一．【学习目标】
1．熟练掌握等差、等比数列前 n 项和公式．
2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等． 二．【知识要点】
求数列前 n 项和的基本方法
(1)公式法
数列{a }为等差或等比数列时直接运用其前 n 项和公式求和．
n
（a ＋a n）n
1 若{a }为等差数列，则 S ＝ ＝____________________．
n n 2
若{a }为等比数列，其公比为 q，
n
则当 q＝1 时，S ＝_________({a }为常数列)；
n
n
当 q≠1 时，S ＝______________＝_________
n
(2)裂项相消求和法
数列{a }满足通项能为两项之差，且后相邻的项正负抵消从而求得其和．
n
(3)倒序相加法
如果一个数列{a n} 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n
项的和即可用倒序相加法，如等差数列前 n 项的和公式就是用此法推导的． (4)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差 数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即 可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
(5)分组转化求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分 别求和而后相加减．
(6)并项求和法
)类型，可采用两项合并求 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如 a ＝(－1) f(nnn
99 2＋ 98 2－ 97 2 …＋2 －2 1 2＝ (100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 解．例如，S ＝100 2－＋n
三．【方法总结】
1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是
根本，又是关键.
n的 通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的 知2.数列求和实质就是求数 列{S }
识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.
练习 3. 已知函数
，则 的值为 _____．
【答案】
2.裂项求和
例 2. 数列
a
的前n 项和为 S ，若 n
n
，则 S 等于（
5
） 1
6
5 6 1 30
【答案】
【解析】
选
练习 1.数 列
的前
项的和为（ ） 1 11
【答案】
11 1 11
【解析】
故数列
的前 10 项的和为
选
练习 6.数列
满a
1 ，且对于任意的 n N * 都有
，则 等于
a
足1
n
（ ）
2016 4032 2017 4034 2017
2017 2018 2018
【答案】D
练习 7.设数列
a满足 ，且 ，若
n
表示不超过 x 的最大整数，则x
(
)
【答案】
【解析】构造
，则
，
由题意可得
，
故数列 {b n}
是 为首项 为公差的等差数列，
故
，
故
以上 个式子相加可得 ，
解得
，
∴
，
∴
，
∴
2017 2018
则
．
故答案为： ．
练习 8. 已知幂函数 f
a 的图象过点 4,2，（ n N * ），记数列 的x令
a 前
xn
项和为 S n
，则 S
2018
（ ）
2018 1
2018 1 2 0 1 9 1 2 0 1 9 1
【答案】
故选： .
练习 9. 已知数列
的首项为 9 ，且
，若 ，则数列的a
n
b
前
n
项和 S
__________． n
【答案】1
1
10
9 2n 1
n
n
练习 10.设数列
a的前 项为 nnN*均在函数y
S
n
，点 S
， nn,
n
（1）求数列
的通项公式。
a
n
（2）设
， T n
为数列 的项和.
b 前
n
【答案】（1）
（2） T n
3n
6n 1
【解析】（1）∵点 n,
S
nn 在函数 的图象上，
∴ a
S
1 1
1
当
（2）
3n 6n 1
3 x 2 的图象上.
3.错位相减求和
例 3.已知数列
a
的首a
n
项
1
2
， 3
， n 1,2,3, …．
a1
（1）证明：数列 n 1是等比数列；
n
（2）数列 的前 n 项和 S ． a
n
n
n 2
【答案】（1）证明见解析；（2） .
2 n
（2）由（1）知
1 1
，即 1 ，
a 2n
n
n a
n
n 2n
n ．设
n
… ，
2n
①
则
…
，②
由① ②得
，
．又 1
2 3 …
．
a n n
数列 的前 项和
n
．
练习 1.已知数列
， bn
， S
a
n
为数列
an
的前n 项和， a
2
4b ，
1
，
n
（ n N * ）
（1）求数列
的通项公式；
a
n n
（2）证明
b
为等差数列；
n
（3）若数列
的通项公式为
，令 T 为
n
的n 项的和，求 T .
2n
c
n
c 前
n
n
【答案】（1） a 2 n （2）见解析（3）
n
（2）∵ a
4b ，∴ b
1
1
2
1 ，∵
，∴
综上， 是公差为 1，首项为 1 的等差数列，
b
.
n
（3）令
① ②
① ②，得
练习 2.已知数列
1
的前 n 项和为 n
. a
n是首项为正数的等差数列，数列
2n 1
a n
a
n1
（1）求数列
的通项公式；
a
n
（2）设 ，求数列
的n 项和 T
b 前n
.
n
【答案】（1） 2n 1 ；（2）
.
（2）由（1）知 所以
所以
两式相减，得
所以
练习 3. 已知等差数列
中，
，数列
中，
.
a
nb
n
（1）分别求数列
a,b的通项公式；n
n
（2）定义 ，
x是x的整数部分， x是x的小数部分，且 0
.记数列
cx足n
1
满
，求数列
的n 项和.
n
c 前
1
【答案】(1) a
2n 1, b
n
2 nn
1
;(2) .
【解析】试题分析：（1）因为
为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量 a , d 的方程组，求出其值
a
1
n
即得通项公式，而
满足递推关系 ，它可以变形为
也就是
b
等n
b1是n
比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到
n
n 项和.
，所以 c
n
b
2n 1
，它是
2n1
等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前 5.分奇偶数讨论求和
例 5.已知函数
，且
，则
( )
2017 2018 2017
【答案】
【解析】当 为奇数时，
为偶数，则
，
，所以
当 为偶数时，
为奇数，则
，
所以
.
1
练习 5. 已知数列
满足： a 0 ，
nN*.
a
n
（1）求 a ； n
n
2
2n
（2）若
【答案】（1） a
，记
.求 .
2n
Sn 1（2） S
2n 2n 1
【解析】试题分析：（1）由递推关系可知
a
n
1 是公差为 1 的等差数列，从而求得通项公式； （ 2 ）
，相邻项相消即可得到 S . 2n
（2）由 （1）知
，
.
6.利用数列周期性求和
例 1.数列
的通项
，其前 n 项和为 S a
n
n
，则10
15 20 25
【答案】C
7.含有绝对值的数列求和
例 1.已知数列
中，
，且满足
a
n
（1）求
a n
的通项公式
（2）设
，求 S n
.
S
40 为
【答案】(1) sin A
sin C 为 . (2)
4
3最大【解析】（1）∵
，
∴数列
a
是等差数列 n
由
知 d 2
∴
（2）由（1）可得数列 当 n 5 时， a n
的n 项和为
n
。
a
前
0
2
n
9n 。
n
当 n 5 时， a 0
2T
5
T
n
。
综上 。
