学园Ｉ ＸＵＥＹＵＡＮ ２０１４年第３３期 三角形“四心”内容的探讨 刘雪娟 云南省会泽县茚旺高级中学 三角形的“四心”即内心、外心、重心和垂心，是中学 数学中经常用到的知识点，每年全国各地高考试卷中都会涉 及与“四心”有关的问题。以往的文献是从三角形各心心距、 表达形式、同心簇等方面着手研究，对三角形各心已有了较 高层次的探索，但对学生解决实际高考和竞赛中遇到的题目 帮助不大。 本文着眼于“四心”的常规知识，对三角形的“四心” 进行了综合阐述。 一三角形“四心”的定义及常用性质 众所周知，与三角形相关的直线中，有些直线有着三 线共点的特性，所谓三线共点是三条直线交于一点，有且 只有一个交点。由此给出了三角形各心的定义：三角形的 三条中线、三条高、三条角平分线、三条垂直平分线都交 于一点，交点分别称为三角形的重心、垂心、内心和外心。 关于“四心”定义的证明有多种方法，其中最著名的是塞 瓦定理。 塞瓦定理：过ＡＡＢＣ三顶点Ａ、Ｂ、ｃ，向对边引直线， 分别交对边于Ｄ、Ｅ、Ｆ，那么ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ三条直线交于 一点的充要条件是： ＢＤ・罢・箐＝１。以重心为例，用塞瓦 定理证明三角形三条中线交于一点。 ． 证明：Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是三边的中点则 ＝１，嚣＝１， 竺＝１，塞瓦定理显然成立，则三角形三条中线交于同一点， Ｂ’ 该点为重心。同理可以证明其余各心定义，在此不再一一阐 述，下面就来看各心的常用性质，部分老师已对其进行了研 究，通过学习，我归纳如下： １．重心——三角形三边中线的交点 设Ｇ是ＡＡＢＣ的重心，ＡＧ的延长线交ＢＣ于Ｄ，则： （１）三角形的一个顶点和重心的连线必过对边中点；三角 形的一个顶点和对边中点的连线必过重心。（２）重心到顶点 的距离与重心到对边中点距离之比为２：１，即ＡＧ：ＡＤ＝ ２：３。（３）Ｇ是ＡＡＢＣ的重 ，贝『Ｊ有 ＋面＋ ＝０。（４） Ｇ是ＡＡＢＣ的重心，Ａ（ １，Ｙ１）、Ｂ（ ２，Ｙ２）、Ｃ（ｚ３，Ｙ３）， 则重心Ｇ的坐标为Ｇ（＿Ｘｌ￣２＋Ｘ３， ）。（５）Ｇ是ＡＡＢＣ ３ ｊ 的重心，则有ｓＡＧＡＢ＝Ｓ△ＧＡｃ＝Ｓ△ＧＢＣ＝妄ｓＡＡＢｃ。 迎投满 ２．内心——三角形三个内角角平分线的交点 设Ｉ是△ＡＢＣ的内心，内切圆切边ＡＢ于Ｐ，则：（１） 内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形三边的距离相 等，等于内切圆的半径ｒ。（２）Ｉ是△ＡＢＣ的内心，￣ＢＩＣ＝ ９０。＋ Ａ。（３）ＡＰ： ｏｔＡ ，Ｓ ｃ： 。 ｊ ｚ ３．外心——三角形三边垂直平分线的交点 （１）三角形的任意两边的垂直平分线的交点就是三角 形的外心。（２）外心是三角形外接圆的圆心，外心到三个顶 点的距离相等，且等于外接圆的半径，即ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ｒ。 （３）若Ｏ是△ＡＢＣ的夕卜 ，则２ Ａ＝ ＢＯＣ，２ Ｂ＝ ＡＯＣ．２ Ｃ＝ ＡＯＢ。 ４．垂心——三角形三条高的交点 （１）三角形的一顶点和垂心的连线必与对边垂直。（２） 若Ｏ是ＡＡＢＣ的垂心，则Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｏ四点中，任意两点 的连线必垂直于其余两点的连线。（３）若Ｏ是△ＡＢＣ的垂 心，则有 ．丽＝一ＯＢ． ＝一ＯＣ． 。（４）锐角三角形的垂 心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角 形的垂心在三角形外。 三角形上作三高，三高必于垂心交，高线分割三角形， 出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四 点共圆图中有，细心分析可找清。 二三角形“四心”在高考中的地位 分析近几年的高考题会发现三角形的“四心”问题常出 现在选择、填空或最后的压轴题中，所占分值是５～１４分。 它虽然没有数列、三角函数、圆锥曲线出现的频率高，但这 部分内容涉及的知识面广，灵活性强，学生比较容易混淆， 比较容易失分。要解决三角形的“四心”问题，首先是寻找 突破点，将已知的条件转化到“四心”的概念性质中，其中 会涉及向量、坐标、几何等方面的综合知识，这类题目有多 种解题方法，有待进一步探讨。 三角形的“四心”内容是三角形的重要知识点，也是解 析几何的难点，这类问题涉及的知识面广，富有挑战性，是 考查学生能力的好题，本文对三角形“四心”进行了粗浅的 探讨，旨在总结规律，帮助解题。 ［责任编辑：林劲］ 逛订阉 一１５１—
