第２３卷第６期２０１１年１１月 嘉兴学院学报 Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．６ ２０１１．１１ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｘｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ 强非局域非线性介质中高斯光束的传输特性 刘雅洁，朱 宁 （嘉兴学院南湖学院，浙江嘉兴３１４００１） 摘 要：从Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程出发，讨论了高斯光束在ｌ＋１维强非局域非线性介质中的传输特性及其光束 柬宽随位置的演化，即当介质的响应函数为高斯型时，用理论分析和数值模拟的方法，讨论了响应函数的特 征宽度 对光束传输的影响． 关键词：强非局域；非线性；高斯光束 中图分类号：０４３ 文献标识码：Ａ． 文章编号：１００８—６７８１（２０ｌ１）０６—００３３—０４ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｂｅａｍ ｉｎ Ｓｔｒｏｎｇ Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｅｄｉａ ＬＩＵ Ｙａ—ｊｉｅ，ＺＨＵ Ｎｉｎｇ （Ｎａｎｈｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉａｘｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｘｉｎｇ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ ３１４００１） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｈｅｌｍｈｏｈｚ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍ’Ｓ ｔｒａｎｓｍｉｔ— ｉｒｎｇ ｉｎ １＋１一Ｄ ｓｔｒｏｎｇ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｗｉｄｔｈ ｉｎ ａｃｃｏｒｄａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ． Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｗｉｄｔｈ（￡’ ｏｎ ｂｅａｍ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ，ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｍｅｄｉａ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｔｙｐｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｏｎｇ ｎｏｎｌｏｃａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ；Ｇａｕｓｓｉａｎ ｂｅａｍ ０ 引言 孤子的特殊性质及其巨大的潜在应用价值，一直是物理学中最为活跃的研究方向之一．１９９７年， Ｓｎｙｄｅｒ等人提出了强非局域模型，并用此模型研究了光束在非局域非线性介质中的传输特性．Ｌ１ 如果 将非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程近似、简化成线性方程，就得到了“线性孤子”．当前，有关非局域非线 性介质中空间孤子的研究已经引起人们的极大兴趣，无论在理论还是实验上，空间孤子的研究都取得 了很大的进展． 根据传输介质对作用在其上的光场的非线性响应局域程度的不同，可将介质分为局域介质、弱非 局域介质、一般弱非局域介质和强非局域介质．［２ ］光束在非局域非线性介质中传输时，应满足非局 域非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程．［１－５３ Ｓｎｙｄｅｒ和Ｍｉｔｃｈｅｌｌ指出：在强非局域条件非线性介质中存在高斯型 孤子．口］Ｋｒｏｌｉｋｏｗｓｋｉ和Ｂａｎｇ给出了弱非局域条件下非线性介质中的孤子解．＿４ 郭旗等人通过对强非 局域非线性介质的响应函数作泰勒级数展开并只取到二阶，对Ｓｎｙｄｅｒ和Ｍｉｔｃｈｅｌｌ的模型进行修正， 得到了一种新的近似模型，并用该模型研究了傍轴高斯光束在强非局域介质中的传输特性，得到了大 相移的结果．＿６ 近年来，对非局域非线性介质中孤子存在的形式进行了十分丰富的探讨［７ ］，使得非 局域非线性孤子的研究成为非线性光学的研究热点之一． 收稿日期：２０１１—０１—１８ 作者简介：刘雅洁（１９６２一 ），女，内蒙古包头人，嘉兴学院南湖学院副教授，主要研究方向为光学物理． 网络出版时间：２０１１—１０—１４ １５：５２网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３３．１２７３．Ｚ．２０１１１０１４．１５５２．００３．ｈｔｍｌ？ｕｉｄ 嘉兴学院学报 第２３卷第６期 本文从光在介质中传输时满足的Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程出发，推导了强非局域非线性介质中光场满足的 非线性Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程，并讨论了该方程的解形式．即讨论了当高斯光束在１＋１维强非局域非线性 介质中的传输时，光束束宽的演化特性；当介质的响应函数是高斯型的情形下，用理论分析和数值模 拟的方法，讨论了响应函数的特征宽度∞ 对光束传输的影响，得到了一些有意义的结论． １基本方程的导出 由光场Ｅ满足Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程＿＿１ 得： Ｅ＋（Ｋ。 ） Ｅ一０ （１） 其中方程（１）中Ｖ。为Ｌａｐｌａｃｅ算符，当光束在１￣１维介质中传输时， 。一孝＋孝，ｚ是传 输方向坐标，ｚ是光束宽度的方向坐标；Ｋ。一缸７－为自由空间中的角波数， 。是波长；ｎ一 。＋ 是介 质的折射率，ｎ。是折射率不依赖于光强的线性部分，８ｎ（ ）表示光束在非线性介质中传输时引起的折 射率的变化，即ｎ。（ ）≈ｎ：＋２ｎ。８ｎ（工）．如果将Ｅ写为Ｅ（ ， ）一Ａ（ｘ， ）ｅｘｐ（ｉＫｚ）的形式（Ａ（ ， ）为 Ｅ（ｚ，ｚ）的慢变包络），并代人方程（１）中，在近轴近似（ Ｓｃｌａｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程为： ｄｚ ＜＜Ｋ。 ）下，得到Ｅ满足的非线性 ｏｚ ａ＋ 噬＋ＫＳｎ（Ｉ）Ａ：：＝０ 。２Ｋ Ｏｘ 。 ｚ（２） （３） 在非局域非线性介质中 ］ ８ｎ（Ｉ）一 ２ ｓＩ Ｒ（ｘ—ｚ ）ｆ Ａ（ ， ）ｌ ｄｘ Ｒ（ｚ）为介质对光的非线性响应函数且满足归一化条件Ｉ Ｒ（ ）ｄｘ一１； 是折射率非线性部分 系数．当５：１时，介质为自聚焦介质；当ｓ一一ｌ时，介质为自散焦介质。本文仅讨论光在ｓ一１的自 聚焦介质中的传输；而且，在光的传输过程中，不考虑介质的非线性损耗、吸收并且响应函数均匀对 称，特别是响应函数为实对称函数时． ２ 强非局域非线性薛定谔方程及其解的演化特性 Ｓｎｙｄｅｒ和Ｍｉｔｃｈｅｌｌ指出 ，当介质是强非局域非线性时，可将Ｒ（ｘ一－ｚ ）在ｚ— 附近进行泰 勒展开，并取到二阶近似时有： Ｒ（ —ｚ ）一Ｒ。一 ），（ — 一Ｒ。一告 ｚ＋ ，一 （４） 其中，Ｒ。一Ｒ（。），），一一 ０Ａ十 ｌ一，，由于Ｒ（ 一 ）的对称性， Ｐ。Ａ一 １ ｘｙｘ Ｐ。Ａ一 １ 。ｌ一一。．将式 （４）代入方程（２）中，并结合式（３），则有： １ ＋ ｘ 仁ｚ，２ｌ Ａ（ ，， ｄｚ，一ｏ （５） 其中，ｘ＝ ｓ（这里 一１）．在不存在介质损耗的情况下，光束在整个传播过程中能量守恒，故光 功率Ｐ—Ｉ ｌ≯（ｚ ，ｚ）ｌ ｚｄｘ 一Ｐ。，其中Ｐ和Ｐ。分别是任意位置的光功率和人射位置（ｚ一０）的光 功率．在方程（５）中，仅最后一项的积分与ｚ有关，若令ｌ １ Ａ（ｘ ， ）１ ｄｘ ＝ （ ），则可变换得： Ａ（ｘ， ）－－－￣Ａ（ｘ， ）ｅｘｐＥｉｘＲ『）Ｐ。ｚ一寺ｘ （ ］ （６） 刘雅洁，朱宁：强非局域非线性介质中高斯光束的传输特性 其中方程（５）口Ｊ化简为： ‘ａｚ 。＋ 嬖 一 ｘ ２Ｋ ２ａｚ ２ ＾ 。 ”ｚ山 ‘。Ａ—ｏ 基本解为：［ （７）这就是强非局域非线性薛定谔方程的具体形式．这个方程有一组厄米一高斯解 ．方程（５）的 舭 一 ，／ ￣Ｔｏ ｅｘ ＋ｉｃ（ｚ）ｘ２＋ｉＯ（ｚ）］ （８） 其中，ｃＵ（ ）是高斯光束在任意位置时的束宽．此时， （ ）＝＝＝譬ｃＵ （ ）．将式（８）代入方程（５）， 可以得到各参数之间的演化关系． ２～ ∞（ｚ） ｄｚ Ｋ ｚ）一ｏ 一 （９口） ～～ ＋ 一ｘＰ。Ｒ。＋ １ ｘ 。 ）一０ （９６） ｄｅ（ｚ）ｄ ２Ｋ （ ）。＋ Ｋ ……）＋ ２ ｘ 。＝＝＝０ （９ｃ）、 。 由（９ａ）和（９ｃ）得： ｄｚ 。 一丽Ｋ １ （一一ｚ） Ｋ １一 ） （１Ｏ） 方程（ ｏ）等效于质量为１的粒子在力Ｆ（ｚ）一 一Ｐ。 （ ）作用下的运动，第一项对 应着“加速”，即光束展宽；第二项对应着“减速”，即光束变窄．当Ｆ（ｚ）一０时，得到Ｐ 一 ． 上 Ｘ 其中， 。一叫（０）为 一０时的束宽．方程（１０）的解为： （ ）一 ［１＋（Ｐ １）ｓｉｎ。（卢ｚ）］ （１１） 。这里， 一（ｙＰ ｏ／ｎｏ） 。．将（１１）代入（９ｂ）和（９ｃ），同样可以解析得到ｃ（ ）和 （２）．由于 ｃ（ ）和 （ ）在（８）式的虚部，不影响光束的强度，此处不再讨论． 显然，当注入非局域非线性介质中的高斯光束的功率Ｐ。等于临界功率Ｐ 时，该光束在介质中传 输不改变形状，即是孤波．但当Ｐ。＞Ｐ 时，光束先压缩后展宽，反之，亦反．当Ｐ。≠Ｐ 时，束宽以周期 ＆一丌／ 一ｎ（ｎ。／ｙＰ。） 在 。附近振荡．图１给出不同Ｐ。值时，光束束宽的传输形式，右边是对应的 高斯光束的传输形式． 。 高斯型响应函数的特征宽度Ｏ０ 。 对光束传输的影响 根据上面的分析可以看出，ｙ的取值影响Ｐ 和 ，而ｙ与响应函数的具体形式有关．若介质的响应 函数是高斯型，则Ｒ‘ｚ 一 １ ｅｘｐ‘一 ＇其 中∞ 是响应函数的特征宽度．此时，），一＿兰＿． √２７ｒ 定义 一 ，叩是反应介质非局域程度的量值．当】７ 《１时，表示介质为强非局域的．图２给出临界功率 图１不同 时，光束束宽和高斯光束传输形式 Ｐ 与非局域程度 之间的关系．图中显示，当叩＜１ （Ⅱ）Ｐ０＜Ｐ ；（６）Ｐ０＞Ｐ ；（ｃ）Ｐ０一Ｐ 、ｌ＝● Ａ▲ｌ＿●●●●●●●●●●－＿ ｏ４ ・ ３６ ・ 嘉兴学院学报 第２３卷第６期 时，临界功率Ｐ 很高；随着ｒｌ的增大，Ｐ 快速减小，此时，强非局 域的结果（１１）就不再适用，Ｒ（－ｚ）展开时的高阶项对光束束宽的 影响越来越大．图３给出了不同卵时光束束宽的变化规律．为了 便于比较，同时给出了强非局域情况下，相应功率的束宽演化 （如图３一（厂）所示）．从图中可以看出，无论是光功率Ｐ 还是反 映介质非局域程度的 都可以引起束宽的振荡． ４结论 高斯光束在１＋１维强非局域非线性介质中 的传输时，仅当 光束在束腰处人射，且光功率Ｐ。等于临界功率 Ｐ 时，光束在传 输过程中不改变形状，形成光孤子．一般 情形下，束宽则可作周期性的压缩或展宽 变化．光功率Ｐ。与临界功率Ｐ 的比值 １．ｏ４ 图ｚ 篙 蠡 ｏ・ ）， ｏ．，１ｏ４ ． ７７＝ｐ． ｌ Ｐ。／Ｐ ＞１时，光束压缩，否则光束展宽． 在Ｐ。／Ｐ 为定值时，反应介质非局域程度 的叼越大，非局域程度降低，振荡加剧． 参考文献： ［１］ＪＭＩＴＣＨＥＩ Ｌ Ａ Ｄ．Ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ＿． Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９９７，２７６（５３１８）：１５３８—１５４ｌ｜ ＝Ｏ．（ Ｏ ［２］ＫＲＯＩ ＩＫＯＷＳＫＩ Ｗ，ＢＡＮＧ Ｏ，ＲＡＳＭＵＳＳＥＮ Ｊ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎａｌ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｎｏｎｌｏｅａｌ １．２ ＾．ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｋｅｒｒ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ， ２００１。６４（１）：０１６６１２—１—８． ▲ｌ ‘ 一 ｆ Ｃ ｌ￣ｋ ｋ］ Ｅａ］ＭＩＴＣＨＥＬＬ Ｄ Ｊ，ＳＮＹＤＥＲ Ａ Ｗ．Ｓｏｌｉｔｏｎ ｄｙ一 ｎａｍｉｃｓ ｉｎ ａ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｍｅｄｉｕｍ［Ｊ］．Ｊ．Ｏｐｔ． Ｓｏｃ．Ａｍ．Ｂ，１９９９，１６（２）：２３６—２３９． ｗＳＫＩ Ｗ， ： 图３不同ｒ／和ｒ 。对光束束宽的影响 ｉ ． №。‘ “幻 ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ Ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ＥＪ］Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ・吣ｏｏ，６３（１ ｏ１ ６１ 卜 。 ㈤ Ｐｏ＿ｌ；（６） Ｐｏ＿ｌ＿２Ｉ（ｆ Ｐ０＼“， Ｐ 一 ；＼ Ｐ 一 ’ ’、¨ Ｐ一＿１＿５ ’ （ Ｎｏ ８ Ｐｏ６．（，） ＝ｏ ＢＡＮＧ Ｏ ＫＲＯＬＩＫＯＷＳＫＩ Ｗ ＷＹＬＬＥＲ ［５］ ， ， Ｊ， ｃ ｅｔ ａ１．Ｃｏｌｌａｐｓｅ ａｒｒｅｓｔ ａｎｄ ｓｏｌｉｔｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ， ２００２，６６（４）：０４６６１９—１—５． 在（／ ）中，（１）到（５）分别对应 ｌ ｏ，１，１．２，１．５，０．８，０．６ ［６］ＱＩ ＧＵＯ，Ｂ ＬＵＯ，Ｆ ＹＩ，ｅｔ ａ１．Ｌａｒｇｅ ｐｈａｓｅ ｓｈｉｆｔ ｏｆ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｏｐｔｉｃａｌ ｓｐａｔｉａｌ ｓｏｌｉｔｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｅ，２００４，６９（１）： ０１６６０２—１—８． ［７３ ＢＵＣＣＯＩ ＩＥＲＯ Ｄ，Ａ ＫＲＯＩ ＩＫＯＷＳＫＩ Ｓ Ｗ．Ｌａｇｕｅｒｒｅ ａｎｄ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｓｏｌｉｔｏｎ ｃｌｕｓｔｅｒｓ ｉｎ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ，２００７，９８（５）：０５３９Ｏ一１—４． ［８］ＢＵＣＣＯＬＩＥＲＯ Ｄ，ＤＥＳＹＡＴＮＩＫＯＶ Ａ Ｓ，ＫＲＯＬＩＫＯＷＳＫＩ Ｗ，ｅｔ ａ１．Ｓｐｉｒａｌｉｎｇ ｍｕｌｔｉｖｏｒｔｅｘ ｓｏｌｉｔｏｎｓ ｉｎ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｏｐｔ．Ｌｅｔｔ，２００８，３３（２）：１９８—２００． ［９］Ｉ）ＥＮＧ Ｄ Ｍ，ＧＵＯ Ｑ．Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃａｒｔｅｓｉａｎ ｂｅａｍｓ ｉｎ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｅｄｉａ［Ｊ］．Ｅｕｒ．Ｐｈｙｓ．Ｊ．Ｄ，２０１０，６０（９）：３５５ ３５９． ［１Ｏ］ＨＡＵＳ Ｈ Ａ．Ｗａｖｅ ａｎｄ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｏｐｔｐｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ［Ｍ］．Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－－Ｈａｌｌ，Ｉｎｃ．Ｅｎｇｌｅｗｏｏｄ Ｃｌｉｆｆｓ，ＮＪ，１９８４：８４． （责任编辑张争）
