2001年全国高中数赛试题讲解
与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）． Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
讲解：M表示方程ｘ－3ｘ－ａ＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ＞0，所以Ｍ含有2
２
２
２
２
２
２
个元素．故集合Ｍ有2＝4个子集，选Ｃ．
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点． 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点． 以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方
体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．
3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．
ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）． Ａ．ｋ＝8
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或ｋ＝8
讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 5．若（1＋ｘ＋ｘ）Ａ．3
333
2
1000
知，应选结论Ｄ．
的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ Ｃ．3
999
2000
，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…
＋ａ1998的值为（ ）．
Ｂ．3
666
Ｄ．3
2001
讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法． 取ω＝－（1／2）＋（令ｘ＝1，得 3
1000
／2）ｉ，则ω＝1，ω＋ω＋1＝0．
３２
＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000； ①
令ｘ＝ω，得
0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω＋…＋ａ2000ω； ② 令ｘ＝ω，得
0＝ａ０＋ａ１ω＋ａ２ω＋ａ３ω＋…＋ａ2000ω①＋②＋③得 3
1000
２
４
６
4000
２
２
2000
． ③
＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）．
999
∴ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3，选Ｃ．
6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得
则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
6ｘ＋3ｙ＞24， ①
4ｘ＋5ｙ＜22． ②
问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：
解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9． ∵ａ＞24，ｂ＜22，
∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0． ∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ．
／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．
图1
解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ
－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小
值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．
说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数赛试题：
已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15 Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3
（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应
２
足（ ）．
法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］．
准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长． 解法1：由
ρ（0）＝ａ＋ｃ＝1， 得
ａ＝2／3，
ρ（π）＝ａ－ｃ＝1／3， ｃ＝1／3．
从而ｂ＝／3，故2ｂ＝2／3．
2
2
2
2
解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ／ｃ＝1及ｂ＝ａ－ｃ，得ｂ＝／3．从而2ｂ＝2／
3．
说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．
8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝讲解：参给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维令ｚ１＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ２＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）
______________． 特点，而且也不繁．
－ｉ及复数相等的充要条件，得
6（ｃｏｓα－ｃｏｓβ）＝3／2， 6（ｓｉｎα－ｓｉｎβ）＝－1， 即
－12ｓｉｎ（（α＋β）／2）ｓｉｎ（（α－β）／2）＝3／2， 12ｃｏｓ（（α＋β）／2）ｓｉｎ（（α－β）／2）＝－1．
二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2． 由万能公式，得
ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13． 故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ． 说明：本题也可以利用复数的几何意．
9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________． 讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．
图2
为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的
面ＢＤＤ１Ｂ１．设
垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１
Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作ＯＨ⊥ＢＤ１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离．在Ｒｔ△ＢＢ１Ｄ１中，ＯＨ等于斜边ＢＤ１上高的一半，即ＯＨ＝
10．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ1／2ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏｇ1／2ｘ＜0，从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜211．函数ｙ＝ｘ＋讲解：先平方去掉根号．
2／7
／6．
或ｌｏｇ1／2ｘ＞0．
，或0＜ｘ＜1．
的值域为______________．
由题设得（ｙ－ｘ）＝ｘ－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ－2）／（2ｙ－3）． 由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ－2）／（2ｙ－3）． 解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2． 由于
能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．
２
２２２
说明：（1）参在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要． （2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．
图3
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种植（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ４种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种，则Ｂ有3
３
2
种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案． Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．
物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．
种方法，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一种，相同（只是次序不同）．此时共有Ｐ４×3（3×2×2）＝432种方法．
（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ４种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种种方法．此时共有Ｐ４×2×2×2根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案． 说明：本题是一个环形排列问题．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设｛ａｎ｝为等差数列，｛ｂｎ｝为等比数列，且ｂ１＝ａ１，ｂ２＝ａ２，ｂ３＝ａ３（ａ１＜ａ２）．又（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝
＋1，试求｛ａｎ｝的首项与公差．
2
２
２
２
３
３
＝192种方法．
讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题．数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的前三项满足ｂｉ＝ａｉ（ｉ
（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝
＝1，2，3），由此可确定数列｛ａｎ｝的首项ａ１与公差ｄ的关系；由＋1便可求出ａ１和ｄ的值．
设｛ａｎ｝的公差为ｄ，由ａ１＜ａ２，得ｄ＞0． 由ｂ２＝ｂ１ｂ３，得ａ２＝ａ１ａ３．
∴ａ２＝ａ１ａ３（舍去，否则ａ１＝ａ２＝ａ３）， 或ａ２＝－ａ１ａ３．
∴（ａ１＋ｄ）＝－ａ１（ａ１＋2ｄ）， 即2ａ１＋4ａ１ｄ＋ｄ＝0． 解得ｄ＝（－2±
）ａ１．
2
２
2
222
4
2
2
若ｄ＝（－2－若ｄ＝（－2＋
）ａ１，则ｑ＝ａ２／ａ１＝（）ａ１，则ｑ＝ａ２／ａ１＝（
２
２
２２
＋1）＞1，不符合要求． －1）．
２
２
由
由（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝
＋1， －1））＝
２
＋1，得
ｂ１／（1－ｑ）＝即ａ１／（1－（
２２
＋1．解得ａ１＝2．
２
由ａ２＝－ａ１ａ３及ａ１＜ａ２知ａ１＜0． ∴ａ１＝－
，ｄ＝（－2＋
２
２
）ａ１＝2
２
－2．
２
14．设曲线Ｃ１：（ｘ／ａ）＋ｙ＝1（ａ为正常数）与Ｃ2：ｙ＝2（ｘ＋ｍ）在ｘ轴上方仅有一（1）求实数ｍ的取值范围（用ａ表示）；
（2）Ｏ为原点，若Ｃ１与ｘ轴的负半轴交于点Ａ，当0＜ａ＜1／2时，试求△ＯＡＰ的面积的最大值讲解：（1）可将曲线Ｃ１与Ｃ２的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题．
个公共点Ｐ．
（用ａ表示）．
（ｘ／ａ）＋ｙ＝1， 消去ｙ，得 ｙ＝2（ｘ＋ｍ）
２２
２
２
２
ｘ＋2ａｘ＋2ａｍ－ａ＝0． ①
问题转化为方程①在区间（－ａ，ａ）上有惟一解或两个相等的实根．设ｆ（ｘ）＝ｘ＋2ａｘ＋2
２
２
２
２２２２
ａｍ－ａ．
当Δ＝0，即ｍ＝（ａ＋1）／2时，ｘＰ＝－ａ．由－ａ＜－ａ＜ａ，得0＜ａ＜1．这时方程①有当ｆ（－ａ）·ｆ（ａ）＜0，即－ａ＜ｍ＜ａ时，方程①在区间（－ａ，ａ）内有一个根（另一根在当ｆ（－ａ）＝0，即ｍ＝ａ时，ｘＰ＝ａ－2ａ．由－ａ＜ａ－2ａ＜ａ，得0＜ａ＜1．这时方程①
２
２
２
２
２
２
等根． 区间外）．
在区间（－ａ，ａ）内有惟一解；当ｆ（ａ）＝0，即ｍ＝－ａ时，ｘＰ＝－ａ－2ａ．由－ａ＜－ａ－2ａ＜ａ，得ａ∈
２
．故ｍ≠－ａ．
２
综上所述，当0＜ａ＜1时，ｍ＝（ａ＋1）／2，或－ａ＜ｍ≤ａ；当ａ≥1时，－ａ＜ｍ＜ａ． （2）∵Ａ（－ａ，0），∴Ｓ△ＯＡＰ＝（1／2）ａｙＰ．
当0＜ａ＜1／2时，由（1）知－ａ＜ｍ≤ａ．由方程①得ｘＰ＝－ａ＋ａ
２
．
显然，ｘＰ＞0，从而ｙＰ＝．
２
要使ｙＰ最大，则ｘＰ应最小．易知，当ｍ＝ａ时，（ｘＰ）从而（ｙＰ）ｍｉｎ＝ａ－2ａ．ｍａｘ＝2
．
２
．故
（Ｓ△ＯＡＰ）ｍａｘ＝ａ
２
当ｍ＝（ａ＋1）／2时，ｘＰ＝－ａ．从而ｙＰ＝下面比较ａ∵（
２
，故Ｓ△ＯＡＰ＝（1／2）ａ．
与（1／2）ａ
）－（（1／2）
的大小． ）
２
＝…＝－（1／4）（3ａ－1）（ａ－1）． ∴当0＜ａ≤1／3时，ａ 当1／3＜ａ＜1／2时，ａ
≤（1／2）ａ
＞（1／2）ａ
；
．
故（Ｓ△ＯＡＰ）ｍａｘ＝
（1／2）ａ
（0＜ａ≤1／3），
ａ
（1／3＜ａ＜1／2）．
说明：本题考查学生思维的严谨性．
图4
15．用电阻值分别为ａ１、ａ２、ａ３、ａ４、ａ５、ａ６（ａ１＞ａ２＞ａ３＞ａ４＞ａ５＞ａ６）的电阻组装
成一个如图4的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论． ａ１、ａ２的任意排列时，ＲＦＧ最小．
用逐步调整法证明如下：
讲解：设6个电阻的组件（如图5）的总电阻为ＲＦＧ．当Ｒｉ＝ａｉ（ｉ＝3，4，5，6），Ｒ１、Ｒ２是
图5
（1）当Ｒ１、Ｒ２并联时，所得组件阻值Ｒ满足1／Ｒ＝（1／Ｒ１）＋（1／Ｒ２）．若交换Ｒ１、Ｒ２，（2）设三个电阻的组件（如图6）的总电阻为ＲＡＢ，则
ＲＡＢ＝（Ｒ１Ｒ２／（Ｒ１＋Ｒ２））＋Ｒ３＝（Ｒ１Ｒ２＋Ｒ１Ｒ３＋Ｒ２Ｒ３）／（Ｒ１＋Ｒ２）．
显然，Ｒ１＋Ｒ２越大，则ＲＡＢ越小，所以为使ＲＡＢ最小，必须取Ｒ３为所取三个电阻中阻值最小的一个．
Ｒ不变，且当Ｒ１或Ｒ２变小时，Ｒ也减小，因此不妨取Ｒ１＞Ｒ２．
图6 图7
（3）设四个电阻的组件（如图7）的总电阻为ＲＣＤ，则 1／ＲＣＤ＝（1／ＲＡＢ）＋（1／Ｒ４）
＝（Ｒ１Ｒ２＋Ｒ１Ｒ３＋Ｒ１Ｒ４＋Ｒ２Ｒ３＋Ｒ２Ｒ４）／（Ｒ１Ｒ２Ｒ４＋Ｒ１Ｒ３Ｒ４＋Ｒ２Ｒ３Ｒ４）．
记Ｓ１＝，Ｓ2＝，则Ｓ１、Ｓ２为定值．于是ＲＣＤ＝（Ｓ２－Ｒ１Ｒ２Ｒ３）／
（Ｓ１－Ｒ３Ｒ４）．
显然，当Ｒ３Ｒ４最小，且Ｒ１Ｒ２Ｒ３最大时，ＲＣＤ最小．故应取Ｒ４＜Ｒ３，Ｒ３＜Ｒ２，Ｒ３＜Ｒ１，才能（4）回到图5，把由Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３组成的组件用等效电阻ＲＡＢ代替．要使ＲＦＧ最小，由（3）知必须使总电阻的阻值最小．
使Ｒ６＜Ｒ５；且由（1）知应使ＲＣＥ最小．由（2）知，要使ＲＣＥ最小，必须使Ｒ５＜Ｒ４，且应使ＲＣＤ最小．而
由（3）知，要使ＲＣＤ最小，应使Ｒ４＜Ｒ３＜Ｒ２且Ｒ４＜Ｒ３＜Ｒ１．
综上所述，按照图5选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小．
说明：根据电学知识，两个电阻并联，其组件的阻值小于这两个电阻中阻值最小的一个，所以，本题参考文献
1 刘康宁．平面区域问题．中学数学教学参考，2001，11
也可以倒过来思考．
