⊥AF，即四边表MNPQ是正方形。
从而阴影部分的面积
答：阴影部分的面积是。
[例5]长方形ABCD的周长是26厘米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形。已知这四个正方形的面积之和为178平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
思路剖析
考虑到
恰为长方形的长和宽之和，即为周长的一半，从而可以
和
构成一
个大正方形，如图7所示，其中包含长方形ABCD面积的两倍和两个正方形，这两个正方形的面积恰为178平方厘米的一半。
解答 延长
，
故
与
的面积和为178÷2=（平方厘米），长方形ABCD
和面积相等，所以
答：长方形ABCD的面积是40平方厘米。
。
[例6]已知a和b均为正数，求证：。
思路剖析
如果a=b，上式左右相等，不等式成立。如果a≠b，我们可以将a、b看成线段的长度，
构造相应的线段，将代数式
小关系来说明这两个代数式的大小关系。
看成相应图形的面积，人而利用面积的大
解答
如果a=b，则，不等式成立。
若a≠b，以a、b为边长作正方形ABCD和BEFG，如图8所示，连接EG、AC，延长AC交EG与点M，由于∠MAB=∠MEB=45°，所以∠AME是直角。
从而
所以
综上所述，
[例7]如图9所示，正方形ABCD的边长为8厘米，M为AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。
思路剖析
直接用三角形的面积公式来求解是比较难的。因此不妨通过添加适当的辅助线来化简问题。
解答
☆解法一：如图10所示，连接DG
（同底等高）
从而由对称性又有
（等底等高）
所以
即
从而
☆解法二：将△CMD绕M点旋转180°，得到△PMA，如图11所示，则AB=CD=PA，CM=PM，连接PG，则
又由
（等底同高）；
（等底同高）
由
所以
从而
[例8]图12a中的三角形纸片沿虚线折叠得粗实线图形(见图12b)，其面积与原三角形面积之比为2∶3已知图12b中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积是多少？
思路剖析
要解此种类型的题要有清晰的头脑，准确把握每个图形的关系，或者用列方程的方法也可以求解。
解答
☆解法一：因为三个画阴影的三角形的面积是1，而由已知条件折叠后的图形的面积是
原三角形的面积的，面积减少了原三角形面积的。而减少的面积，恰为图中
重叠部分的面积，即重叠部分的面积是原三角形面积的。
因为原三角形的面积=三个阴影三角形的面积+两个重叠部分的面积，而两个重叠部分
的面积是原三角形面积的，所以三个阴影三角形的面积是原三角形面积的，
从而原三角形的面积为，因此重叠部分的面积为。
☆解法二：设重叠部分的面积是x，因此图12b中粗实线图形面积为x+1，原三角形的面积是：2x+1，根据题意，可列方程得
答：重叠部分的面积为1。 点津
恰当运用一些基本图形的基本性质有时可以使解题变得方便、快捷，而如何在关键的地方添上合适的辅助线，要靠多接触各种不同类型的题来提高水平，也要多进行试探。例如对例3，也许开始会考虑到将四边形分割成四个三角形来求面积，但是在这种方法不合适的情况下，要改变思路，另寻解题方法。又如对例题7，有时候可以用不同的辅助线来求解，所提供的两种解法都可以，但相比而言，第二种解法就比较简单，更容易理解。这要求同学们在做题中多尝试不同的方法。
发散思维训练
1．如图13所示，四边形ABCD的面积是______平方厘米（单位：厘米）。
2．用一根铁丝分别围成正方形、等边三角形和圆，那么这三种图形围成的面积的大小顺序是______。
3．如图14所示，在正方形中画了两个区域面积相差______。
圆，将正方形分成四个区域，则A区域与B
4．如图15所示，ABDE是以长方形ABCD的对角线BD为底的等腰梯形，已知三角形BDE的面积是200平方厘米，则长方形内半圆的面积是______。
5．如图16所示，在△ABC中，面积是三角形ABC面积的______。
，BE=EF=FC，，则阴影部分
6．已知a、b均为正数，试用面积方法证明：
7．如图17所示，正方形的面积是27平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线段把正方形的面积平均分成三份，求图中这两条线段的长是多少厘米？
8．如图18所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，现在已知A的面积是2平方厘米，B的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米。试问：原矩形的面积是多少平方厘米？
A C
B D
发散思维训练 1．解：
如答图1所示，延长AB、DC相交于点F，∠BCF=45°,AFC=45°，从而有∠FAE=45°因此△AFE是等腰直角三角形，故EF=AE=12厘米。
。而△CBF也是等腰直角三角形，
所以BF=BC=6厘米。从而
因此
。
2．解：
设铁丝的长度为a，那么它组成的正方形的边长为，从而正方形的面积是
；由铁丝圈围成的正三角形的边长是，从而它圈成的面积
是；由铁丝围成的圆的半径是，从而它围
成的面积是
综上所述有：
。
3．解：
如答图2所示，要求出A区域与B区域的面积差，可以求（A+C）区域与（B+C）区域的面积差，由
从而有
4．解：
△ABD与△BDE同底等高，因此
，设长方形的宽为r，
则，因此，而
。
5．解：
从而，即阴影部分
面积占三角形ABC面积的。
6．解：
当a=b时，恰好左式右式，不等号成立。当a≠b时，不妨设a>b，以a、b为长和宽作长方形ABCD，以b为边长作正方形BCFE，取AE的中点J，AJ为边长作正方形AJGH，如答图3所示。
显然
因所以
，从而
即
综合有
7．解：
如答图4所示，以一条线段BC为边作一个新的正方形ABCD。由于原正方形的面积是
27平方厘米，所以，从而
，从而BC=6（厘米）。显然这两条平行线段的长
度是相等的，因此它们的长度均为6厘米。
8．解：
图中的四个矩形是原矩形被两条直线分割得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横向看，每行两个相邻矩形的倍比关系是一致的，B的面积是A的面积的2倍，那么D的面积也是C的面积的2倍，所以D的面积是2×6=12（平方厘米），从而原矩形的面积是2+4+6+12=24（平方厘米）。
