1994年全国高中数赛试题及解答

1994年全国高中数赛试题

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) a+b=c (C) a+bc

2、给出下列两个命题：⑴ 设a，b，c都是复数，如果a+b>c，则a+b－c>0；⑵设a，b，c都是复数，如果a+b－c>0，则a+b>c．那么下述说法正确的是

(A)命题⑴正确，命题⑵也正确 (B)命题⑴正确，命题⑵错误 (C)命题⑴错误，命题⑵也错误 (D)命题⑴错误，命题⑵正确

1

3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的

125最小整数n是

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

πlogbsinalogbcosalogbcosa4、已知04

(A)x5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n－2n－1πn－2n－1

π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) nn2nn|x+y||x－y|

6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是

2a2b (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ- 1 -

1

1994年全国高中数赛 冯惠愚

的延长线相交，则m的取值范围是 ．

x+sinx－2a=0，

2．已知x，y∈[－，]，a∈R且3则cos(x+2y) = ．

444y+sinycosy+a=0

ππ3

52522222

3．已知点集A={(x，y)|(x－3)+(y－4)≤()}，B={(x，y)|(x－4)+(y－5)>()}，则点集A∩B22中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．

4．设0<θ<π，，则sin(1+cosθ)的最大值是 ．

2

5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sinα= ．

6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和

θa1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ．

- 2 -

2

1994年全国高中数赛 冯惠愚

第二试

一、(本题满分25分) x的二次方程x+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z1－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。

E 2

2

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．

证明:(1) IO=AE； (2) 2R- 3 -

A O I B C 3

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四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)． (1)求m(G)的最小值m0．

(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

- 4 -

4

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1994年全国高中数赛解答

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1、设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是 (A) a，b同时为0，且c>0 (B) a+b=c (C) a+bc

解：asinx+bcosx+c=a+bsin(x+φ)+c∈[－a+b+c，a+b+c]．故选C．

2、给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果a+b>c，则a+b－c>0．(2)设a，b，c都是复数，如果a+b－c>0，则a+b>c．那么下述说法正确的是

(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确

解：⑴正确，⑵错误；理由：⑴a+b>c，成立时，a+b与c都是实数，故此时a+b－c>0成立； ⑵ 当a+b－c>0成立时a+b－c是实数，但不能保证a+b与c都是实数，故a+b>c不一定成立．故

选B．

1

3、已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的

125最小整数n是

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

11

解：(an+1－1)=－(an－1)，即{ an－1}是以－为公比的等比数列，

33

1n1－(－)31n－11n11

∴ an=8(－)+1．∴ Sn=8·+n=6+n－6(－)，6·n<，n≥7．选C．

3133125

1+3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222222

2

2

2

2

2

πlogbsinalogbcosalogbcosa4、已知04

大小关系是

(A)x- 5 -

5

1994年全国高中数赛 冯惠愚

解：0logbcosa>0．

logbsinalogbcosalogbcosa ∴ (sina)< (sina)< (cosa)即x5、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

解：设相邻两侧面所成的二面角为θ，易得θ大于正n边形的一个内角时，θ趋于π，故选A．

|x+y||x－y|

6、在平面直角坐标系中，方程+=1 (a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是

2a2b (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

解：x+y≥0，x－y≥0时，(一、四象限角平分线之间)：(a+b)x+(b－a)y=2ab； x+y≥0，x－y<0时，(一、二象限角平分线之间)：(b－a)x+(a+b)y=2ab； x+y<0，x－y≥0时，(三、四象限角平分线之间)：(a－b)x－(a+b)y=2ab；

n－2n－1πn－2n－1

π，π) (B)( π，π) (C)(0，) (D)( π，π) nn2nnn－2

π，当棱锥的高趋于0nx+y<0，x－y<0时，(二、三象限角平分线之间)：－(a+b)x+(a－b)y=2ab．

四条直线在a≠b时围成一个菱形(非正方形)．选D． 二、填空题(每小题9分，共54分)

1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 ． 1

解：即x+my+m=0与y=(x+1)+1的交点的横坐标>2．

3

147m2

∴ x+m(x+)+m=0，(3+m)x=－7m．x=－>2．－333m+33

x+sinx－2a=0，

2．已知x，y∈[－，]，a∈R且3则cos(x+2y) = ．

444y+sinycosy+a=0

ππ3

3

解：2a=x+sinx=(－2y)－sin(－2y)，

令f(t)=t+sint，t∈[－，]，f (t)=3t+cost>0，即f(t)在[－，]上单调增．∴ x=－2y．

2222

- 6 -

6

3

3

ππ2

ππ1994年全国高中数赛 冯惠愚

∴ cos(x+2y)=1．

52522222

3．已知点集A={(x，y)|(x－3)+(y－4)≤()}，B={(x，y)|(x－4)+(y－5)>()}，则点集A∩B22中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 ．

解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，

3y(4,5)(3,4)(3，2)，(4，2)共7点．

12 4．设0<θ<π，，则sin

θ2

(1+cosθ)的最大值是 ．

O123x解：令y= sin (1+cosθ) >0，

2

23224222则y=4 sin cos =2·2sin cos cos ≤2( )．

22222343 2  ∴ y≤ ．当tan = 时等号成立．

922

5．已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则

D'C'B'DABCsinα= ．

解：12条棱只有三个方向，故只要取如图中AA与平面ABD所成角即可．设3

AA=1，则AC=3，AC⊥平面ABD，AC被平面ABD、BDC三等分．于是sinα=．

3

A'6．已知95个数a1，a2，a3，…，a95， 每个都只能取+1或－1两个值之一，那么它们的两两之积的和

a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是 ．

解：设有m个+1，(95－m)个－1．则a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95

∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)－(a1+a2+…+a95)=(2m－95)－95>0． 取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．为所求最小正值． .

第二试

一、(本题满分25分) x的二次方程x+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z1－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=27,求|m|的最大值和最小值.

- 7 -

7

2

2

2

2

2

2

2

1994年全国高中数赛 冯惠愚

解：设m=a+bi(a，b∈R)．则△=z1－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈R)

即(u+vi)=4[(4－a)+(5－b)i]．

|α－β|=27，|α－β|=28，|(4－a)+(5－b)i|=7，(a－4)+(b－5)=7，

即表示复数m的点在圆(a－4)+(b－5)=7上，该点与原点距离的最大值为7+41，最小值为7－41．

二、(本题满分25分) 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 111

解：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－)(1－)(1－)=48个。

3571000=48×20+48－8， 105×20=2100.而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86．

∴ 所求数为2186。

三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．

证明:(1) IO=AE； (2) 2R∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．

∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI延长线交弧BC于D． 由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．

EA2

2

2

2

2

2

2

2

2

E A O I B C 但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO ∴AE=IO．

由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH． 由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R． 设∠OHI=α，则0<α<30°． - 8 -

8

BCOIFHD1994年全国高中数赛 冯惠愚

∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°) 又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2 2R(6+2)/4=R(1+3)

四、 (本题满分35分) 给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)． (1)求m(G)的最小值m0．

(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

Σn=1994．且3≤n≤n≤…≤n．

i1

2

83

83

解：设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1≤i≤83)，

i=1

则m(G)=

Σ

i=1

83

Cn3．即求此式的最小值．

i设nk+1>nk+1．即nk+1－1≥nk+1．则Cn3+1+ Cnii+1

3

－1－(

32 Cn+ Cn3)= Cn－Cn2<0．这就是说，当nk+1与nk的

ii+1

ii+1

差大于1时，可用nk+1－1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变．此时，m(G)的值变小．

于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(G)才能取得最小值．

1994=83×24+2．故当81组中有24个点，2组中有25个点时，m(G)达到最小值．

m0=81C24+2C25=81×2024+2×2300=168544．

⑵ 取5个点为一小组，按图1染成a、b二色．这样的五个小

aabbababbacddcdcddc33

组，如图2，每个小圆表示一个五点小组．同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色．这25个点为一组，共得83组．染色法相同．其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线．即得一种满足要求的染色．

- 9 -

c图1图29

冯惠愚

- 10 -

10

1994年全国高中数赛