数学大二学年论文

摘 要 ............................................................................................................................... 1 关键词 ............................................................................................................................... 1 Abstract ............................................................................................................................ 1 Keywords ......................................................................................................................... 1 前 言 ............................................................................................................................... 1 1.定义 ............................................................................................................................... 1 2.含参量反常积分一致收敛性的判别法 .............................................................. 3 结束语 ............................................................................................................................... 7 参考文献........................................................................................................................... 7

含参量反常积分的一致收敛性的判别方法

学生姓名：某某某 学号：20093333333 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：某某某 职称： 讲师

摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.

关键词: 区域;收敛;一致收敛

The judgement methods of uniform convergence on improper

integrals with paramer

Abstract:This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples. Key Words: region; convergence; uniform convergence

前言

含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.

1.定义

定义1 设函数fx,y定义在无界区域R(x,y)axb,cy上，若对每一个固定的xa,b,反常积分

cfx,ydy (1)

都收敛,则它的值是x在a,b上取值的函数,当记这个函数为Ix时,则有

1

Ixcxa,b, (2) f,xy，dy称式(1)为定义在a,b上的含参量x的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.

2.含参量反常积分一致收敛性的判别法

定义2 若含参量反常积分(1)与函数Ix对任给的正数,总存在某一实数Nc,使得当MN时,对一切xa,b,都有

即

Mcfx,ydyIx,

Mfx,ydy,

则称含参量反常积分(1)在a,b上一致收敛于Ix.或简单的说含参量积分(1)在a,b上一致收敛.

定义3 设函数fx,y在区域Ra,bc,d上有定义，若对x的某些值, yd为函数fx,y的瑕点，则称

dcfx,yd y (3)

为含参量x的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。若对每一个xa,b，积分(3)都收敛，其积分值x在a,b上一致收敛的定义是

定义4 对任给正数,总存在某正数dc,使得当0时,对一切

xa,b,都有

ddfx,ydy,

则称含参量反常积分1在a,b上一致收敛.

定理1（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在a,b一致收敛的充要条件是：对任给正数,总存在某一实数Mc,使得当A1,A2M时,对一切xa,b,都有

A2A1fx,ydy.

2

例1 证明含参量反常积分

0sinxyydy (4)

在,)上一致收敛(其中0),但在(0,)内不一致收敛.

证 做变量代换uxy,得

其中A0.由于就有

0AsinxydyyAxsiunudu, (5)

sinuudu收敛,故对任给正数,总存在正数M,使当AM时,

取AM,则当AMA'sinuudu.

时,对一切x0,由(5)式有

A所以(4)在x0上一致收敛.

sinxyydy,

现在证明(4)在(0,)内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0,使对任何实数M(c),总相应地存在某个AM及某个xa,b,使得

由于非正常积分0Asinxyydy0.

sinuudu收敛,故对任何正数0与M,总存在某个x(0),使得

 即

现令012Mxsinuudu0sinuudu0.

0sinuudu0Mxsinuudu0sinuudu0.

(6)

0sinuudu,由(5)及不等式(6)的左端就有

3

MsinxyydyMxsinuudu2000.

所以(4)在(0,)内不一致收敛.

定理2 含参量反常积分1在a,b上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列An（其中A1c）,函数项级数

n1An1Anfx,ydyux

nn1在a,b上一致收敛.

例2 证明：若f(x,y)在[a,b][c,)上连续,又

在[a,b)上收敛,但在xb处发散,则

cf(x,y)dy

在[a,b)上不一致收敛.

cf(x,y)dy

证 用反证法,假如积分在[a,b)上一致收敛,则对于任给0,总存在Mc, 当A,A'M时对一切x[a,b)恒有

'AA'f(x,y)dy.

AA'由假设f(x,y)在[a,b][A,A]上连续,所以令xb,得到当A'AM时,

f(x,y)dy是x的连续含数.在上面不等式中

而是任给的,因此cAA'f(b,y)dy.

f(x,y)dy在xb处收敛,这与假设矛盾,所以积分cf(x,y)dy在

[a,b)上不一致收敛.

魏尔斯特拉斯M判别法 设有函数g(y),使得

fx,yg(y),axb,cy.

4

若cg(y)dy收敛,则cf(x,y)dy在a,b上一致收敛.

例3 证明含参量反常积分

在(,)上一致收敛.

证 由于对任何实数y都有

cosxy1x20coxys1x2dx (7)

11x2

及反常积分

011x2dx

收敛,故由魏尔斯特拉斯M判别法,含参量反常积分(7)在(,)上一致收敛.

狄利克雷判别法 设

(i) 对一切实数Nc,含参量正常积分

Ncf(x,y)dy

对参量x在a,b上一致有界,即存在正数M,对一切Nc及一切xa,b,都有

Ncf(x,y)dyM;

(ii) 对每一个xa,b,函数g(x,y)关于y是单调递减且当y时,对参量

x,g(x,y)一致地收敛于0,

则含参量反常积分

在a,b上一致收敛.

阿贝尔判别法 设 (i)ccf(x,y)g(x,y)dy

f(x,y)dy在a,b上一致收敛;

5

(ii) 对每一个xa,b,函数g(x,y)关于y是单调的单调函数,对参量x,g(x,y)在

a,b上一致有界.

则含参量反常积分

在a,b上一致收敛.

例4 证明含参量反常积分 在0,d上一致收敛.

证 由于反常积分

cf(x,y)g(x,y)dy

0exysinxxdx (8)

0exysinxxdx

收敛(当然对于参量y,它在0,d上一致收敛),函数g(x,y)exy对每一个y0,d关于x单调,且对任何0yd,x0,都有

g(x,y)exy1.

故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(8)在0,d上一致收敛.

例5 证明0xexydy

(i)在[a,b] (a0)上一致收敛; (ii)在[0,b]上不一致收敛. 证 (i) x(a,b),y[0),有

0xexybeay,

而

故

0beaydy收敛(a0).

0xexydy在[a,b] (a0)上一致收敛.

(ii) 因

6

(x)在x0处不连续, 而

xexy0xexy0,x0, dy1,0xb在0xb,0y内连续,

由连续性定理知,0xexydy在0xb上不一致收敛.

结束语

本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系编,数学分析(下册)．北京:高等教育出版社,2001． [2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉：崇文书局,2003． [3] 武汉大学数学系编,数学分析[M], 武汉大学数学系,1999．

[4] 吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义[M],吉林师大数学系，2003．

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