第十六章 不定积分

原函数不定积分知识结构图： 求不定积分定义几何意义性质基本公式直接积分法第一换元积分法第二换元积分法分部积分法

教学目的要求：

1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。

2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。

教学重点：

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法

教学难点：

1．不定积分的几何意义

2．凑微分法、分部积分法求不定积分

第一节 不定积分的概念与基本公式

【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定

积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。

【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分

的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。

【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。

1

【教学时数】2学时 【教学进程】

一、原函数与不定积分的概念

(一)原函数的概念

前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，

如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为k2x,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC，要求该产品总成本的变化规律CC(q)． １．原函数定义

定义4．1 设f(x)是定义在区间I内的已知函数．如果存在可导函数F(x)，使对于任意的xI，都有

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx

则称函数F(x)是函数

f(x)的一个原函数。

1x例1 指出下列函数的原函数:

①f(x)cosx ②f(x)3x2 ③f(x)ax ④f(x)

教师将举例分析：如(cosx)sinx，则cosx是sinx在R上的一个原函数。

(x)2x，则 x是2x的一个原函数。

22教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，

我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论．

结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则其原函数一定存在 （2）x5是不是x2在R上的一个原函数呢？学生回答：是

（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数

定理4．1 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)C也是f(x)的原函数，且f(x)的所有原函数都具有F(x)C的形式（C为任意常数）． (二)不定积分的概念

教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数f(x)有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为F(x)C的形式，我们把它叫做f(x)的不定积分。

１．不定积分定义

定义4．2 如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则称f(x)的全体原函数F(x)C2 2

（C为任意常数）为f(x)的不定积分，记作

f(x)dxF(x)C

其中称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，

C称为积分常数．

例2 求下列函数的不定积分:

①f(x)2x ②f(x)ex ③f(x)2．不定积分几何意义

提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？

观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：

结论：F(x)C表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可

以由曲线yF(x)沿y轴上、下平移得到．这积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行

的（如图4-1所示）。

例3 已知某曲线上一点（－1，2），且过曲线上任意一点的 切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程

课堂练习(一)：

求下列函数的一个原函数与不定积分:

①f(x)4x3 ②f(x)csc2x ③f(x)2x

3．不定积分的性质

提问：若对于任意的xI,f(x)g(x)，那么f(x)dx?，[f(x)dx]? 性质1（积分运算与微分运算互为逆运算）

[f(x)dx]f(x) 或 d[f(x)dx]f(x)dx

f(x)dxf(x)C 或 df(x)f(x)C

1x

性质2 （不定积分的运算法则）

两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即

f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

f

1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx

3

性质3 （不定积分的运算法则）

被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

kf(x)dxkf(x)dx (k0)

4．不定积分的基本公式 设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的，

师生配合，根据导数基本公式，以及例1、2和课堂练习（一）得如下不定积分公式：

1.0dxC 2. xdx 3. 111lnaxx1C (1)

1xdxlnxC 4. adxxaC exdxexC

5. sinxdxcosxC 6. cosxdxsinxC 7. sec2xdxtanxC 8. csc2xdxcotxC 9. dx1x2arcsinxC 10. dx1x2arctanxC

11. secxtanxdxsecxC 12. cscxcotxdxcscxC

利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法．

例4 求(3x5e解

2x11x2)dx

(3x5e2x11x)dx23xdx5edx3x2x1x12dx

x5earctanxC 例5 求 (3xex5sinx)dx 解

(3exx5sixnd)xx3edxxx 5sixndx(3e)dx5sinxdx(3e)xln(3e)5cosxC

例6 求(x1)x22dx

解

(x1)xdxx2x1xdxdx21xdxxdx

1 4

x4xlnxC

例7 求1x21x2dx

22解

1x1x2dx2(1x)1x2dx211x2dxdx

2arctanxxC

例8 求tan2xdx 解

tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC 例9 求cos2x2dx

解

cos2x12dx1cosx2dx12dx2cosxdx112x2sinxC

例10 求1sin2xcos2xdx

2解

1xcos2xsin2xcos2xdxsinsin2xcos2xdx11 cos2xsin2xdxtanxcotxC

课堂练习（二）：求下列不定积分

①xxdx ②1xx2xdx

2x2 ③x2xxx(1x2)dx ④922dx

本堂课小结：

主要内容：原函数、不定积分的概念；不定积分的性质与运算法则；直接积分法。重点：不定积分性质与基本公式，直接积分法。 难点：经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。

5

第二节 换元积分法

【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法，熟练掌握第一换元积分法

（凑微分法），知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型，掌握第二换元积分法步骤。

【教学重点】1.第一类换元积分法；2.第二类换元积分法。 【教学难点】1.积分方法的合理选取；2.凑微分法 【教学时数】3学时 【教学进程】

导入新课：

1. 不定积分与导数运算是互逆运算；

2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分； 3. 复习复合函数的导数法则，引入新课。 一、第一类换元积分法

教师举例分析不定积分：cos2xdx 的计算过程，导入第一类换元积分法。 （一）第一类换元积分公式

如果f(u),(x)和(x)都是连续函数，并且容易求得f(u)的一个原函数F(u)，则有如下公式：

凑微分f[(x)](x)dx令u(x)f[(x)]d(x)

回代f(u)duF(uC)F[(x)]＋C

利用复合函数的求导法则，可以验证上式的正确性．

用这种方法的计算程序是先“凑”微分式，再作变量置换，因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法．

例1 求下列不定积分（第一小题写出中间变量，以后逐步脱离中间变量的设置） （1）（3）dxx11 （2）(2x1)4dx

dx （4）e2x1dx

112x常见类型一： 通常形如：f(axb)dx分。

课堂练习（一） ① 求sin2xdx；除了用上述方法以外还可以怎样做呢？

af(axb)d(axb)(a0)令axbu进行换元积 6

② 若f(x)dxsinxc, 求f(axb)dx 。 ③

dx2x1

例2 求下列不定积分 （1）xexdx （2）教师小结： 1. 例2所出现的常见类型小结－常见类型（二） 通常形如：xf(x2)dx12n2x1x2dx （3）x3xdx

2f(x)d(x)令xu进行换元积分；一般n222xn1f(x)dxn1nf(x)d(x)，则令xnt进行换元积分； 2.积分方法的选取应该根据什么？－应该根据经过换元后便于利用积分公式； 课堂练习（二） ①

x1x2dx ②x(1x2)dx ③xa5x2dx

例3 求下列不定积分

教学方法：指出这三个题分别是属于常见类型，为常见凑微分类型小结作准备

1 （1）sin32x32xdx （2）lnxxdx （3）exx2dx

（二）常用凑微分法公式的被积函数类型

1. f(axb)dx1af(axx)d(axb)（a0）

特别f(xb)dxf(xb)d(xb)

n1n2. xf(x)dx1nf(x)d(x) 3.

1xnn1xf(x)dx2f(x)d(x)

4. ef(e)dxf(e)d(e) 5. 6.

1x2xxxxf(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

111f()dxf()d() xxx7. sinxf(cosx)dxf(cosx)d(cosx) 或 cosxf(sinx)dxf(sinx)d(sinx) 8. sec9.

2xf(tanx)dxf(tanx)d(tanx) 或cscxf(cotx)dxf(cotx)d(cotx)

211x2f(arcsinx)dxf(arcsinx)d(arcsinx)

7

或

11x211x2f(arccosx)dxf(arccosx)d(arccosx)

10. f(arctanx)dxf(arctanx)d(arctanx)

11x2 或

例4 求下列不定积分 ⑴ 

dxxa22f(arccotx)dxf(arccotx)d(arccotx)

⑵ dxax22 ⑶ dxxx62

通常形如：ax2次因式的积将分母分解成两个一分母是一个一次因式的二次幂bxc将分母配方dx00 0

例5 求下列不定积分－指出被积函数为三角函数时方法的选取 （1）tanxdx － 解题后，指出其相关类型积分方法的选取； （2）cos3xdx － 解题后，指出相关类型积分方法的选取； （3）

课堂练习（三）

①

小结第一换元积分法，提出新的一种被积函数的类型－含有根号 如：

axdx如何计算呢？

22dxcosx － 指出此题的多种解法

xdx22x4 ②

x(2lnx1)

dx2dxx1如何计算？

给出其求解的一般方法（第二换元积分法）。

二、第二类换元积分法 （一）第二换元积分公式

当某些函数的积分f(x)dx不易被积出，则我们可以通过设x(t)（单调且可导，

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(t)0）

，其反函数为t(x)，且F(t)f[(t)](t)，则

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C

便可求出f(x)dx的原函数表达式．这种换元的积分方法被称为第二类换元积分法.

例6 计算1dx. － 注重解题方法分析、解题步骤书写

2x1 （答案： 2x14ln(2x1)C）

例7 计算a2x2dx － 分析此题与上题的共同点与不同点，然后导出方法

2 （答案： ＝axxa2x22arcsina2ac）

（二）三角代换类型小结

1. 被积函数中含有a2x2

一般令xasint()2t2（或xacost(0t)）

， 则a2x2a1sin2tacost(a0)

2. 被积函数中含有

x2a2

一般令xasect(0t)（或xacsct()2t2）

， 则a2x2asec2t1atant(a0)

3. 被积函数中含有a2x2

一般令xatant()2t2（或xacott(0t)），

则a2x2a1tan2tasect(a0)

9

例8 计算 例9 计算x2ax2dx －分析此题与上两题的共同点与不同点，然后导出方法

dx1ex.－ 分析、解题

三、不定积分基本公式补充

本节例题中出现的几种积分的类型是经常会遇到的，它们通常也被当作公式使用．我们将其也列于基本积分公式表中，具体总结添加如下：

tanxdxlncosxC cotxdxlnsinxC C secxdxadx2lnsecxtanxC 1axacscxdxlncscxcotxx2arctanC adx2xdx212alnaxaxC 

dxa2x2arcsinxaC x2a2lnxx2a2C

本堂课小结：

主要内容：第一类、第二类换元积分法

重点：第一、第二换元积分法的思想方法与解题步骤 难点：积分方法的正确选取、凑微分

作业

1. 习题4 教材P98 2单号题；3双号题 2. 补充题：（1）已知F(x)是ex2的一个原函数，求

d(F(dxx))

（2）已知f(x)dxsinxxC，求exf(ex1)dx

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第三节 分部积分法

【教学内容】分部积分法。

【教学目的】理解分部积分法的思想方法，能针对两种不同类型函数之积的被积函数，正

确选取u,dv，熟练掌握分部积分法步骤。

【教学重点】分部积分法 【教学难点】u,dv的正确选取 【教学时数】1学时 【教学进程】

导入新课：

1. 复习第一换元积分、第二换元积分法，并指出其适合于哪一类被积函数； 2. 提出当被积函数的形式为两类不同类型函数（如：xsinx；xex；xlnx；xarctanx等）之积的情形，如何求其不定积分问题，导入新课

一、分部积分法

教师举例分析不定积分：xcosxdx 的计算过程，导入分部积分公式与分部积分法。 （一）分部积分公式

设函数uu(x),vv(x)具有连续的导数，则由乘积的微分运算法则

d(uv)udvvdu

可得 udvd(uv)vd u两边积分，得

udvuvvd u这个公式叫做分部积分公式，它的作用在于：把比较难求的udv（或uvdx）化为比较容易求的vdu来计算，化难为易．

根据分部积分公式，分析引例计算中关于u,v的选取原则，得出：

(1) v要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由dv求v时，一般不加积分常数C； (2)vdu要比udv容易积出． （二）分部积分公式应用

例1 求xexdx . (答案：xexdxxexexC)

11

常见类型一：

cosaxdx）凑成1aPn(x)sianxd x或

1aPn(x)cosaxdx；通常是将sinaxdx（或

d(cosax)（或（a0） d(sinax)）（其中pn(x)a0a1xa2x2anxn）

常见类型二： Pn(x)ebxcdx；通常是将ebxcdx凑成课堂练习（一） ①

1bd(ebxc。 )（b0）xsin2xdx ②

12xe2xdx

例2 求下列不定积分

（1）xlnxdx （答案：xlnxdxxlnx214xC） 12ln(1x)C））

22（2）arctanxdx （（答案：arctanxdxxarctanx常见类型三：

Pn(x)lnaxd x或Pn(x)arcsinxdx 或Pn(x)arctanxdx；通

常是将幂函数凑入微分号内。 课堂练习（二）

xxxx例3 求exsinxdx （答案： esinxdxesinxecosxesinxdx）lnn(2x1)dx

此题注意事项：

（1）需分部积分两次，通过解积分方程来完成；

（2）但是两次分部积分中关于u,dv的选取应相同。 u,dv的选取不影响积分的难易程度，常见类型四：

二、不定积分法综合

我们已经学习了直接套用积分公式的直接积分法、换元积分法、分部积分法，这些基本的积分方法应灵活运用，切忌死套公式．有些问题往往需要同时运用换元法与分部积分法才能求得最终结果．

例4 求exeaaxcsinbxdx 或

eaaxccosbxdx。

dx （ 答案：2(xexexxex)C ）

此题解法比较灵活，可以先凑成d(x)后直接使用分部积分法；或者先令

xt，然后求出dx2tdt代入。再一次说明做题方法的灵活性，不能死套公式。

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本堂课小结：

主要内容：分部积分公式及其应用 重点：分部积分法

难点：分部积分公式中的u,dv的合理选取

作业

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第四节 不定积分在经济问题中的应用举例

【教学内容】不定积分的经济应用。

【教学目的】理解不定积分在经济问题中的应用，知道已知某经济函数的边际函数，求原

经济函数的方法－求不定积分，并能在初始条件下，确定积分常数值。

【教学重点】不定积分经济应用

【教学难点】变化率模型的经济涵义 【教学时数】1学时 【教学进程】

导入新课：

1. 求导数－求函数的瞬时变化率

2. 边际成本、边际收入、边际利润函数的经济意义及其求法； 3. 若已知某边际函数，如何去求原来那个经济函数？ 这类问题的求解思路：

1.对边际函数求不定积分；

2.由给出的初始条件，确定积分常数C； 3.写出这个满足初始条件的经济函数。

例1 已知某厂生产某产品总产量Q(t)的变化率是时间t的函数Q(t)136t20，当

t0时，Q0,求该产品的总产量函数Q(t)．

分析：（1）总产量Q(t)的变化率－即总产量Q(t)的导数；

（2）t0时，Q0,－即初始条件

（答案： Q(t)68t20t）

例2 某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是C(q)2327q2，且

固定成本是5000元，求总成本C与月产量q的函数关系． 分析：（1）边际成本－即总成本的导数；

（2）固定成本是5000元－即初始条件：产量＝0时的成本为5000元

（答案：C(q)2q213q5000）

例3 已知某产品生产x个单位时总收入R的变化率（边际收入）为

R(x)200x100（x0）

求生产了50个单位产品时的总收入．

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分析：（1）总收入R的变化率－即总收入的导数；

（2）x0时，R0,－即初始条件，此条件为默认。

502 （答案：R(50)20050

2009987.5）

例4 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种

商品的需求量Q的变化率模型为Q(p)Aln2()p（也称边际需求），其中p21表示商品的价格，求这种商品的需求函数,

分析：（1）需求量Q的变化率－即需求函数的导数； （2）最大需求量为A（即价格为0时的需求量）。

（ 答案：Q(p)A() ）

21p例5 已知某种商品的需求函数x1005p，其中x为需求量(单位：件)，p为单价（单

位：元/件）.又已知此种商品的边际成本为Cx100.2x，且C(0)=10，试确定当销售单价为多少时，总利润为最大，并求出最大总利润 分析：（1）边际成本－即成本函数的导数； （2）C(0)=10－初始条件；

（3）需求量x＝产量x是一种模型简化条件；

（4）需求函数x1005p－需求x与价格p的关系。

（ 答案：销售单价p10元时（此时销售量x50件），总利润为最大，

最大利润为240元）

本堂课小结：

主要内容：不定积分在经济问题中的应用 重点：不定积分

难点：函数的变化率、边际函数的意义。

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第四章 不定积分习题课

【教学内容】不定积分的计算及其应用。

【教学目的】综合理解并掌握不定积分的计算方法，掌握不定积分在经济问题中的应用。 【教学重点】计算不定积分

【教学难点】原函数与不定积分的区别与联系 【教学时数】1学时 【教学进程】

一、基本概念基本性质

1.基本概念－原函数、不定积分

2.不定积分基本性质

性质4.1－不定积分与导数运算的互逆性质；

性质4.2,4.3－不定积分的线性运算性质

二、基本公式与方法

1. 基本积分公式－P82（1）－（12）

补充：tanxdxlncosxC， 类似方法推出：cotxdxlnsinxC

sinx2dxxdxlncscxcotxC， 1aarctanxaC，

cosxdxlnsecxtanxC

a2dxax22arcsinxaC（a>0），

dx(xa)(xb)1abxaxb根据练习，我们还可推出：2．基本积分方法

lnC

直接积分法－被积函数经过恒等变形后利用基本积分公式、运算性质进行积分 第一换元积分法（凑微分法）－被积函数为两部分的积，其中一部分是复合函数，另一

部分则是中间变量的导数 要熟悉常见凑微分的形式！

第二换无积分法－被积函数往往是含有根式，不易被“积出”时 要熟悉根式的几种不同形式下的代换函数！ 分部积分－被积函数通常是两种不同类型函数的积 要熟记几种常见被积函数类型！

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三、综合举例

sinxx例1 （1）已知F(x)是的一个原函数，求d(F(x)) （答：

22sinxxx12dx）

（2）设f(x)x2，求f(x1)dx （答：

）

2x12x1例2 计算下列各不定积分（被积函数均为有理分式的情形） （1）23x2dxx2(1x2) （答：2xarctanxC）

（2）x42 （答：21xdx xarctanxC）

（3）1dx32xx （答：222arctanx1C）

2 例3计算下列各不定积分（被积函数中均含有因子ex）

（1）dx （答：1ex xln1exC）

（2）e2x （此题可分别采用第一、二换元积分法和分部积分法）

1exdxx （答：21ex(e233)C）

例4计算下列各不定积分（被积函数中均含有三角函数）

（1）sin2xsin3xdx （答：

112sinx10sin5xC）

（2）cos4xdx （答：38x58sinxC）

本堂课小结：

主要内容：不定积分的计算方法

重点：不定积分方法综合 难点：不定积分方法的取舍

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作业 补充题：（1）已知F(x)是ex的一个原函数，求

2d(F(dxx))

（2）已知f(x)dxsinxxC，求exf(ex1)dx （3）计算下列不定积分

（1）

x322(1x)dx （2）x32xx2dx （3）(xsinx)dx （4）2eexxxedx

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