试验研究 文章编号：１００２—７６０２（２０１３）０９—０００１—０４ 铁道车辆 第５１卷第９期２０１３年９月 螺旋圆弹簧加橡胶垫的横向刚度研究 阳光武，肖守讷 （西南交通大学牵引动力国家重点实验室，四川成都６１００３１） 摘 要：提出了螺旋圆弹簧两端加橡胶垫情况下的横向刚度计算方法，当考虑一端橡胶垫刚度无限大时可获得螺旋 圆弹簧一端加橡胶垫的横向刚度。计算结果表明，所计算的横向刚度值与试验值比较接近。对比研究发现，要获得与试 验值接近的计算值，当单独计算圆弹簧的横向刚度时需要考虑刚度矩阵的修正系数，而计算螺旋圆弹簧加橡胶垫的横向 刚度时则不宜考虑修正系数。 关键词：螺旋圆弹簧；橡胶垫；横向刚度 中图分类号：Ｕ２６０．３３１ ．４；Ｕ２７０．３３１ ．４ 文献标志码：Ａ 螺旋圆弹簧是机车车辆的重要定位和承载元件， 在弹簧的两端或一端加橡胶垫，不仅能有效吸收来自 轨道的高频振动，而且还能有效降低弹簧的应力水平， 因此被广泛应用于一系、二系悬挂的承载和定位，其参 数特别是弹簧橡胶垫组合系统的横向刚度直接影响机 车车辆的动力学性能指标。文献［１］利用弹簧的横向 刚度、橡胶垫的横向和抗弯刚度导出组合系统的横向 刚度，但忽略了弹簧和橡胶垫弯曲对横向刚度的影响。 文献［２］利用等截面弹性直杆理论导出组合系统的刚 度矩阵，考虑了弹簧和橡胶垫弯曲对横向刚度的影响， 但没有给出任意内外径空心圆截面橡胶垫剪切刚度的 Ｈ．弹性直杆的计算高度（对于圆弹簧，其值等于弹簧自由 高减去簧条直径与垂向变形，对于橡胶垫，其值等于橡胶垫 自由高减去垂向变形）；Ｙｏ直杆下端的横向位移；≠ｏ．直杆下 计算方法，也没有考虑上下端橡胶垫不同的情况。文 献［３—５］对弹簧计算高度进行了修正，但组合系统横向 刚度与其引入的弹簧和橡胶垫之间的刚性杆长度有很 端的转角； ｗ．直杆上端的横向位移；≠ｗ．直杆上端的转角； Ｑ．直杆下端的剪力；Ｐ．直杆下端的轴向力；Ｍ．直杆下端的 大关系。本文旨在对任意内外径的空心圆截面橡胶垫 的剪切刚度进行推导，利用等截面弹性直杆理论，获得 计算圆弹簧两端加不同橡胶垫情况下的横向刚度的统 一弯矩；Ｑ ．直杆上端的剪力；Ｐ ．直杆上端的轴向力；Ｍ ．直 杆上端的弯矩。 图１弹性直杆的受力图 方法。 式中：是——方程系数，ｋ一√旨（１＋ ），其中，Ｂ为直 杆等效弯曲刚度，ｓ为直杆等效剪切刚度。 式（１）的通解为： Ｙ（Ｌｚ）＝＝＝ｃ１＋ｃ２ ５／７＋ｃ３ ＣＯＳ（ａ：ｃ／Ｈ）＋Ｃ４ ｓｉｎ（ａｃｃ／Ｈ）（２） １等截面弹性直杆理论 将螺旋圆弹簧和橡胶垫等效为等截面弹性直杆， 受力如图１所示。 根据文献［６］，图１中直杆的弹性曲线微分方程 为： 其中，ａ—ｋＨ，ｆ１，Ｃ２，Ｃ３，Ｃ 均为常数。 图１中直杆转角方程、弯矩方程和剪力方程分别 豢一。 收稿日期：２０１２—１２—２９；修订日期：２０１３—０５—２９ ㈩ 为‘ Ｑ（ｚ）一一 （ 一詈） Ｍ（ ）一一 ｄＺｙ （３） （４） 基金项目：国家自然科学基金项目（５１２７５４３２）；四川省科技计划项目 （２０１１ＪＹ００２９）；高校基本科研业务费专项基金资助项目 （ＳＷＪＴＵ０９ＣＸ０４６） ｄ３ ｙｙ＿＿３＿ｐ ｙｄｄｚ （５） 作者简介：阳光武（１９７７一），男，研究员。 其中： 一１／（１＋Ｐ／Ｓ） ・ 。 根据边界条件，在图１中，当３７＝＝＝０时，Ｙ（０）＝Ｙ。， （Ｏ）一丸；当ｚ—Ｈ时，Ｙ（Ｈ）一ＹＨ，西（Ｈ）＝＝： Ｈ。联合 式（２）～（５），得直杆两端的力和弯矩矩阵为： ［Ｑ Ｍ Ｑ Ｍ ］ 一Ａ・［ 。 ＹＨ ］ （６） 式中：Ａ——直杆刚度矩阵。 Ａ的表达式为： 口Ｉ３ 盘Ｉ４ ０ 口２３ ａ２４ Ａ＝＝ （７） ａ３３ ａ３４ ＹＨ ａ４３ ａ４４ Ｈ 其中 。一面 ｎ１ ２一口２ｌ一口１４一ｎ４１一（Ｐ＋ａｌ１ Ｈ）／２ ｎ１３ ａ ３１一一ｎ１１ ａ２２一ａ４４一［ｎｌ ２ Ｈ＋口１１Ｂ／（ｎｌ２ ）３／２ ｎ ２４ 。４２ １２ Ｈ一。２２ ａ２３＝＝：ａ３２一ａ３４一口４Ｒ＝＝＝一口１２ ２弹簧和橡胶垫的等效弯曲刚度和剪切刚度 弹簧的等效弯曲刚度Ｂ 和剪切刚度Ｓ 分别 为 ： （８） ｓ 一 （９） 式中：Ｅ ——弹簧的弹性模量； ——簧条直径； ——材料的泊松比； ——弹簧的有效圈数； Ｄ ——弹簧中径。 根据文献［２］，橡胶垫的弯曲刚度Ｂ 为： Ｂ 一是 Ｅ Ｉ （１０） 式中：Ｅ ——橡胶垫的弹性模量； 卜～橡胶垫截面的惯性矩； 忌 ——弯曲形态系数Ⅲ。 ｋ 的表达式为： ｋ 一１一－２ｍｓ￣３ 式中： ——系数，取值为２．７８； ｓ——橡胶垫承载面积与自由扩张面积之比， Ｓ一（Ｄ— ）／（４ｈ），其中Ｄ为橡胶垫外径， ｄ 为橡胶垫内径， 为橡胶垫工作高度。 橡胶垫的剪切刚度Ｓ 为 ］： Ｓ 一是 ＧＡ （１１） 式中：Ｇ——橡胶垫的剪切弹性模量； Ａ——橡胶垫横截面面积； ・ ９ ‘ 铁道车辆 第５１卷第９期２０１３年９月 ｋ ——剪切形态系数，其值与截面的形状有关， 根据文献［７１，ｋ 一１／ｋ ，其中ｋ 为剪切变 形在截面上的不均匀分布系数，根据文献 ［８］，矩形截面取ｋ 一６／５，实心圆截面取 ｋ 一１０／９，空心薄壁圆截面取ｋ 一２。 机车车辆上实际使用的橡胶垫大多采用空心圆截 面，其形状介于实心圆和空心薄壁圆之间，ｋ 值没有 精确解，因此需要对任意内外径圆截面的ｋ 值进行近 似计算。根据文献［－７１，剪切系数ａ 为： ４（１一“。）（１一“ ） 一一 Ｆ 一 ３ １（＋ ０） … 式中 ——橡胶垫截面形心处的剪应力； ｒ。——橡胶垫截面平均剪应力； “——橡胶垫内外径之比。 当ｕ＝Ｏ时，截面为实心圆截面，ａ 一４／３， 一１／ｋ 一 ０．９，ａ ・矗 ＝＝＝１．２；当 趋近于１时，截面为空心薄壁圆截 面，口 －－２，点 一１／ｋ 一０．５，ｄ ・ 一１。设 在０～１区间 时，ａ ・ 在１．２～１区间线性插值，则： ａ。・志 一一０．２“＋１．２ （１３） 将式（１２）代入式（１３）得： ｋ 一（０．９—０．１５“＋０．９ｕ 一Ｏ．１５ｕ。）／（１＋Ｕ＋ ）（１４） 橡胶垫剪切形态系数与内外径比值之间的关系见 图２。 凝 幡 ｛氆 总 权 图２橡胶垫剪切形态系数与内外径比值之间的关系 ３ 圆弹簧两端加橡胶垫情况下的横向刚度 圆弹簧两端加橡胶垫的变形图如图３所示。图３ 中，Ｙ 为弹簧橡胶垫组合系统总的横向位移，其他符 号与图１相同。 根据式（６），得弹簧下端和上端的剪力和弯矩矩阵 为： ［Ｑ Ｍ Ｑ ］ 一Ａ ・［ 。丸 ｊ５ ］ （１５） 式中：Ｑ ——弹簧下端的剪力； Ｍｓ——弹簧下端的弯矩； Ｑ ——弹簧上端的剪力； ——弹簧上端的弯矩； 螺旋圆弹簧加橡胶垫的横向刚度研究 阳光武，肖守讷 图３ 圆弹簧两端加橡胶垫的变形图 Ａ ——弹簧刚度矩阵。 根据式（７）和弹簧参数，得Ａ 的表达式为： ［－ｂ１ ｂ１２ ｂ１３ ｂｌ４ ｂ２２ ｂ２３ ｂ２４ ｂ３２ ｂ３３ ｂ３４ Ｉｂ４ ｂ４２ ｂ４３ ｂ４４ 图３中，１端橡胶垫下端和上端的位移分别为０ 和Ｙ。，转角分别为０和丸，下端和上端的剪力和弯矩 矩阵的表达式为： ［Ｑ Ｍ Ｑ Ｍ ］ 一Ａ ・［０ ０ Ｙ。 。］ （１６） 式中：Ｑ ——１端橡胶垫下端的剪力； Ｍｒ ——１端橡胶垫下端的弯矩； Ｑ ——１端橡胶垫上端的剪力； Ｍ／ ——１端橡胶垫上端的弯矩； Ａ ——１端橡胶垫刚度矩阵。 根据式（７）和１端橡胶垫参数，得Ａ 的表达式为： Ａ １一 图３中，２端橡胶垫下端和上端的位移分别为 一（ 一Ｙ ）和０，转角分别为 和０，下端和上端的剪 力和弯矩矩阵表达式为： ［Ｑ Ｍｒ Ｑ ］ 一Ａ，２・［一（ 一ＹＨ） ０ ｏｌ （１７） 式中：Ｑ， ——２端橡胶垫下端的剪力； Ｍｒ ——２端橡胶垫下端的弯矩； Ｑ ——２端橡胶垫上端的剪力； ２端橡胶垫上端的弯矩； Ａ ——２端橡胶垫刚度矩阵。 根据式（７）和２端橡胶垫参数，得Ａ 的表达式为： Ａ ２一 根据连接处弹簧和橡胶垫端面剪力和弯矩大小相 等、符号相反的原则，得Ｑ一一Ｑ， 一一 Ｑ， 一 Ｑｒ２， 一一Ｍｒ２，即： ｂ１１Ｙｏ＋ｂ１２ ０＋ｂ１３ＹＨ＋ｂ１４ Ｈ＋Ｃ３３Ｙｏ＋Ｃ３４ 。一０ （１８） ｂ２１Ｙ０＋ｂ２２ ｏ＋ｂ２３ＹＨ＋ｂ２４ Ｈ＋Ｃ４３Ｙｏ＋Ｃ４４ ０—０ （１９） ｂ３１Ｙ０＋ｂ３２ ０＋ｂ３３ＹＨ＋ｂ３４ Ｈ—ｅ１１（ ｔ－－ｙＨ）＋８ｌ２ Ｈ一０ （２Ｏ） ｂ４ｌＹｏ＋６４２ ＋６４３ＹＨ＋６４４ Ｈ＋Ｐ２１ＹＨ＋ｇ２２声Ｈ一０ （２１） 根据式（１７），２端橡胶垫上端的剪力为： Ｑ ２一一８３１（ ｔ—ＹＨ）＋ｅ３２ Ｈ （２２） 若Ｙ 已知，联立式（１８）～（２２），解得Ｑ 则弹簧 两端加橡胶垫的横向刚度Ｋ 为： ＫＬ—Ｑ ２／ｙ （２３） 当一端橡胶垫的刚度值无限大时，即获得圆弹簧 一端加橡胶垫的横向刚度。 ４计算结果 为验证本文所采用方法的正确性，选取了６组数 据，分别按照文献［１—５］提供的横向刚度计算公式进行 了计算。橡胶垫计算参数见表１，螺旋圆弹簧计算参 数见表２，横向刚度计算结果及其与试验结果的对比 见表３。 表１橡胶垫计算参数 螺旋圆弹簧参数 橡胶垫 代号 位置 … 簧条直径／ 有效 中径／ 自由高／ ｍｍ 圈数 ｍｍ ｍｍ ８．５ ２０５ ２端 ８．５ ２１ｏ ５ ２４８ ６．２ ２３０ １端 ９ ２０５ ７．５ ２４４ ・３ ・ 铁道车辆 第５１卷第９期２０１３年９月 注：（１）文献［１］的弹簧横向刚度计算值使用文献［６］的计算方法； （２）按照文献［３—５］的方法计算时，弹簧和橡胶垫之间的刚性杆长度取值为０。 （１）来稿请写明作者姓名、性别、民族、籍贯、出生年、职务、职 ［学位论文］序号 作者姓名．论文题名．出版地：出版单位，出 ｇ 称、单位（具体到部门）、电话和详细通讯地址，以便联系。 （２）文稿应力求主题清楚，论点明确，逻辑严谨，数字准确，文 版年． ２来稿处理 ￥ 字简练通顺。文稿不得涉及保密内容。超过３ ０００字的文稿请附 （１）来稿收到后，本部即发到稿通知单或网上回复。３个月后 摘要及关键词。如系基金资助项目或部级科技发展计划项目请注 明名称和项目编号。 （３）文稿应提供打印稿和电子文档（要求为Ｗｏｒｄ文件，可发 电子邮件）。计量请用法定计量单位。外文（含上下标）需注明文 种、大小写和正斜体。 未见处理意见者，可自行处理（双方另有约者除外）。编辑部对所有 来稿及退修稿有权做文－ｙ－性修改、删节或摘要发表。来稿一般不 退。来稿请勿一稿两投或多投。 （２）来稿一经刊登，即按规定酌致稿酬，并赠当期《铁道车辆》。 本－Ｉ１印刷出版的同时已入编《中国学术期刊（光盘版）》、《ｑ－国期刊 （４）文稿应附参考文献。 ［期刊］序号 作者姓名（不超过３人者全部写出，超过者只写 前３名，后加“等”）．文题．刊名，年，卷（期）：起止页． ［书籍］序号作者姓名（不超过３人者全部写出，超过者只写 网》及《７ｙ方数据——数字化期刊群》，作者稿酬已一次付清，如不同 意文章上网，请来函说明。本刊将做适当处理。 ３来稿请寄 ２６６０３１青岛瑞昌路２３１号《铁道车辆》编辑部 前３名，后加“等”）．书名．版次．出版地：出版单位，出版年．起止页． 电子信箱：ｔｄｃｌｂｊｂ＠ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ ・ ４ ・
