变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法

󰀁󰀁AppliedMathematicsandMechanics

文章编号:1000_0887(2003)01_0029_10

󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁重庆出版社出版󰀁

应用数学和力学编委会编

变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法

󰀁

王文洽

(山东大学数学与系统科学学院,济南250100)

(云天铨推荐)

摘要:󰀁对Saul󰀁yev型格式中的对流项构造了一种新的离散化逼近形式,进而给出了变系数对流_扩散方程的Crank_Nicolson方法󰀁󰀂这个方法是绝对稳定的󰀁󰀂数值实验表明该方法并行性好,精度高,宜于直接在并行计算机上使用󰀁󰀂

关󰀁键󰀁词:󰀁对流_扩散方程;󰀁交替分段方法;󰀁Crank_Nicolson格式;󰀁非对称差分格式;

绝对稳定;󰀁并行计算

中图分类号:󰀁O241󰀁󰀁󰀁文献标识码:󰀁A

引󰀁󰀁言

变系数对流_扩散方程的数值解法在非均匀介质中的热传导、粒子扩散等物理现象的研究中有广泛应用,例如在盆地发育史数值模拟中古地热的传递就属于这类问题󰀁󰀂因此,研究该问题的并行数值计算方法是现代科学飞速发展的需要,有重要的科学意义和应用价值󰀁󰀂D.JEvans,张宝琳等人对于抛物型方程的并行差分法做了许多研究工作的研究,却仅限于扩散方程

[8~11]

[1~7]

,提出了一类交替分组

显式(AGE)方法和交替分组显_隐(AGE_I)格式󰀁󰀂而关于交替分段Crank_Nicolson方法(ASC_N)

󰀁󰀂本文对对流项做了不同于文献[5~7]的处理,并利用了第二

类Saul󰀁yev型非对称格式和具有二阶精度的Crank_Nicolson格式,构造了具有并行本性的绝对稳定的ASC_N方法󰀁󰀂数值试验表明,方法在精度和稳定性方面都取得了很好的效果󰀁󰀂

我们考虑的问题是

󰀁u󰀁u󰀁󰀁u󰀁󰀁+k=(a(x))󰀁󰀁(0󰀁t󰀁x󰀁x󰀁x初始条件和边界条件是

󰀁󰀁u(x,0)=f(x)󰀁󰀁(0󰀁󰀁u(0,t)=f1(t),u(1,t)=f2(t)󰀁󰀁(0󰀁

(1)(2)(3)

收稿日期:󰀁2000_11_20;修订日期:󰀁2002_07_21

基金项目:󰀁国家教育部博士点专项基金资助项目(97042202)作者简介:󰀁王文洽(1950󰀁),男,山东阳谷县人,教授󰀁󰀂主要研究研究方向为油水资源数值模拟,微分

方程数值解法及应用软件等(E_mail:wwqia@math.sdu.edu.cn)󰀁󰀂

2930王󰀁󰀁󰀁文󰀁󰀁󰀁洽

󰀁󰀁0(4)

1󰀁交替分段Crank_Nicolson方法

首先将区域(0,1)󰀁(0,T)进行剖分,记空间步长h=1󰀁m,时间步长为󰀁t,m是正整数,节点(xi,tn)用(i,n)表示,xi=ih(i=0,1,󰀁,m),tn=n󰀁t(n=0,1,󰀁,[T󰀁󰀁t]),tn+1󰀁2=tn+󰀁t󰀁2󰀁󰀂为方便起见,定义

󰀁h,󰀁h,xui=(ui+1-ui)󰀁xui=(ui-ui-1)󰀁󰀁󰀁2h,󰀁^ui=(ui+1-ui-1)󰀁2h,^ui=(ui+1-ui-1)󰀁xx󰀁

-󰀁2h,󰀁-ui)󰀁󰀁t󰀁󰀂x^ui=(ui+1-ui-1)󰀁tui=(ui

nn

nn

nn

nnn

nnn+1n

nn+1nnn+1

在构造交替分段Crank_Nicolson方法时,我们用到下面的逼近方程(1)的Crank_Nicolson差分格式和第二类Saul󰀁yev型非对称格式Crank_Nicolson格式:

󰀁tui+

n

[12]

:

kn+1n1n+1n

(󰀁^uix+󰀁x^ui)=(󰀁x(a-1󰀁2󰀁xu)i󰀁+󰀁x(a-1󰀁2󰀁xu)i),󰀁22

n

2

n+1

n+1

n+1n

(5)

此处,ai+1󰀁2=a(xi+h󰀁2),ui是要求的数值解,记r=󰀁t󰀁2h,(5)式可写成

-r(ai-1󰀁2+kh󰀁2)ui-1+(1+r(ai-1󰀁2+ai+1󰀁2))ui-r(ai+1󰀁2-kh󰀁2)ui+1=󰀁󰀁r(ai-1󰀁2+kh󰀁2)ui-1+(1-r(ai-1󰀁2+ai+1󰀁2))ui+r(ai+1󰀁2-kh󰀁2)ui+1󰀁󰀂Saul󰀁yev型非对称格式:

nk-nn1n-1n+1n

1

󰀁tui+(󰀁x^ui+󰀁^ui)=x(󰀁x(a-󰀁xu)i+h󰀁(ai+1󰀁2󰀁xui-ai-1󰀁2󰀁x󰀁ui)),222

n

n

(6)

(7)(8)(9)(10)

󰀁tui+󰀁tui+󰀁tui+

nn

n

knn1n-1nn+1

1󰀁u)(󰀁^ui+󰀁(󰀁(ax󰀁x^ui)=x(a-x󰀁i+hi+1󰀁2󰀁xui-ai-1󰀁2󰀁x󰀁ui)),222k-nn+11n+1-1n+1n

1

(󰀁)=(󰀁󰀁+h(a-ax^ui+󰀁^uixx(a-x󰀁u)ii+1󰀁2󰀁xuii-1󰀁2󰀁x󰀁ui)),222k^nn+11n+1-1nn+1

1

(󰀁xui+󰀁󰀁x^ui)=(󰀁x(a-󰀁x󰀁u)i+h(ai+1󰀁2󰀁xui-ai-1󰀁2󰀁x󰀁ui)),222

同样,(7)~(10)式也可以写成下面的形式

n+1khn+1

(1+rai+1󰀁2)ui-rai+1󰀁2-ui+1=2

󰀁󰀁r(2ai-1󰀁2+kh)ui-1+(1-r(2ai-1󰀁2+ai+1󰀁2))ui+rai+1󰀁2--rai-1󰀁2-khn+1n+1

ui-1+(1+rai-1󰀁2)ui=2

(12)

n

n

khn

ui+1,2

(11)

nnkhun+(1-r(2a󰀁󰀁rai-1󰀁2+i-1i+1󰀁2+ai-1󰀁2))ui+r(2ai+1󰀁2-kh)ui+1,2

-rai-1󰀁2+

khn+1n+1n+1

ui-1+(1+r(2ai+1󰀁2+ai-1󰀁2))ui-r(2ai+1󰀁2-kh)ui+1=2

khnn

ui-1+(1-rai-1󰀁2)ui,2

(13)

󰀁󰀁rai-1󰀁2+

n+1n+1khn+1

-r(2ai-1󰀁2+kh)ui-1+(1+r(2ai-1󰀁2+ai+1󰀁2))ui-rai+1󰀁2-2ui+1=

变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法31

󰀁󰀁(1-rai+1󰀁2)ui+rai+1󰀁2-

n

khn

ui+1󰀁󰀂2

(14)

在给出交替分段Carnk_Nicolson方法之前,我们先给出本文使用的两个基本段型,即由2l个内点组成的G2l组和由l个内点组成的Gl组󰀁󰀂

首先,假定第n层上的数值解ui已经给出,为了求第(n+1)层的值ui,我们构造G2l组上的差分方程,G2l组是由内点(xIj+i,tn+1)(i=1,󰀁,2l)组成,此处j为G2l组的序号󰀁󰀂G2l组上的差分格式按如下的规定给出,在点(xIj+1,tn+1)处使用格式(11),在点(xIj+l,tn+1)处使用格式(13),在点(xIj+l+1,tn+1)处使用格式(14),在点(xIj+2l,tn+1)处使用格式(12),在其余各点(xIj+i,tn+1)(i=2,󰀁,l-1,l+2,󰀁,2l-1)处使用Grank_Nicolson格式(6)󰀁󰀂于是可得到基本段G2l上的差分格式的矩阵形式

󰀁󰀁A2l󰀁uIj=B2l󰀁uIj+bIj,󰀁A2l=I+rQ2l,󰀁B2l=I-rP2l󰀁󰀂此处,󰀁uIj=(uIj+1,uIj+2,󰀁,uIj+2l),bIj=(2rb1uIj,0,󰀁,0,2rc2luIj+2l+1),若记

bi=aIj+i-1󰀁2+

j

i

j

n

n

n

n

T

(2)

j

n

j

n

T

(j)

n+1

(j)

n

(2)

(j)

(j)

(j)

(j)

n

n+1

(15)

khjkh,ci=aIj+i+1󰀁2-22

-j

󰀁󰀁󰀁󰀁d^=aIj+i-1󰀁2+aIj+i+1󰀁2,d^i=aIj+i-1󰀁2+2aI+i+1󰀁2

j

󰀁

󰀁󰀁󰀁󰀁d󰀁i=2aIj+i-1󰀁2+aIj+i+1󰀁2,󰀁di=aIj+i-1󰀁2,di=aIj+i+1󰀁2,则

dj1-bj2

-cj1dj2^󰀁

-cj2󰀁-bjl-1

Q

(j)2l

jjj

󰀁djl-1^-b

j

l

-cjl-1

󰀁

=

󰀁jld-2b

j

l+1

-2cjld󰀁

󰀁jl+1

,

-c

jl+1

-bjl+2djl+2^󰀁

-cjl+2

󰀁-bj2l-1

󰀁dj2l-1^-bj2l

-cj2l-1󰀁j2ld

2l󰀁2l

󰀁dj1-bj2

󰀁

-cj1d^j2󰀁

-cj2󰀁-bjl-1

󰀁

djl-1-cjl-1^bjl

󰀁djl

djl+1-bjl+2

-cjl+1djl+2^󰀁

-cjl+1

󰀁-bj2l-1

󰀁dj2l-1^-bj2l

-cj2l-1dj2l^

-2l󰀁2l

P

(j)

2l

=

󰀁󰀂

32王󰀁󰀁󰀁文󰀁󰀁󰀁洽

其次,我们给出Gl组上的差分方程,Gl组是由内点(xIj+i,tn+1)(i=1,󰀁,l)组成,其差分格式按如下的规定给出,在第一个点(xIj+1,tn+1)处使用格式(11),在点(xIj+l,tn+1)处使用格式(12),在其余各点(xIj+i,tn+1)(i=2,󰀁,l-1)处使用Carnk_Nicolson格式(6)󰀁󰀂于是可以得到基本段Gl上的差分格式的矩阵形式

󰀁󰀁Al󰀁uIj=Bl󰀁uIj+bIj,󰀁󰀁󰀁󰀁Al=I+rQl,󰀁󰀁󰀁󰀁Bl=I-rPl󰀁󰀂

此处,󰀁uIj=(uIj+1,uIj+2,󰀁,uIj+l),bIj=(2rb1uIj,0,󰀁,0,2rcluIj+1l+1)󰀁󰀂

d1-b2

󰀁󰀁Ql=

(j)

jj

n

n

n

n

T

(1)

j

n

j

n

T

j

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

n+1

(j)

n

(1)

(16)

-c1d^2󰀁

j

-c2󰀁-bl-1

j

j

󰀁^l-1d-bl

jj

,

-cl-1

dl󰀁

j

l󰀁lj

󰀁

d1󰀁-b2

󰀁󰀁Pl=

(j)

j

j

-c1^2d󰀁

j

j

-c2󰀁-bl-1

j

j

󰀁^l-1d-b

j

lj

󰀁󰀂

-cl-1

-j

^ld

j

l󰀁l

对于G2l组和Gl组的两种特殊情况,其差分格式要做如下改变:

注1󰀁当G2l组或Gl组靠近左边界时,即(xI,tn+1)为左边界点,则(15)或(16)中的第一个方程用

j

(j)(j)(1)

Crank_Nicolson格式(6)替换,Q(2jl),P(2jl),b(2)󰀂I,Ql,Pl,和bI,相应做微小变化󰀁jj

注2󰀁当G2l组或Gl组靠近右边界时,即(xI+2l+1,tn+1)或(xI+l+1,tn+1)为右边界点,则(15)中的第2l个方

j

j

(j)(j)(1)程或(16)中的第l个方程用Crank_Nicolson格式(6)替换,Q(2jl),P(2jl),b(2)I,Ql,Pl,和bI,也要做微小变

j

j

化󰀁󰀂

值得指出的是,本文用到的Gl组都是靠近左右边界的特殊情况󰀁󰀂

对内点数为m-1=(2J+1)l或m-1=2Jl(j󰀁1,l󰀁3)两种情况,我们给出交替分段Crank_Nicolson方法󰀁󰀂

1当m-1=(2J+1)l时,

设n为偶数,第n层上的值ui已经给出,为了求第(n+1)层的值ui,我们把(n+1)层上的节点划分为(J+1)个计算组,分组模式如图(1)所示,这些计算组上的差分方程具有并行本性,可以在多处理器的并行计算机上直接进行并行计算󰀁󰀂从左到右,第1组到第J组,连续J个G2l组,每组上的差分格式由可以计算的联立方程组(15)表示;剩下的靠近右边界的Gl组,其格式由联立方程组(16)表示󰀁󰀂在tn+2层上划分(J+1)个计算组,从左到右,第1组为Gl组,其格式由联立方程组(16)表示;第2组到第(J+1)组是G2l组,每组上的

n

n+1

变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法33

差分格式仍然由可计算的联立方程组(15)表示󰀁󰀂两层格式交替使用,于是得到

1)交替分段Crank_Nicolson(ASC_N)方法󰀁󰀂其矩阵形式是

n+1n

(I+rG1)u=(I-rG2)u+b1,󰀁󰀁n+2n+1

(I+rG2)u=(I-rG1)u+b2,

式中u=(u1,u2,󰀁um-1),b1和b2是仅与边界条件有关的(m-1)维向量󰀁󰀂

Q󰀁2l

G1=

(1)

n

n

n

n

T

(17)

Q󰀁l

Q2l

(2)

(2)

Q2l

󰀁

Q

(J)

2l

(2)

,G2=Q󰀁l

(1)

󰀁

Q

(J)

2l

,Q󰀁2l

(2)

(18)

d1^1-b12

-c11d1^2󰀁

-c12󰀁-b1l-1

󰀁d1^l-1-b1l

-c1l-1d^1l-2b

1

l+1-

Q󰀁(1)2l

=

-2c1ld󰀁

󰀁1

l+1

,

-c

1l+1

-b1l+2d1l+2^󰀁

-c1l+2

󰀁-b12l-1

󰀁d1^2l-1-b12l

-c12l-1󰀁1d2l

2l󰀁2l

dJ1+1-bJ2+1

+1

-cJ1+1dJ^2

-cJ2+1

󰀁

1

-bJl+-1

󰀁󰀁

1

dJl+^-1

1

-cJl+-1+1dJ^l1-2bJl++1-

󰀁(22)Ql=

-bJl+1-2cJl+1

󰀁1

󰀁Jl+d+11-bJl++2

1

-cJl++11dJl+^+2

1

-cJl++2

,

󰀁󰀁-bJ2+l-11

󰀁

1

dJ2+^l-1+1-bJ2l

+1

-cJ2l-1

dJ2+l1^

2l󰀁2l

d^1-b2

Q󰀁l=

(2)

1

1

-c1d^2󰀁

1

1

-c2󰀁-bl-1

1

1

󰀁^l-1d-bl

11

,

-cl-1

dl󰀁

1

l󰀁l1

34王󰀁󰀁󰀁文󰀁󰀁󰀁洽

󰀁

d1󰀁

Q󰀁l=

(1)

J+1J+1

-c1^2d󰀁

J+1

-b2

J+1

-c2

󰀁

J+1

󰀁^l-1d-bl

J+1J+1

,

-cl-1^ld

J+1

l󰀁l

J+1

-bl-1

J+1

图1

2)(D)ASC_N方法:

如果在四个时间层上组合使用格式(17),则可得到(D)ASC_N方法,其矩阵形式是

(I+rG1)u󰀁󰀁

(I+rG2)u(I+rG1)u(I+rG2)u

2.当m-1=2Jl时,

节点分组模式如图(2)所示,我们同样可以构造ASC_N方法和(D)ASC_N方法,其矩阵形式分别是

3)ASC_N方法󰀁󰀁

(I+rG^1)u(I+rG^2)u

Ql󰀁

󰀁󰀁G^1=

(2)

n+1n+2

n

n+1n+2n+3n+4

=(I-rG2)u+b1,=(I-rG1)u=(I-rG2)u=(I-rG1)u

n+1n+2n+3

n

+b2,+b3,+b4,

(19)

=(I-rG^2)u+b1,=(I-rG^1)u

n+1

+b2,

Q󰀁2l

(1)

(20)

Q2l

(2)

Q2l

󰀁

Q

(J)

2l

(2)

,G^2=Q󰀁l

(1)

󰀁

Q

(J-1)

2l

,Q󰀁2l

(2)

4)ASC_N方法

(I+rG^1)u󰀁󰀁

(I+rG^2)u(I+rG^1)u(I+rG^2)u

n+1n+2n+3n+4

=(I-rG^2)u+b1,=(I-rG^1)u=(I-rG^2)u=(I-rG^1)u

n+1n+2n+3

n

+b2,+b3,+b4,

(j)

(21)

公式(17),(19)~(21)中的bi都是仅与边界条件有关的(m-1)维向量,Q2l中的j是与

变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法35

图󰀁2

G2l组的序号有关的量󰀁󰀂

2󰀁稳定性分析

在稳定性分析中,我们用到下面的引理:

引理2.1(Kellogg)󰀁设r>0,矩阵G是非负实阵,则

-1

󰀁󰀁󰀂(I+rG)󰀁2󰀁1,󰀁󰀁󰀂(I-rG)(I+rG)

-1

[13]

󰀁2󰀁1󰀁󰀂

(1)

引理2.2󰀁由(18)式表示的矩阵G1和G2是非负实阵󰀁󰀂证明󰀁对于(18)中的矩阵块Q󰀁l

2aIj+i-1󰀁2,我们有

2d^1-2a2-1󰀁2

Q󰀁l+(Q󰀁l)=

(1)

(1)

T

1

和非零实向量y,注意到bi+1+ci=-2aIj+i+1󰀁2=-

jj

-2a1+1󰀁2

2d^2󰀁

1

-2a2+1󰀁2

󰀁-2al-1-1󰀁2

2d^l-1-2al-1󰀁2

2

1

󰀁

,

-2al-1󰀁22al-1󰀁2

2

T

T

((Q󰀁l+(Q󰀁l))y,y)=2a1󰀁2y1+2a1+(1󰀁2)(y1-y2)+󰀁+2al-(1󰀁2)(yl-1-yl)>0,即Q󰀁l+(Q󰀁l)为块正定矩阵,其余的块矩阵可以类似证明󰀁󰀂因此,G1+G1和G2+G2都是非负实阵,G1和G2也是非负实阵󰀁󰀂

矩阵G^1和G^2也有类似的结论󰀁󰀂

对于(17),(19)~(21)给出的方法,有下面的稳定性定理

2

定理󰀁设n为偶数,对于任意r=󰀁t󰀁h>0,由(17),(19)~(21)式给出的变系数交替分段Crank_Nicolson方法绝对稳定󰀁󰀂

证明󰀁关于稳定性的证明中,可以设边界条件(3)中的f1(t)=f2(t)=0,,于是变系数交替分段Crank_Nicolson方法(17)式可写成󰀁󰀁u=Gu,此处G为增长矩阵,

󰀁󰀁G=(I+rG2)

-1

n

n-2

(1)

(1)

T

(1)(1)T2

(I-rG1)(I+rG1)(I-rG2),

-1

令

-1-1-1

󰀁󰀁G󰀁=(I+rG2)G(I+rG2)=(I-rG1)(I+rG1)(I-rG2)(I+rG2),则由引理2.2和引理2.1

󰀁󰀁󰀂(I-rGi)(I+rGi)于是有

-1

󰀁2󰀁1󰀁󰀁(i=1,2)󰀁󰀂

36王󰀁󰀁󰀁文󰀁󰀁󰀁洽

󰀁󰀁󰀁(G)=󰀁(G󰀁)󰀁󰀂I-rG1)(I+rG1)

-1

󰀁2󰀁I-rG2)(I+rG2)

-1

󰀁2󰀁1,

由此可知,格式(17)绝对稳定󰀁󰀂此处,󰀁(G)和󰀁(G󰀁)分别表示矩阵G和G󰀁的谱半径󰀁󰀂

用同样的方法可以证明格式(19)~(21)绝对稳定󰀁󰀂

3󰀁数值例子

我们就a(x)=󰀁为常数的模型问题进行了数值试验,对不同的分组模式用本文给出的ASC_N方法进行了上机计算,并与用Crank_Nicolson全稳格式和Evans

[5]

给出的AGE方法得到

的数值解的绝对误差和相对误差进行了比较󰀁󰀂交替分段Crank_Nicolson方法把一个规模为(m-1)的问题分成若干个规模为2l或l的可以计算的小问题,宜于在并行计算机上直接使用󰀁󰀂结果表明,即使对大的网比r,其精度也几乎与全隐式Crank_Nicolson格式一致,甚至在有些点上比全隐式的Crank_Nicolson格式还好󰀁󰀂这主要是因为在同一层的少数相邻点上对称地使用了Saul󰀁yev格式,在奇偶层之间交替使用了Saul󰀁yev格式,使得Saul󰀁yev格式的误差部分抵消,最后的总体效果使精度几乎没有降低󰀁󰀂例:

󰀁u+k󰀁u=󰀁󰀁u󰀁󰀁(00),

2󰀁t󰀁x󰀁xu(x,0)=0󰀁󰀁(0u(0,t)=0,u(1,t)=1󰀁󰀁(0(22)的精确解是

[5]

kx󰀁󰀁

2

󰀁󰀁

(22)

󰀁󰀁u(x,t)=ek󰀁-1+

e-1

󰀁

󰀁

k=1

22

2󰀁-[(n󰀁)󰀁+k󰀁4󰀁]t(-1)n󰀁ek(x-1)󰀁

sin(n󰀁x)e󰀁󰀂

2k2

(n󰀁)+()

2󰀁

n

(23)

我们在对例子(22)应用格式(17)进行数值试验时,取󰀁=1,k=1,m=40,并就󰀁t和r=2

󰀁t󰀁h的不同值进行了计算,分别给出了r=1.6,3.2,6.4在t=0.2,0.4,0.6时数值解的绝对误差(A.E.)和相对误差(P.E.)(见表(1)~(3))󰀁󰀂此处,绝对误差(A.E.):

nn

󰀁󰀁ej=|uj-u(xj,tn)|,相对误差(P.E.):

ej

󰀁󰀁E=󰀁100󰀁󰀂

|u(xj,tn)|

nj

n

󰀁󰀁表1

xj

r=1.6方程(2.13)r=1.6C_N方法r=1.6Evans[5]

精确解

A.E.P.E.A.E.P.E.A.E.P.E.

0.10.000010.013220.000010.010210.000090.173800.05315

t=0.2时的数值计算结果(m=40,l=13)

0.20.000010.012150.000010.009450.000190.165420.11272

0.30.000020.010680.000020.008450.000270.1510.18026

0.40.000010.005220.000020.007240.000340.133120.25735

0.50.000010.004310.000020.005870.000380.110840.34559

0.60.000010.003190.000020.004490.000380.086120.449

0.70.000020.003950.000020.003080.000340.060550.56137

0.80.000020.002430.000010.001830.000250.035750.69137

0.90.000010.001060.000010.000790.000110.013360.83757

变系数对流_扩散方程的交替分段Crank_Nicolson方法

󰀁󰀁表2

xj

r=3.2方程(2.13)r=3.2C_N方法r=3.2Evans[5]

精确解

A.E.P.E.A.E.P.E.A.E.P.E.

0.10.000000.001020.000000.003220.000190.317650.06014

37

t=0.4时的数值计算结果(m=40,l=13)

0.20.000000.000690.000000.002880.000380.301280.12672

0.30.000000.000360.000010.002500.000550.275170.20052

0.40.000000.001760.000010.002090.000680.240900.28241

0.50.000000.001590.000010.0010.000750.200780.37332

0.60.000000.001410.000010.001200.000750.157160.47423

0.70.000000.000190.000000.000800.000660.112670.58621

0.80.000000.000200.000000.000450.000500.069850.71035

0.90.000000.000130.000000.000180.000260.030850.84786

󰀁󰀁表3

xj

r=6.4方程(2.13)r=6.4C_N方法r=6.4Evans[5]

精确解

A.E.P.E.A.E.P.E.A.E.P.E.

0.10.000000.000650.000000.001110.000130.219210.06107

t=0.6时的数值计算结果(m=40,l=13)

0.20.000000.000800.000000.000870.000270.208130.12857

0.30.000000.000940.000000.000650.000390.1900.20320

0.40.000010.001910.000000.000450.000480.167200.28573

0.50.000010.0010.000000.000280.000530.140160.37698

0.60.000000.001330.000000.000150.000530.110190.47790

0.70.000000.000510.000000.000050.000470.079970.548

0.80.000000.000340.000000.000010.000360.050490.71286

0.90.000000.000160.000000.000020.000200.023220.84927

[参󰀁考󰀁文󰀁献]

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TheAlternatingSegmentCrank

_NicolsonMethod

forSolvingConvection_DiffusionEquation

WithVariableCoeffcient

WANGWen_qia

(SchoolofMathematicsandSystemScience,ShandongUniversity,Jinan250100,China)Abstract:AnewdiscreteapproximationtotheconvectiontermofthecovectiondiffusionequationwasconstructedinSaul.yevtypedifferencescheme,thenthealternatingsegmentCrank_Nicolson(ASC_N)methodforsolvingtheconvection_diffusionequationwithvariablecoefficientwasdeveloped.TheASC_Nmethodisunconditionallystable.Numericalexperimentshowsthatthismethodhastheobviouspropertyofparallelismandaccuracy.Themethodcanbeuseddirectlyonparallelcomputers.Keywords:convection_diffusionequation;alternatingsegmentmethod;Crank_Nicolsonscheme;

asymmetriesdifferencescheme;unconditionallystable;parallelcomputing