《数学史》复习资料
名词解释：
1、可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”，即有可公度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反应。
2、出入相补原理：一个几何图形（平面或立方体的）被分割成若干部分后，面积或体积总保持不变。
3、费马大定理：关于X、Y、Z的不定方程Xn+Yn =Zn ，对于任意大于2的自然数n无非
零整数解。 4、大数定律：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。P128 帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式定理，得到所谓伯努利定理：若p是某一事件单独出现一次的概率，q是不出现该事件的概论，则在n次试验中，该事件至少出现m次的概率等于二项式（p+q）n 的展式中的从pn 项到pm qn-m 项的各项之和。容易看出，这实际上就是概率论中最重要的定律之一——“大数定律”的最早表现形式。
5、倍立方体：就是已知一立方体，求作另一立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
也即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 6、祖氏原理：P65“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被
平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体积相等。它被称为“祖暅原理”。
1、简述古希腊数学的特点。
答案二：（1）追求理性和唯理的论证数学特点； （2）欧氏几何开创了公理化理论体系； （3）欧式几何形成了演绎思维的特征；
总之，希腊数学是追求理性，主要以演绎几何为特征的数学。
2、简述欧几里得《原本》中所确立的公理化思想。
答：公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理——公理或公设。这就是所谓的公理化思想。
3、简述解析几何的基本思想。
答：解析几何的基本思想是在平面内引进所谓“坐标”的概念。
借助这种坐标概念，把平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系，即：每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标（x，y）。这样，可以将一个代数方程f (x，y)=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
4、简述罗巴切夫斯基的非欧几何的基本思想
答案一：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设，由此出发进行
逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，即新的几何学——非欧几何学。
5、简述东方数学的特点。
答案一：东方数学主要特征：1具有实用性，有较强的社会性；2算法程序化模型化；3寓理与算并且是开放的归纳系统。
6、简述代数学符号化的意义。
答案（1）数学的发展贯穿着数学符号的发展.数学符号是数学的语言,它的使用不仅是推动数学发展的内在动力之一,还是数学研究不可缺少的工具.数学符号的产生与数学概念和演算方法的发展有着密切的联系.正是由于有了数学符号,才能够准确、清晰地表达某种数学概念或逻辑关系,能够快速、简洁地进行演算.
7、简述射影几何在17世纪发展所引发的新思想和观点。
答：（1）一个数学对学校从一个形状连续变化到另一个形状； （2）变化与变换不变性；
（3）几何新方法----仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。
8、简述爱尔朗根纲领。
答：德国数学家克莱因所阐述的几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。
四、1.请利用《孙子算经》中的方法求下列问题的最小正整数解：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩四，七七数之剩二，问物几何？” （P66-67）答：答曰：“二十三。术曰：三三数之，剩二，置一百四十；五五数之，剩三，
置六十三；七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十；五五数之，剩一，则置二十一；七七数之，剩一，则置十五。一百五上，以一百五减之，即得。”
有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组：N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。N=2(mod3);N=3(mod5);N=2(mod7)
2.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”，并叙述其证明方法。（P54）
答：勾股定理的一般证明：赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b－a，则面积为（b－a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）＋（b－a）2＝c2 化简后便可得： a2＋b2＝c2
五、论述题：
1、论述现代公理化方法建立的意义。
要点：希尔伯特在19年发表的《几何基础》第一次提出了完备的公理系统，完成了两个本质的飞跃：（1）几何对象达到了更深刻的抽象，赋予公理系统具有更大的一般性；（2）明确提出了公理系统的基本逻辑要求。
2、结合数学教育谈谈数学史的价值。
一、数学史弥补了中学课程上的空白，丰富了中学数学教育的内容。 二、数学史知识具有提高学生数学素养的价值。
三、 学习数学史有利于培养学生正确的数学思维方式和数学观 四,学习数学史为德育教育提供了舞台
五、中国数学史能够激发学生为祖国现代数学的振兴而读书的学习热情。
六、数学史料在课堂教学的合理运用，能够激发学生的学习兴趣，有助于学生树立勇攀科学高峰的信心。
七、通过数学史对数学教育思想、数学教育改革和文化素质教育的影响，阐述了数学史与数学教育的互动关系，强调了数学史对于数学教育研究的现实意义。
八、从数学观、数学兴趣、数学学习、数学思维、数学思想方法、学生思想品德和教师素质等方面论述了数学史在数学教育中的作用，有助于我们正确认识数学史的教育价值，更好地发挥数学史的教育功能。
3、结合下面材料，谈谈你的看法及对你的影响。
资料：欧拉瑞士数学家，英国皇家学会会员。欧拉从小着迷数学，是一位不折不扣的数学天才。他13岁便成为著名的巴塞尔大学的学生，16岁获硕士学位，23岁就晋升为教授。1727年，他应邀去圣彼得堡科学院工作。过度的劳累，致使他双目失明。但是，这并没有影响他的工作 。欧拉具有惊人的记忆力。据说，1771年圣彼德堡的一场大火，把他的大量藏书和手稿化为灰烬。他就凭着惊人的记忆，口授发表了论文400多篇、论著多部。欧拉这们18世纪数学巨星，在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等 领域都作出了巨大贡献，从而确定了他作为变分法的奠基人、复变函数先驱者的地位。同时，他还是一位出色的科普作家，他发表的科普读物，在长达90年内不断重印。欧拉是古往今来最多产的数学家，据说他留下的宝贵的文化遗产够当时的圣彼得堡所有的印刷机同时忙上几年。
欧拉作为历史上对数学贡献最大的四位数学家之一（另外三位是阿基米德、牛顿、高斯），被誉为\"数学界的莎士比亚
答：看了欧拉的生平，我觉得欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受嘈杂和喧闹的干扰（这从他13岁上大学，16岁获硕士学位，28岁晋升教授可以看出）；孜孜不倦，坚持，不怕困难和挫折（从他的大量藏书和手稿化为灰烬但他还是坚持口述看出）。
影响：每当我遇到困难、挫折想放弃的时候，我就会想到欧拉在大量的藏书和手稿化为灰烬后，依旧坚持口述出来，并没有因此而放弃。他的这种不怕困难挫折，坚持不懈的精神深深地鼓舞着我，激励着我，让我在前进的道路即使遇到困难挫折也不再害怕。其次，他多重的身份，丰富的其他学科知识也让我很有感悟，这也激励我要多学一些其他学科的知识，不能只是片面的学习自己专业所需的知识，激励我做一个全能型的人才。除此之外，在他获得成功，发表很多论文之后，他也没有因此而停止前进的脚步，这也提醒了我，就算获得了成功也不能骄傲自满，从而止步不前。
4、简述学习数学史的意义：（自己酌情记忆）
（1）、数学史揭示出数学知识的现实来源和应用，从而可以从中感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，认识到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，以及数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。 （2）、数学史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。这既可以激发对数学的兴趣，培养探索精神。 （3）、通过阅读许多数学家在成长过程中遭遇过挫折，了解一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使我们在数学方法上从反面获得全新的体会，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。
答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四部分：
（1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。 （2）复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。 （3）了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。 （4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。
论述数学史对数学教育的意义和作用.
数学史进入课程是数学新课程改革的重要理念之一。在课程变革由结构——功能视角向文化——个人视角转变的过程中，文化融入是师生对课程改革适应性的一个重要因素。对数学学科而言，数学史是数学文化生成的文库性资源，是最具权威的课程资源，具有明理、哲思与求真三重教育价值。
(1)明理：数学知识从何而来? 数学史展示数学知识的起源、形成与发展过程，诠释数学知识的源与流；
(2)哲思：数学是一门什么样的科学? 数学史明晰数学科学的思想脉络和发展趋势，让学生领悟数学科学的本质，引发学生对数学观问题自觉地进行哲学沉思，有利于学生追求真理和尊崇科学品德的形成
(3)求真：数学科学有什么用? 数学史引证数学科学伟大的理性力量， 让学生感悟概念思维创生的数学模式对于解析客观物质世界的真理性，提高学生对数学的科
学价值、应用价值、文化价值的认识。学习数学史可以帮助人们—理解数学的本质、掌握数学的思想与方法、重走数学家数学发现的思维的关键性步子。
因此，要重视数学史在数学教学中的意义和作用，通过数学教学展现数学知识的发现历程，让学生了解数学知识的来龙去脉，是数学教学
的有效策略。展现数学知识的发现过程，不是简单叙述数学史实，重复数学家的“原发现过程”。而是需要教师开展教育取向的数学史研
究，从中获得对数学教学的启示，引导学生重走数学发现之路。
