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[科目] 数学 [年级] 高中 [章节]
[关键词] 三角函数/诱导公式 [标题] 任意角的三角函数 [内容]
二十二中 X 青 教学目标
1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义. 2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法. 3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号. 4.使学生掌握诱导公式一. 教学重点与难点
教学难点为：任意角三角函数的定义.教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.
教学过程设计
师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中，∠A是锐角，∠C是直角，那么(板
书)
师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角，那么任意的三角函数是怎么定义的呢?直角三角形显然不能包含所有的角.
生：借助平面直角坐标系来定义.
师：好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.
设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系(图2)，在角α的终边任取一点P，它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点O(0，0)的距离r=xy (r总是正的)，然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)
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师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角αα的终边上的位置无关.
师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么?是x?是y？是r?还是角a?大家讨论一下.
生：……
师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x，y，计算出r的值，所以自变量应是角α.
这些函数的函数值是什么呢? 生：两个量的比值. 师：也就是说是个实数.
由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即
实数→ 角(其弧度数等于这个实数) → 三角函数值(实数) 也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.
既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法那么更重要，三角函数的对应法那么我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.
(这几函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角.定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结.)
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师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定题了.请看例1.(板书)
例1 角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值. 师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量? 生：x,y,r.
师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了? 生：只需知道其中的两个量.
师：例1中是否有咱们所需要的两个量? 生：有.x=2,y=－3.
师：好的.这道题就由你来解，你说我往黑板上写.(板书)
解
师：由三角函数的定义，我们知道，角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，假设条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?下面看例2.(板书)
例2 求下例各角的六个三角函数值.
师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求. 生：没想好.
师：你觉得为什么不好求呢? 生：题目里没给出x,y的值.
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师：x,y的值与所给出的角有什么关系? 生：x,y是角的终边上一点的坐标. 师：角的终边上的哪点? 生：可以任意选取.
师：那当然要使所取点的坐越简单越好了，你打算取哪点? 生：取(1，0)点.
师：现在这道题目你会做了吗? 生：会了.
师：你说我来写在黑板上.(板书)
解 在角0的终边上取一点(1，0)，所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此
师：这道从题会做了，下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案.
(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－1,y=0,r=1,sin π=0,cos=-1,tan π=0 cot πα不存在，sce π=－1 ,csc πα不存在；
33的终边上任取一点(0，－1)，x=0,y=－1,r=1,sin =－22333331,cos=0,tan不存在，cot=0,sec不存在，csc=－1.
22222(3)在角
师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.
我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.现在，我们又学习了三角函数，假设一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.
下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答) 生：对于sin α，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，…… 师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?(尽量突出这节课的主要内容.)
生：根据三角函数的定义，sin α=
y，当角a是第一象限角时，也就是说，角α的终r27 / 8
word 边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sin α＞0.
师：解题思路非常清楚，就是下结论前的表达显得有点匆忙，不够确切.咱们看这样说是不是更好些?前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为正数，也就是y＞0,而r=x2y2，也一定大于零，所以得出结论，sin α＞0，符号为“+〞.
师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、 四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下.
生：正弦函数sin α=yr，当角a在第二象限时，sin α的符号为“+〞；当角α在第三象限时，sin α的符号为“－〞；当角α在第四象时，sin α的符号也为“－〞.
师：完全正确.由于r=x2y2＞0，所以我们可以看出，sinπ的符号与谁的符号一致?
生：与y的符号一致. 师：好的.现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了.我想，得出正确结论已经不是什么难事了.只是如果请你说，你能表达得完整
吗?另外，你还有没有别的办法解决这个问题?
生：余弦函数cos α=xr,我们知道r=x2y2>0α所在象限内的点的横坐标，所以当角a在第一象限内时，cos α的符号为“+〞，当角α在第二或第三象限时，cos a的符号为“－〞，而当角α在第四象限时，cos α的符号为“+〞.
师：回答得很好.各个量之间的关系都说得非常清楚、准确. 生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x的符号一致. 师：也对.只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚.
正切函数tan α=
y在各个象限内的符号又是怎样的? x生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时x,y同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时x,y异号.
师：完全正确.我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了.为什么?
生：因为余切值(
xry)与正切值()互为倒数，所以它们的符号一致，同理，正割值()yxx与余弦值(
rxy)的符号一致，而余割值()与正弦值()的符号一致.
yrr师：很好.为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象
的方式是否适合于你?(板书)
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师：现在我们知道了三角函数的数值是由角的终边的位置决定的.显然，当两个角相差
360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一).
(板书)
师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为0°～360°(或0～2π)间的角的三角函数值的问题.(板书)
例3 确定以下各三角函数值的符号.
(1)cos 250°； (2)sin(－
)； (3)tan(－672°10′) 4(教师边分析边板书)
解 (1)因为250°是第三象限的角，所以cos 250°＜0. (2)(由学生口述完成)因为－
是第四象限角，所以sin 〔-〕＜0. 44(3)(由学生解)
因为tan(－672°10′)=tan(－2×360°+47°50′)=tan 47°50′，又因为47°50′是第一象限角，所以tan (－672°10′)＞0.
师：下面咱们接着做例4.(板书)
例4 根据条件sin＜0且tan＞0，确定是第几象限角. (教师边讲边写)
解 为sin＜0，所以在第三象限或第四象限，或的终边落在y轴的负半轴上. 因为tan在第一象限或第三象限.
由于sin ＜0与tan＞0同时成立，所以在第三象限.
师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论.要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一.
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作业：课本P138练习一第1，2，3，4，5，6题.其中第2，3题写在书上，其余的写在本上.
课堂教学设计说明 1.复习锐角三角函数.
2.讲解任意角三角函数的定义.
3.用列表的形式总结出各个三角函数的定义域.
4.例1是三角函数定义的最简单、直接的应用.例2是应用任意角三角函数的定题. 5.利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号.
7.例3和例4. 8.小结、作业.
为什么要采取以上步骤呢?因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例1和例2.此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域.
应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号.对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的.
诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求0°～360°(或0～2π)间角的三角函数值的问题了.
板书设计
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