随机信号分析常建平李海林习题答案(供参考)

0FX(x)kx21,,x0x1,0x1

求：①系数k； ②X落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X的概率密度。 解：

第①问 利用FX(x)右连续的性质 k＝1

P0.3X0.7P0.3X0.7PX0.7第②问

F0.7F0.3

dFX(x)2x第③问 fX(x)dx00x1 else1-10已知随机变量X的概率密度为普拉斯分布），求：

fX(x)kex(x（拉)①系数k ②X落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X的分布函数 解： 第①问 第②问

fxdx11k 2x2x1Px1Xx2Fx2Fx1fxdx

随机变量X落在区间(x1,x2]的概率P{x1Xx2}就是曲线yfx下的曲边梯形的面积。

P0X1P0X1fxdx0111e12

第③问

1xe2fx1ex2x0x0

Fxxf(x)dx1xx0e21xx01e2x0x1xedx201exdxx1exdx022

x01-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？

n,p0,np=二项分布n成立,p，q0不成立n=1(0-1)分布泊松分布高斯分布

汽车站出事故的次数不小于2的概率

P(k2)1Pk0Pk1 0.1P(k2)11.1e答案

PXk＝

实际计算中，只需满足n10kek!p0.1，二项分布就趋近于泊松分布＝np1-12 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

(3x4y)kefXY(x,y)0,x0,y0 ,其它求：①系数k？②(X,Y)的分布函数？③P{0X1,0X2}？

第③问 方法一：

联合分布函数FXY(x,y)性质：

若任意四个实数a,a,b,b，满足

1212a1a2,b1b2，则

P{a1Xa2,b1Yb2}FXY(a2,b2)FXY(a1,b1)FXY(a1,b2)FXY(a2,b1)

P{0X1,0Y2}FXY(1,2)FXY(0,0)FXY(1,0)FXY(0,2)

方法二：利用

P{(x,y)D}fXYu,vdudvD20

P{0X1,0Y2}

0fXYx,ydxdy

11-13 已知随机变量(X,Y)的概率密度为

1,0x1,yxf(x,y) 0,其它①求条件概率密度fX(x|y)和fY(y|x)？②判断X和Y是否？给出理由。

先求边缘概率密度fX(x)、fY(y)

注意上下限的选取

f)fxxdy,0x12xX(xXYx,ydy0,else01ydx,0y1f(y)f1YXYx,ydxydx,1y00,else,0x1else1|y|01y1else， 1-14 已知离散型随机变量X的分布律为

X 3 6 7 P 0.2 0.1 0.7 求：①X的分布函数 ②随机变量Y3X1的分布律

1-15 已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量Ye的概率密度？②随机变量ZX的概率密度？ 分析:①fY(y)h'(y)fXh(y)

②fY(y)|h'1(y)|fX[h1(y)]|h'2(y)|fX[h2(y)] 答案:

lny1e2fY(y)2y02Xy0else2ze2fZ(z)02z0else

1-16 已知随机变量X和X相互，概率密度分别为

12

11x1e2fX1(x1)20,x10,x10 ，

11x2e3fX2(x2)30,x20,x20

求随机变量YX1X2的概率密度？

Y1YX1X2解：设YX (任意的)21 求反函数，求雅克比J＝－1

11y11y2e36fY1Y2y1,y260y1y20else11y1y13e2y10fY1y1e else0

1-17 已知随机变量X,Y的联合分布律为

3m2ne5PXm,Yn,m,n0,1,2,m!n! PXm(m0,1,2,)求：①边缘分布律和PYn(n0,1,2,②条件分布律PXm|Yn和PYn|Xm？

)？

3m2ne53me32ne2分析：PXm,Yn,m,n0,1,2,

m!n!m!n!泊松分布 PXkkek!,k0,1,2,

XkkekkP0k0k!eee1k0k! P19

解：①PXmPXm,Yn3me32ne2n1m!n1n!

Xm,Yn2ne2同理PYnPn1n! ②PXm,Yn＝PXmPYn 即X、Y相互

1－48）

（1-18 已知随机变量X,X12,,Xn相互，概率密度分别为

f1(x1),f2(x2),,fn(xn)。又随机变量

Y1X1Y2X1X2YnX1X2

Xn证明：随机变量Y,Y,12,Yn的联合概率密度为

,yn)f1(y1)f2(y2y1)fn(ynyn1)fY(y1,y2,

Y1X1Y2X1X2Y2X1X2X3Yn1X1X2Xn1YnX1X2Xn1XnX1Y2Y1XYY232 XYYnn1n

1011J0000000000001

100110011

因为|J|＝1,故 已知随机变量

f1(x1),f2(x2),,fn(xn)fY(y1,y2,X1,X2,,Xn,yn)fX(y1,y2y1,,ynyn1)相互，概率密度分别为

,yn)fX(y1,y2y1,,ynyn1)fn(ynyn1)fY(y1,y2,f1(y1)f2(y2y1) 1-19 已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为

1xfX(x)e2求其数学期望与方差？

,x

解:

1xEXxfX(x)dxxedx0奇函数2221x2xfX(x)dxxedx偶函数EX2xedxxe002x2x0edx20

xex2xdxx2xe02edx20x

1-20 已知随机变量X可能取值为{4,1,2,3,4}，且每个值出

现的概率均为15。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量Y3X2的概率密度？③Y的数学期望和方差？

①③ E[X]xkpk k1

E[g(X)]g(xk)pkk1E[X2]2 2DXE[X]E[X] 答案: ② Y P

3 1/5

12 1/5

27 1/5

48 2/5

4462142E[X]E[X]DX552513884062E[Y]E[Y]1098DY525

离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式

fxpkxxk 其中xk10,x0 ,x0为冲激函数

1fYyy3y12y272y48

5

1-22 已知两个随机变量X,Y的数学期望为mX1,mY2，方

224,差为XY1，相关系数XY0.4。现定义新随机变量

V,W为

VX2Y WX3Y求V,W的期望，方差以及它们的相关系数？

EV3EW7EaXbYaEXbEYDV4.8DW17.8DaXbYa2DXb2DY2abCXY

XY

CXYXY 0.13

1-23 已知随机变量X,Y满足YaXb，a,b皆为常数。证明： ① CXYa；②

2XXY1a0；③ 1a0aE[X2]当mX0且bE[X]时，

随机变量X,Y正交。

① CXYRXYmXmY

EYEaXbamXb2EXYEXaXbaEXbmX

CXY＝aX2

②XY

XYDYDaXba2DXa2X2

CXYXY

CXYXYaX2Xa2X2aa

③正交RXY＝0

EXYaEX2bmXaE[X2]bE[X]

得证

1-25 已知随机变量X,Y相互，分别服从参数为1和2的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明

ZXY服从参数为12的泊松分布。

解：① 泊松分布

ekPXkk!k0

juk特征函数的定义 QXuEeek!eek0k0juXkek!juk

xk由ek!(1-17

k0x题用过) 可得QXueeju1eejue(eju1)dQXudeEXjjduu0du2EXj22

u0dQXu2dej2duu0d2uju2e12

u0

②根据特征函数的性质，X Y相互，

QZuQXuQYue(12)(eju1)

表明Z服从参数为12的泊松分布

1-26 已知随机变量X,Y的联合特征函数为

6QXY(u,v)62ju3jvuv

求：①随机变量X的特征函数 ②随机变量Y的期望和方差

3QX(u)QXY(u,0)解：①3ju

2QY(v)QXY(0,v)②2jv

kdQX(u)E[Xk](j)kduku0

dQY(v)2j2dv2jvd2QY(v)4jv824dv2jv

dQY(v)1E[Y](j)duv022dQY(v)1E[Y2](j)2du2v02

1-28 已知两个的随机变量X,Y的特征函数分别是QX(u)和

QY(u)，求随机变量Z3(X1)2(Y4)特征函数QZ(u)？

解：

特征函数的性质：相互随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积

X、Y，

因此有 3(X1)和2(Y1)

的等价条件（充分必要条件）

① fXY(x,y)fX(x)fY(y)

knknk1,n1E(XY)E(X)E(Y) ②

③ QX(u1,u2)=QXu1QXu2

121-29 已知二维高斯变量(X,X)中，高斯变量X,X的期望分别为

12122m1,m2，方差分别为12,2，相关系数为。令

X1m1Y1,1X2m2X1m1Y2 22111①写出二维高斯变量(X1,X2)的概率密度和特征函数的矩阵形

式，并展开；

②证明(Y1,Y2)相互，皆服从标准高斯分布。

X1解：

X1m1,1X2X2m22

X1X2X1~N(0,1)，X2~N(0,1)，



Y1X1,Y2112X2X1

1 1201A系数矩阵12YAX，线性变换，故Y也服从高斯分布

MYAMX0 0T1CYACXAA10A 101TCij0(ij)，故Y1Y2不相关，

高斯变量不相关和等价，Y1Y2

1-30 已知二维高斯变量(X1,X2)的两个分量相互，期望皆为0，方差皆为。令

Y1X1X2Y2X1X2

其中0,0为常数。①证明：(Y1,Y2)服从二维高斯分布； ②求(Y1,Y2)的均值和协方差矩阵； ③证明：Y1,Y2相互的条件为。

复习： n维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与是等价的

2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

2

解：①  Y 1        X 1

Y2X2 220T2CACAMAM2YX② YX02

③Y1,Y2相互、二维高斯矢量 因此Y1,Y2互不相关 只要证CY为对角证

220即

22221-31

X1XX2均值为常矢量a，已知三维高斯随机矢量方差阵X3222B254 为

244证明：X1,X2X1,X132X23X3相互。

复习： n维高斯变量的性质

1. 高斯变量的互不相关与是等价的

2. 高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。 3. 高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布

Y1X1XXYY12 2思路：设随机矢量

Y31X2XX12333

由性质可得Y为三维高斯变量，求得方差阵CY为对角阵

CYACXA

1A1130123000200CY0302003T1-32 已知三维高斯随机变量(X1,X2,X3)各分量相互，皆服从标准高斯分布。求Y1X1X2和Y2X1X3的联合特征函数？

0M100X0C010X 0001

思路：Y是X线性变换故也服从高斯分布，求得可以写出联合特征函数

X1X1Y1X1X2YY11102XYXAX1X321012X32 X3YAX，线性变换，故Y也服从高斯分布

MYAMX00CACT21YXA12

N维高斯变量的联合特征函数

QY1,,jUTYTUTCnEeexpjMYUYU2exp211222



MYCY就

2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为

6xy(2xy)0x10y1fXY(x,y)0else

(1)条件概率密度f(xy),f(yx) (2)X和Y是否？给出理由。

解题思路：f(x,y) 解：(1)

fX(x)126xy(2xy)dy4x3x0fXY(x,y)dy0fX(x),fY(y)f(xy),f(yx)

0x1else6y2xyfXY(x,y)0x10y1fY(yx)43xfX(x)0else6x2xy0x10y1同理fX(xy)43y0else

(2)

fX(xy)fX(x)orfXYx,yfXxfYy

X和Y不相互

4、已知 (X1,X2,X3) 是三维高斯变量，其期望和方差为

X1m10Mm0XXX22

732CX341 Y1X1X2 Y2X3

X3m30212求：(1) (X1,X2)的边缘特征函数。

(2) (Y1,Y2)的联合概率密度

高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布

所以(X1,X2)、Y服从高斯分布

(1) EX1073X0CX1X2342 Qu,u7u216u1u24u22X12exp2

1100(2) A001M0C17YY3C112Y25CY253317

32

222Y16Y1Y217Y21fYy1,y2exp

1050

2-1 已知随机过程 ，其中 为常数，随机变量 服从标准高斯分布。求 三个时刻 的一维概率密度？ 解：

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程 仅由四条样本函数组成，出现的概率为 。

图2.23 习题2-2

在 和 两个时刻的分布律如下： 1 2 6 3 5 4 2 1

1/8 1/4

求 2－23

3/8 1/4 ？

2-4 已知随机过程 ，其中 皆为随机变量。①求随机过程的期望 和自相关函数 ？②若已知随机变量相互，它们的概率密度分别为 和 ，求 的一维概率密度 第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t时刻， 为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量 ②求反函数

③求雅克比行列式J，得到|J| ④利用公式

⑤由联合概率密度求边缘概率密度 ⑥t为变量，则得到

方法二： 用特征函数定义和性质（变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做 （特征函数和概率密度一一对应）

2-5 已知 为平稳过程，随机变量 。判断随机过程 的平稳性？

随机过程 非平稳

2-6 已知随机过程 ，其中随机过程 宽平稳，表示幅度；角频率 为常数；随机相位 服从 的均匀分布，且与过程 相互。①求随机过程 的期望和自相关函数？②判断随机过程 是否宽平稳？

① 与过程 相互

2-8 已知平稳过程 的自相关函数为 ，

求过程的均方值和方差？

2-10 已知过程 和 ，其中随机变量 ，均值都为0，方差都为5。①证明 和 各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？ ①

2-11 已知过程 和 各自平稳且联合平稳，且 。①求 的自相关函数 ？②若 和 ，求 ？③若 和 且均值均为0，求

第①问

两个联合平稳的过程的互相关函数

第②问 两平稳过程

第③问 和 且均值均为0

2-12 已知两个相互的平稳过程 和 的自相关函数为

令随机过程，其中 是均值为2，方差为9的随机变量，且与 和 相互。求过程 的均值、方差和 自相关函数？

随机变量A，与 和 相互

可以证明过程 平稳

2-14 已知复随机过程

式中 为n个实随机变量，时， 复平稳？

复过程 复平稳条件

为n个实数。求当满足什么条件 ① ②

2-16 已知平稳过程 的均方可导， 。证明 的互相关函数和 的自相关函数分别为

若 为宽平稳（实）过程，则 也是宽平稳（实）过程，且 与

联合宽平稳。

2-17 已知随机过程 的数学期望 ，求随机过程 的期望？

2-18 已知平稳过程 的自相关函数 。求：①其导数 的自相关函数和方差？② 和 的方差比？

不含周期分量

补充题：若某个噪声电压 是一个各态历经过程，它的一个样本函数为 ，求该噪声的直流分量、交流平均功率

解：直流分量 、交流平均功率

各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均

再利用平稳过程自相关函数的性质

方法二：

2-19 已知随机过程 ，其中 是均值和方 差皆为1的随机变量。令随机过程

求 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？

解： 1． 求均值，利用

随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换

2.求自相关函数

3. 求互协方差函数

4. 求方差

2-20 已知平稳高斯过程 的自相关函数为 ① ②

求当 固定时，过程 的四个状态 的协方差矩阵？

分析：高斯过程四个状态的

解：① ②

2-21 已知平稳高斯过程证明

0，令随机过程 的均值为 。

2-22 已知随机过程 ，其中随机相位 服从 上的均匀分布； 可能为常数，也可能为随机变量，且若 为随机变量时，和随机变量 相互。当 具备什么条件时，过程各态历经？

分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且

解：① A为常数时 为平稳过程

A为随机变量时 和随机变量 相互

为平稳过程 ② ③

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2）上均匀分布的随机变量，且A和B。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1） EX(t)EAEcostB2

A与B相互11RXt,tEAcos5cos222215XtXt是平稳过程（2） E2

1TX(t)limXtdtA T2TT

3-1 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为GX()平均功率？

②取值在(4,4)范围内的平均功率？

32，求：①该过程的(216)解

2(1)：PEXt12GXd方法一(时域法)244R()F1GX()4F124e24P1R(0)4方法二(频域法)11P1G()dX2241d424141'arctanx1x232422d(2)取值范围为-4,4内的平均功率1P22

324422d4

23-7如图3.10所示，系统的输入X(t)为平稳过程，系统的输出为

Y(t)X(t)X(tT)。证明：输出Y(t)的功率谱密度为

GY()2GX()(1cosT)

解:已知平稳过程的表达式

利用定义求RY()E[Y(t)Y(t)]GY()FRY()RY()E[Y(t)Y(t)]E{X(t)X(tT)}{X(t)X(tT}2RX()RX(T)RX(T)系统输入输出平稳GX()RX()GY()RY()利用傅立叶变换的延时特性GY()2GX()GX()ejTGX()ejTejTejT2GX()2GX()22GX()(1cosT)3-9 已知平稳过程X(t)和Y(t)相互，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为

16 GX()216

GY()2216

令新的随机过程

Z(t)X(t)Y(t) V(t)X(t)Y(t)①证明X(t)和Y(t)联合平稳； ②求Z(t)的功率谱密度GZ()？ ③求X(t)和Y(t)的互谱密度GXY()？ ④求X(t)和Z(t)的互相关函数RXZ()？ ⑤求V(t)和Z(t)的互相关函数RVZ() 解:

(1)X(t)、Y(t)都平稳RX()＝F1GX2eRY()2e44E2[X(t)]RX()0E[X(t)]0E[Y(t)]0X(t)与Y(t)联合平稳X(t)与Y(t)RXY(t,t)E[X(t)]E[Y(t)]0(2)Z(t)X(t)Y(t)RZ()E[Z(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]RX()RYX()RXY()RY()RXY()0RZ()RX()RY()216GZ()GX()GY()2116(3)RXY()0GXY()0(4)RXZ()E[X(t)Z(t)]EX(t)X(t)Y(t)RX()RXY()(5)RVZ()E[V(t)Z(t)]E[X(t)Y(t)][X(t)Y(t)]RX()RY()()4e4||RX()F1[GX()]2e4||3-11 已知可微平稳过程X(t)的自相关函数为RX()2exp[2]，其导数为Y(t)X(t)。求互谱密度GXY()和功率谱密度GY()？

Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理

GXFF1RX()

Ⅱ.2-17 已知平稳过程X(t)的均方可导，Y(t)X(t)。证明X(t),Y(t)的互相关函数

和Y(t)的自相关函数分别为

dR()RXY()Xdd2RX()RY()d2Ⅲ.傅立叶变换的微分性质

解:GX()F[RX()]F[2e]2e4222高斯脉冲et2e2t222P279表第28个exp22exp22利用傅立叶变换的微分特性()RXY()RX()RY()RXGXY()jGX()2je42GY()(j)2GX()＝22e423-17 已知平稳过程X(t)的物理功率谱密度为FX()4， ①求X(t)的功率谱密度GX()和自相关函数RX()？画出

FX(),GX(),RX()的图形。

②判断过程X(t)是白噪声还是色噪声？给出理由

物理功率谱密度 定义式FX()2GX()UGX()1FX()2,2RX()2()

E[X(t)]RX()0，X(t)是白噪声。

白噪声的定义

若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)上均匀分布，满足

1 (3-1) GN()N02其中N0为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应

h(t)=U(t)－U(t－0.5) 它的输入是功率谱密度为 10V2Hz的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数

白噪声 ht RY

1思路:PGYdYEY(t)222D[Y(t)]E[Y2(t)]mYEYRY02

RXYRXh

解：输入输出互相关函数RXY()RX()h()10()h()10h()10[U()U(0.5)]RYX()RXY()10[U()U(0.5)]

时域法X(t)是白噪声，mX0，GX()10RX()10()mYmXh()d0，0

RY()RX()h()h()10h()h()10h()h()d0RY(0)10h()h(0)d10[U()U(0.5)]d002

101d100.5500.5面积法平均功率：E[Y2(t)]RY(0)PY52交流平均功率：D[Y(t)]E[Y2(t)]mY5

频域法矩形脉冲AUtUt的频谱等于ASa2(信号与线性系统书P131371式）j114H()eSa24ej2GY()GX()H()101PY21GdY221e21j45SaSa22442

52d52Sa42Sad12mYmXH00H0直流分量为0122交流平均功率：D[Y(t)]E[Y2(t)]mYE[Y2(t)]PY5

4-5 已知系统的单位冲激响应h(t)(1t)[U(t)U(t1)]，其输入平稳信号的自相关函数为RX()2()9，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？

分析：直流功率＝直流分量的平mYmXht方

解: 输入平稳

mXRX32RX001输出的直流分量 mYmXht3ht=031-d输出的直流功率

dFjF变换 频域的微分特性 -jtftdtftjdFjdmY29432h(t)(1t)[U(t)U(t1)](1t)At=AttAtHAjA'2矩形脉冲UtUt1的频谱ASae2jj21'j22'ASaeSaeSae2222'jj2GYGXHGXHH19Sa'Sa20RY2242j1H0＝A0jA'0＝1j2239mYmXH0直流功率24limSa002224-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为N0的白噪声，求：①系统的传递函数H()？②输出Z(t)的均方值？其中

02[sin(ax)]x2dxa2[Sa(ax)]2dx02a

Y()X()H1()ZY()H2() ZX()H1()H2()可以分别求H1()、H2() H()＝Fhtht冲激响应，输入为冲激函数

(1)：Y(t)X(t)X(tT)

输入为冲激函数，冲激响应h1tttT

H1()1ejT

h2(t)t()dU(t)H2()1()j

H()H1()H2()jT1(1e)jT (1e)[()]＋(1ejT)()jj

(2)求输出Zt的均方值即RZ(0)，所以有GZ()RZ() (1ejT)(1ejT)22H()2(1cosT) jj 2sin2Tsin2T＝2 22N0sin2T2GZ()＝GX()H()H()＝N02221sin2TjRZ()F[GZ()]N0ed221sin2Tj0RZ(0)N0ed222sinTN0N0N0T2dT022221 4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为

24GY()4

1029求此稳定系统的单位冲激响应h(t)？

2解：

GX()HGY()GX()1

224 HGY()41029

sj带入

Hs22s2ss24HsHs4s10s29s3s3s1s12s2jHs3s1j3j1系统稳定，则零头、极点都在左半平面Hs111htF1HF12＋2ete3tUtj3j124-12 已知系统输入信号的功率谱密度为

23 GX()28设计一稳定的线性系统H()，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？

2解： GY1GX()H1

Hs23s3s1GX(s)22s22s

Hs即H22s3s22j3j用复频率代替s=j因式分解HsH(s)H(s)选择依据：系统是稳定的物理可实现系统，所有极点都在左半平面24-14 功率谱密度为N02的白噪声作用于H(0)2的低通网络上，等效噪声带宽为XHMHz。若在1电阻上的输出平均功率为0.1W。求N0的值？ 书P162

fee单位为HZ，故本题e＝2fe＝2XH106 2PY12解：对于低通情况GYd12GXH()d212eN0H()max2 P1NH()2Ye0max2 XH1670.1210N4N1000 24XH 2H()d2PY0或者调用公式 e22H()maxN0H()max

图4.24 习题4-18

4-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入W(t)是零均值，物理谱密度为1的

t白噪声，且h(t)eU(t)。

①判断X(t)和Y(t)分别服从什么分布？给出理由。 ②证明Y(t)是严平稳过程。

③求W(t)和X(t)的互相关函数，Y(t)的功率谱密度？ ④写出Y(t)的一维概率密度表达式？

⑤判断同一时刻，X(t)和Y(t)是否？给出理由。

解：①W(t)是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义）， 线性系统h(t)etU(t)，系统传递函数H()是个低通线性系统（带宽有限）

由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，X(t)为高斯过程。 由4.5节结论1可知，Y(t)为高斯过程。

X(t)和Y(t)服从高斯分布

11j，

②证明Y(t)是严平稳过程

证：W(t)是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出Y(t)也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。

对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。

③求W(t)和X(t)的互相关函数，Y(t)的功率谱密度

11RWX()RW()h()()etU(t)eU()

22

h(t)etU(t)H()211j

GX()H()GW()RY()EY(t)Y(t)11傅立叶反变换R()exp() X242(1)EX(t)X(tT)X(t)X(tT)2RX()RX(T)RX(T)12exp()exp(T)exp(T)4

可得GY()1422jTjTee2241211

1421ejTejT1cosT2224111

习题3-7 的结论GY()2GX()1cosT

④求Y(t)一维概率密度表达式

Yt是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 12RY(0)1exp(T)2fYy;t1ey2222

思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t，根据Y(t)严平稳过程的特性也可以推到。

思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。

⑤判断同一时刻，X(t)和Y(t)是否？给出理由

X(t)和Y(t)（高斯过程）

等价 互不相关（零均值） 等价 正交

X(t)和Y(t)联合平稳，再由两者的相互关系可得

RXY()EX(t)Y(t)EX(t)X(t)X(t)X(tT)RX()RX(T)RXY(0)RX(0)RX(T)11exp(T)04即不正交

X(t)和Y(t)在同一时刻不。