224．已知函数f(x)xsinx(xR)，且f(y2y3)f(x4x1)0，则当y1时，2'y 的取值范围是( ) x1133144A． [,] B．[0,] C．[,] D．[0,] 4444335．已知函数f(x)x2alnx．
（1）当a2e时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数g(x)f(x)2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．
一．利用导数的几何意义求切线
1．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（ B ）
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 2．若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ A ）
A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30 3．曲线yx32x4在点(1，3)处的切线的倾斜角为（ B ） A．30°
B．45°
C．60° D．120°
4．设曲线yax2在点（1，a）处的切线与直线2xy60平行，则a（ A ）
11 C． D．1 221x23lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（ A ） 5．已知曲线y24A．1
B．
A．3
B．
2 C．1
1 D．
2
6．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( B )
A．3,3
B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1
7．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
11
A．4 B．－ C．2 D．－
42答案 A
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4，选A.
8．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D
解析 显然P不在S上，设切点为(x0，y0)， 由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20. 切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)． ∵P(2,2)在切线上，
∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)， 即x30－3x20＋2＝0. ∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0. 由x0－1＝0，得x0＝1.
由x20－2x0－2＝0，得x0＝1±3.
∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条． 二．导数的计算
1．函数y＝x·lnx的导数是( )
1
A．x B. C．lnx＋1
x答案 C
1
解析 y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
xcosx
2．函数y＝的导数是( )
x
xsinx＋cosxxcosx＋cosxsinx
A．－2 B．－sinx C．－ D．－ xx2x2答案 C
cosx′x－cosx·x′cosx
解析 y′＝()′＝ 2xx＝
3． y＝ex2－1的导数是 ( )
A．y′＝(x2－1)ex2－1 C．y′＝(x2－1)ex
B．y′＝2xex2－1[来源:学*科*网] D．y′＝ex2－1
－xsinx－cosx.
x2D．lnx＋x
4． 函数y＝x2cos 2x的导数为 ( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2 答案 B
解析 f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2. ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
6．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)<0的解集为________．
答案 (－1,3)
π1
7．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
32
答案 0 －1
解析 f′(x)＝2ax－bcosx， ∴f′(0)＝－b＝1. πππ1f′()＝2a·－b·cos＝，
3332得a＝0，b＝－1.
8．直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的1
导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S＝a·h即可完成．
2
解析 (1)因为y′＝2x＋1，则直线l1的斜率k1＝2×1＋1＝3，则直线l1的方程为y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为
y＝(2b＋1)x－b2－2.
12
因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－，b＝－.
33122
所以直线l2的方程为y＝－x－. 39y＝3x－3x＝6
(2)解方程组得122
5y＝－3x－9，y＝－2.
1
1522
所以直线l1和l2的交点坐标为(，－)，l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)，(－，
6231255125
0)．所以所求三角形的面积S＝××|－|＝. 23212三.导数的应用
5．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( D )
A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
8．f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时,(x1)f(x)2xf(x)0，且f(1)0，则不等式f(x)0的解集是（ D ）
2'A．(1,) B．(1,0)(1,) C．(,1) D．(,1)(0,1) 9．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设
1
a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则(B )
2
A．ay 的取值范围是( A ) x1133144A． [,] B．[0,] C．[,] D．[0,] 444433当y1时，5．已知函数f(x)x2alnx．
（1）当a2e时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数g(x)f(x)2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围． 5．（1）单调增区间为（2）a24
e, 单调减区间为0,e
