一次函数知识点讲解
一、知识网络
二、中考要求
1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历一次函
数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力．
2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程， 发展形象思维能力．
3．初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系．
4．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
三、中考热点
一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容．本知识点主要考查一次
函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力．因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题
四、中考命题趋势及复习对策
一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～
10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．
针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念．掌握其性质和图象，而且还要注重一次函数实际应用的练习．
五、复习要点
一次函数的图象和性质
正比例函数的图象和性质
六、考点讲析
1．一次函数的意义及其图象和性质
⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一
次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．
⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx的图
象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．
⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．
⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系． ① ② ③ ④
直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；
2．一次函数表达式的求法
⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。
⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。
七、典型例题讲析 例1 选择题
（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数
的图象的是（ ）
(2）已知： 过（ )
，那么 的图像一定不经
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（3）已知直线
与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：①
；②
正确结论的个数是（ )
；③ ；④ ，其中
A．1 B．2 C．3 D．4
(4）正比例函数的图象如图所示，则这个函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
解：（1）由A可得 故 ，∴A可能；
由B可得 故 ，∴B可能;
由C可得 此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.
（2）由已知得 三式相加得：
，
∴ ，故直线 即为 .
此直线不经过第四象限，故应选D. （3）直线
与x轴的交点坐标为：
即
∴②、③正确，故应选B. （4）∵正比例函数
∴
说明：一次函数 还可以通过
异号，
经过点（1，－1），
，故应选B. 中的
的符号决定着直线的大致位置，题（3）
的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中
的热点题型，同学们一定要熟练掌握.
例2 求下列一次函数的解析式：
（1）图像过点（1，－1）且与直线 （2）图像和直线 解：（1）把
∵所求直线与 ∴设所求的直线为 ∴所求一次函数的解析式为 （2）∵所求的一次函数的图像与直线
∴可设所求的直线为
.
平行；
在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点. 变形为
.
平行，且过点（1，－1）.
，将
.
在y轴上的交点相同.
代入，解得
.
把 代入，求得 .
∴所求一次函数的解析式为
说明：如果两直线
.
平行，则
；如果两直线
在y轴上的交点相同，则
解析式时，有时很方便. 例3：已知一次函数
.掌握以上两点，在求一次函数
.求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；
（2）m，n满足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.
解：（1）∵y随x的增大而减小.
∴ ∴当
，即
.
时，y随x的增大而减小.
（2）令
∴当
即
时，函数图像与y轴交点在x轴下方.
（3）令
∴当
即
时，函数图像经过原点.
（4）令
∴当
象限.
即
时，函数图像不经过第二
说明：对于一次函数的问题，重要的是掌握它的概念和性质，并能灵活地运用这些性质.例如，在表达式 例4 已知一次函数
中，特别要注意 的图象经过点
这一条件. 及点
（1，6），求此函数图象
与坐标轴围成的三角形的面积．
解：由一次函数 =4.
∴一次函数的解析式为 ∵ =0时，
=4，
.
=0时， =-2， 轴的交点
、与 轴的交点
的 坐标分别为（0，4）、
的图象经过点
及点
（1，6），得 =2，
∴ 一次函数的图象与
（-2，0），
∴
∴ .
例5 如图，A、B分别是 轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交 (1)
轴于点C(0,2)，直线PB交
的面积是多少？
轴于点D，
.
（2）求点A的坐标及p的值.
（3）若
解 ：过点 .
（1）由点
P在第一象限内，得
，
=2，
作
，求直线BD的函数解析式.
轴于点 ， 轴于点
、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点
=2.
∴ （2）注意到
∴ ， =4.
∴ 点A的坐标为（-4，0）.
又
=3.
（3）由题设，可知
.
∴ ∴
.
.
∴点D的坐标为（0，6）. ∵直线BD（设其解析式为
）过点P(2,3)、点D（0，6），
∴ ， .
∴直线BD的解析式为 .
例6 我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每
吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）． （1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．
解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为
吨.依题意，得
即所求函数关系式为：
.
（2）芒果产量最小值为：
（吨）
此时， 最大值为： 此时， 由函数关系式
（吨）； （吨）. （吨）.
知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为： （万元）
最小值为：
（万元）.
∴
值的范围为68万元
84万元.
