第３２卷第４期 哈尔滨工程大学学报 Ｖｏｌ＿３２ Ｎｏ．４ ２０１１年４月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ａｐｒ．２０１１ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—７０４３．２０１ １．０４．００６ 阻性消声器声学性能预测的快速多极子边界元法 崔晓兵，季振林 （哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨１５０００１） 摘要：为解决大尺度声场中常见的多区域复合及多吸声材料复合问题，提出了一种子结构快速多极子边界元法．鉴于 未知量列向量的构建次序及边界节点编号顺序对迭代收敛速度有重要影响，提出了整体矩阵方程的构建原则．此外，针 对复数形式声参数对多极子展开式计算准确性的影响，对快速多极子边界元法进行了研究与修正．以膨胀腔阻性消声器 为例，应用子结构快速多极子边界元法与传统边界元法计算其传递损失．结果表明，该方法与修正是有效的，而且在某给 定频率下，随着边界未知节点数的增大，其相对于传统边界元法在计算效率方面的优势越来越明显． 关键词：子结构快速多极子边界元法；多区域声场；吸声材料；阻性消声器；传递损失 中图分类号：ＴＢ５３５ 文献标识码：Ａ文章编号：１００６－７０４３（２０１１）０４－０４２８－０６ Ａ ｆａｓｔ ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｓｉｌｅｎｃｅｒｓ ＣＵＩ Ｘｉａｏｂｉｎｇ，ｊＩ Ｚｈｅｎｌｉｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ ａｎｄ Ｅｎｅｒｇｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｒｂｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ １５０００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｓｏｕｎｄ ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉ・ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ ｍｕｌｔｉ—ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌｓ，ａ ｓｕｂ— ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆａｓｔ ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｗａｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ａｎ ｕｎｋｎｏｗｎ ｃｏｌｕｍｎ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｄｅ ｎｕｍｂｅｒ ａｆｆｅｃｔｅｄ ｔｈｅ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ａ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｍａｔｉｒｘ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ，ｉｎ ｌｉｇｈｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｓｏｍｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＦＭＢＥＭ）．Ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｏｓｓ ｏｆ ａ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｅｘｐａｎ— ｓｉｏｎ ｃｈａｍｂｅｒ ｓｉｌｅｎｃｅｒ ｗａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＦＭＢＥＭ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ（ＣＢＥＭ）．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ａｎｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｖａｌｉｄ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ＣＢＥＭ，ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＦＭＢＥＭ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｗａｓ ｍｏｒｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ａｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｎｏｄｅｓ ｉｎｃｒｅａｓｅｄ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ￣ｅｑｕｅｎｃｙ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｕｂｓｔｕｒｃｔｕｒｅ ＦＭＢＥＭ；ｍｕｌｔｉ—ｄｏｍａｉｎ ｓｏｕｎｄ ｆｉｅｌｄｓ；ｓｏｕｎｄ－ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌｓ；ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｓｉｌｅｎｃｅｒｓ； ｔｒａｎｓｍ；ｓｓｉ０Ｔ１ １０ｓｓ 大尺度声场问题的计算是声学研究领域的重要 分析中，处理大尺度声场问题要求模型划分节点的 研究课题．传统边界元法（ＣＢＥＭ）虽然能降低问题 数目十分庞大，所以传统边界元法在此领域的应用 的维数，但其系数矩阵为满秩矩阵，占用的内存量为 越来越捉襟见肘． Ｏ（，ｖ２），若在３２位操作系统且内存为２Ｇ的ＰＣ机 快速多极子边界元法（ＦＭＢＥＭ）在保留了传统边 上，使用双精度存储模式，最多也只能处理１１ ５８５ 界元法降维优势的同时，很好地解决了这一问题，成 个节点，即使用单精度存储也只能达到１６ ３８４个． 为处理大尺度声学问题的有力工具．自１９８５年， 此外，即使用迭代求解方法，边界元法的计算量和计 Ｒｏｋｈｌｉｎｌｌ 提出快速多极子算法（ＦＭＭ）以来，ＦＭＭ在 算时间也为Ｏ（ ），当未知节点数很大时，其求解 各个研究得到了快速发展 ，将其与传统边界元法 矩阵方程所耗费的时间是无法容忍的．由于在数值 相结合，把声场分为近场与远场，近场应用传统边界 收稿日期：２００９－１２－１８． 元法计算，远场则应用快速多极子法则加速计算，则 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０８７４０３４）． 作者简介：崔晓兵（１９８３一），男，博士研究生，Ｅ－ｍａｉｌ：ｉｂｅｍ＠１６３．ｃｏｍ； 形成了ＦＭＢＥＭ．若采用恰当的矩阵预处理方法，其 季振林（１９６５－），男，教授，博士生导师，Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｅｎｌｉｎｊｉ＠ 对计算机内存量的需求和计算时间均为Ｏ（Ⅳ・ ｙａｈｏｏ．ｃｏｎ． 通信作者：季振林． ｌｎＮ），可见，在处理节点数庞大的声学问题时，其相 第４期 崔晓兵，等：阻性消声器声学性能预测的快速多极子边界元法 对于ＣＢＥＭ有极大的优势． 离散结构边界，在各子结构中应用ＦＭＢＥＭ计 实际的工程应用问题，以消声器为例，其声场往 往具有多区域复合，多吸声材料复合等复杂的结构 特点，而目前ＦＭＢＥＭ多以单一介质（空气），单一区 域的声场问题研究为主，其在多区域复合结构问题 （如内插消声器，穿孔管抗性消声器等），尤其是多 介质复合问题（如阻性消声器）等实际工程应用中 将不能适用．鉴于此，本文将子结构法应用于ＦＭ— ＢＥＭ，并针对阻性介质对ＦＭＢＥＭ进行修正，提出一 算 “ ，重组得到整体结构矩阵向量积表达式如下： ［日１１ ［日２ ［Ｇ１１ Ｇ，２］ Ｇ１２］『０ １ Ｌｌ，Ｊ １．２ Ｇｚ：］『０ １ Ｌ’，Ｊ ２．１ ０ 种新型快速多极子边界元法．并以简单膨胀腔阻性 消声器传递损失为例，比较该方法与ＣＢＥＭ的计算 精度与计算效率． １ 子结构快速多极子边界元法 为了解决内插管消声器、阻性消声器等多区域 复合的声场问题以及由薄壁结构引起的奇异边界问 题，可将子结构技术应用于ＦＭＢＥＭ，形成子结构 ＦＭＢＥＭ．与子结构边界元法不同，由于其不能形成 完整的影响系数矩阵，无法通过配置各子结构的影 响系数来构造整体结构的系数矩阵．Ｈ １ ２ 日 ２ ２ ］Ｊ １ Ｊ 所谓子结构ＦＭＢＥＭ，即将结构复杂的模型依照 其结构特点划分为若干子结构，在每个子结构中分 ｐ ｐ ｐ ｐ １●●●Ｊ １●●●Ｊ 别应用ＦＭＢＥＭ计算出该子结构各行的矩阵向量 一 一 积，利用交界面连续性边界条件，组建整体结构未知 Ｇ Ｇ 量列向量，从而得到整体结构各行的矩阵向量积，进 而利用Ｋｒｙｌｏｖ子空间迭代法 求解，即可求出全部 外边界及交界面上各节点的声压与质点振速值． １．１ 子结构快速多极子边界元法的基本原理 图１为某矩形侧支管道内部声学区域划分示意 图，为应用子结构ＦＭＢＥＭ，可将此声学区域划分为 ２个子结构 与Ｑ ，Ｐ 、Ｖ 与Ｐ：、Ｖ：分别为子结构 ｎ 与Ｑ 实边界（即虚拟交界面除外的真实边界） 上声压与质点振速．子结构共用面为交界面，对于 Ｑ。，该交界面处声压与质点振速为ｐ。 与Ｖ。 ，对于 Ｑ：则为Ｐ 。与 ．该声场边界条件包括进口振速边 界条件，出口阻抗边界条件，壁面刚性边界条件，交 界面连续性边界条件． ，． 图１声学域的划分 Ｆｉｇ．１ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｏｆ ａｃｏｕｓｔｉｃ ｄｏｍａｉｎ ［Ｇ Ｇ２２ １０ 其中，日 与Ｇ 指离散子结构ｌｉｔ中的边界ｎ所形成 的系数矩阵．在交界面处，满足如下连续性条件： Ｐ１．２＝Ｐ２＿ｌ＇ （２） １，２＝一ｌ’２．１． （３） 联立式（１）一（３）即可求解所有边界上离散节 点处物理量． １．２子结构ＦＭＢＥＭ的迭代收敛 由于将子结构法应用到ＦＭＢＥＭ，其近场影响系 数矩阵由满秩矩阵变为带状矩阵，在改善了矩阵特 点的同时，又破坏了传统边界元系数矩阵对角占优 的特点，为了优化系数矩阵的条件数，选择恰当的预 处理技术已成为必须．然而对于子结构ＦＭＢＥＭ，即 便进行预条件处理，矩阵的迭代计算往往仍难于收 敛．本文研究发现，未知量列向量的构建次序及边界 节点编号顺序对迭代法的收敛速度有着重要影响． 以图１所示两子结构为例，应用子结构ＦＭＢＥＭ可 构建矩阵方程如下． １．２．１ 节点编号顺序不变，改变列向量构建次序 离散节点编号顺序为：①子结构Ｑ 的实边界 面，②子结构Ｑ 的交界面，③子结构Ｑ：的实边界 面，④子结构Ｑ：的交界面． Ｈ１２ ０ ＝ 日２ （４） ０ Ｈ１２ ＝ Ｈ２ 日２２ （５） １．２．２列向量构建次序不变，改变节点编号顺序 离散节点编号顺序为：①子结构ｎ 的实边界 面，②子结构Ｑ 的交界面，③子结构Ｑ 的交界面， ２ 哈尔滨工程大学学报 第３２卷 ④子结构Ｑ 的实边界面 Ｐ１ Ｈ１２ ０ Ｐ１２ ＝ ２ 『Ｇ】 ０１ｒ 日２。Ｇ ６ 热 进口处 ０ｌ ｇＩ 【＋１０ｌｇ ’， 振 ㈣ 出口处声 ２ Ｐ２ 离散节点编号顺序为：①子结构Ｑ。的实边界 面，②子结构Ｑ 的交界面，③子结构Ｑ 的实边界 面，④子结构ｎ：的交界面． ０ Ｐｌ２ ＝ ７ Ｇ Ｐ２ 取分析频率为５００ Ｈｚ，传播介质为空气，结构 尺寸为ａ】＝ｂ＝０．０５ ｍ，ｚ】＝０．３５ ｍ，ａ２＝ｂ＝ ０．０５ ｍ，ｆ２＝０．０８ ｍ，ｃ＝０．１５ ｍ，离散子结构Ｑ。得 到节点数Ⅳ１为１ ３８４；离散子结构Ｑ：得到节点数 Ⅳ２为４２８；总节点数Ⅳｄ为１ ８１２．为了加速ＦＭＢＥＭ 的计算，采用ＩＬＵＴ预条件处理技术与ＢＩＣＧＳＴＡＢ （１）子空间迭代法来计算整体矩阵方程，讨论其迭代 收敛状况． 表１和表２分别为改变列向量构建次序或改变 节点编号顺序下矩阵方程迭代收敛次数的比较，可 见，恰当的构建次序对应恰当的节点编号才能使之 快速收敛，从而使ＦＭＢＥＭ的高效性得以展现．综合 比较发现，对于子结构ＦＭＢＥＭ，应本着某特定原则 来构建整体矩阵方程，这一原则是：在构建矩阵方程 时，应尽量使更多的子块矩阵的对角线元素处在总 体矩阵的对角线上． 表１矩阵方程（４）、（５）的迭代次数 Ｔａｂｌｅ １ Ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（４）ａｎｄ（５） 表２矩阵方程（６）、（７）的迭代次数 Ｔａｂｌｅ ２ Ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（６）ａｎｄ（７） １．３计算实例 取进口为振速边界条件，出口为阻抗边界条件， ∞ 迎 ｆ＆Ｈｚ 图２矩形侧支管道传递损失 Ｆｉｇ．２ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｏｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｄｕｃｔ 图２为该结构的传递损失曲线，分别使用子结 构ＦＭＢＥＭ与未应用子结构技术的ＣＢＥＭ计算，可 见二者在较宽的频域内吻合较好，验证了子结构 ＦＭＢＥＭ的正确性． ２ 吸声材料引起的ＦＭＢＥＭ的修正 在阻性消声器的应用中，不可避免的要涉及声 波在吸声材料介质中的传播问题．假设吸声材料介 质分布均匀，且声波以简谐波的形式传播，则在该介 质中，密度与声速均可等效为复数形式的声参数，从 而波数也为复数．在ＦＭＢＥＭ中，格林函数的多极子 展开式的计算精度是结果准确性的重要影响因素， 而复波数对多极子展开式的计算精度有极大影响． 此外，由于复参数的引入，ＦＭＢＥＭ中某些参数的设 定需进行修正． ２．１ 复波数下的多极子展开式计算 Ｈｅｌｍｈｏｈｚ方程的基本解（即格林函数）为 Ｇ（ ，ｒｑ）＝ ， （９） 其多极子展开是将多极子方法应用于边界元法的前 提，根据Ｇｅｇｅｎｂａｕｅｒ附加定理 ，格林函数展开成 Ｇ（ ，ｒｑ） （ｋ）ＴＬＭ（ｋ）ＥＭｑ（ｋ）ｄｋ・ （１Ｏ） 其中， Ｅｐ （ｋ）＝ｅｘｐ（ｊｋ・， ）， （１１） （矗）＝∑ｊ （２ｌ＋１）ｈ （ｋｒ ）Ｐ２（ ・ ）． （１２） 式中：ｋ＝ｋ・ｓ为波数矢量，ｋ＝ｋ，＋ｊｋ 为复波数，ｓ 第４期 崔晓兵，等：阻性消声器声学性能预测的快速多极子边界元法 是单位球面的积分向量，矗＝ｋ／ｋ， 为第一类球汉克 函数 为勒让德多项式． 为多极子展 ，Ｌ为本地 ｋ／ｋｏ＝１．０＋Ｑ １０９Ｉ（上） 一ｊ０．１６０（上） Ｉ． （１７） 展开点，４点关系如图３所示为保证式（１Ｏ）成立，要求 ＜ ，且ｒＭＱ＜ｌ＇ｐＭ．格林函数的外法向导数为 ａ（Ｇ）（ｒｏ，ｒｏ） ｅｘｐ［（ｊｋｒｏ。）（ｊｋｒ。一１）］ Ｏｎｑ 一 ４订 ｑ 由于 ０Ｅ （ｋ）／Ｏｎｑ＝ｊｋ（ｎｑ‘ｋ）Ｅ嘶（七）， （１４） 其外法向导数可展开为 Ｏｎ ＝ 。 １６ Ｊ ㈩ （ ）Ｅ蛳（． ）（ｎ ‘ｋ）ｄｋ．１ （１５） ３ 图３四点关系图 Ｆｉｇ．３ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ４ ｐｏｉｎｔｓ 图４四点３－Ｄ关系图 Ｆｉｇ．４ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ４ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎ ３－Ｄ 按照１／８子组法划分结构，取展开点 、 距离 最远的情况，假设其四点３一Ｄ关系如图４所示，取空 气密度Ｐ＝１．２９ ｋｇ／ｍ ，声速ｃ＝３４３ ｍ／ｓ，对格林函 数及其导数展开式进行计算．取吸声材料为多孔介 质，流阻率 为１０ ０００ Ｒａｙｌｓ／ｍ，其等效特性声阻抗 ｚ与波数ｋ可由下式计算 ， ｒ ， ， ， ｚ／ｚ０＝１．０＋０．０７Ｉ（上）Ｌｒ ｍ 一ｊ０ ．１０７（Ｊ）Ｏ－ ｍ Ｊ， （１６） 其中，ｚ。与ｋ。分别为声波在空气介质时的特性声 阻抗与波数 为频率． ２．２ ＦＭＢＥＭ的修正 图５为格林函数及其导数在改变频率值与改变 ｒ肼值时，其理论值与展开式值幅值的比较．可见，由 于复波数的影响，无论采取何种变化方式，格林函数 及其导数展开式值均与ｋｌｒ删有重要关系，且当 。ｒｉｍ＞１２．８８时，展开式值开始与理论值相背离， ．ｊ｝。ｒ埘值越大，与理论值的误差越大． 所以对于复波数情况，当所研究问题尺寸过大 或分析频率过高时，致使ｋｉ・ｒ ＞１２．８８，而此时格 林函数及其导数展开式需由下式进行计算： ｒｌｇ Ｇ（ｒＰ，ｒｑ）＝一０．６０３ ２ｋ ＦＬＭ一０．９３８ ３， ｌｌｇ（ 二＿（ｉ ）＝一０．６０３ ４五， ＋０．２９６ ４． （１８） 此外，进行数值求解时，式（１２）需用前 项和 近似， 的取值影响着多极子展开式的求解精度． 在复波数条件下，本着缩小展开式计算失真范围的 原则， 应按照如下形式选取＿ｌ ： Ｎｏ＝ Ｉ ｋ ｌ Ｄｆ＋ａｌｎ（Ｉ ｋ ｌ Ｄ ＋ ） ＋１． （１９） 其中， ・ 表示取整，ＩｋＩ为复波数ｋ的模，Ｄ 为第ｆ 级中某组的外接球直径，本文中ａ值取为４． ５ 琳 ： ｋｉ‘ Ｍ （ａ）ｒＬＭ １ ｍ，变化值厂 琳 ： ｋｉ’ （ｂ）厂＝１ ０００Ｈｚ，变化 值 图５格林函数及其导数的幅值随ｋ ・ｒ／Ａｔ／值的变化曲线 Ｆｉｇ．５ Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ 哈尔滨工程大学学报 第３２卷 ３ 膨胀腔阻性消声器传递损失计算 图６所示为膨胀腔阻性消声器示意图，其尺寸 为ｄ＝０．０４９ ｍ，Ｄ＝０．１６４ ４ ｍ，Ｚ＝０．２５７ ２ ｍ，空气 中声速ｃ＝３４４ ｍ／ｓ，穿孔管只考虑其支撑吸声材料 的作用，吸声材料为长纤维玻璃丝绵，通过实验测量 得到的该吸声材料的特性阻抗和波数的表达式为 （空气密度） ：１．ｏ＋０＿０９５ ４ｆ ｍ —ｊｏ．ｏ８５ｆ ， ｚｎ ＼ ／ ＼ ， （２Ｏ） ＿１．０＋０．１６０ｆ ｍ ＂一ｊｏ．１８９ｆ 加・ ． ／－ｇｎ ＼ ／ ＼ ／ ・ （２１） 式中， 和ｋ。分别为空气的特性阻抗与波数．当材 料的填充密度为１００ ｇ／Ｌ和２００ ｇ／Ｌ时，测得此材料 的流阻率分别为４ ８９６ Ｒａｙｌｓ／ｍ和１７ ３７８ Ｒａｙｌｓ／ｍ． 吸声材料流阻率的测量方法可参考文献［１４］． 离散该消声器子结构Ｑ 和Ｑ ，得到节点数Ⅳｌ 为６７０，Ⅳ２为２ ２３４．应用上述子结构ＦＭＢＥＭ技术 与修正，计算其传递损失并与子结构边界元法¨ 比 较，结果如图７所示．可见，在２种不同的吸声材料 填充密度下，子结构ＦＭＢＥＭ计算结果在分析频域 内与子结构ＢＥＭ有着相同的精度，说明了在将ＦＭ— ＢＥＭ延伸到多介质复合声场计算时，本文所述方法 与技术的有效性． 图８所示为分析频率为５００ Ｈｚ时，应用子结构 ＦＭＢＥＭ与子结构ＢＥＭ，计算该阻性消声器传递损 失所耗费时间随总边界节点数Ｎ。（Ｎ ＋Ⅳ２）的变化 关系曲线，台式ＰＣ机运行环境为：奔腾４处理器， 主频２．９３ ＧＨｚ，内存２ Ｇ．可见当 小于３ ０００左 右时，边界元法的计算略快于ＦＭＢＥＭ，但随着节点 数的增大，ＦＭＢＥＭ的计算时间将远远低于边界元 法，展现出了ＦＭＢＥＭ在未知节点数庞大，即处理大 尺寸声场声学问题方面的优势． 图６膨胀腔阻性消声器示意图 Ｆｉｇ．６ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃｈａｍｂｅｒ ｓｉｌｅｎｃｅｒ ８０ ７０ ∞６０ 垃２０ １０ ｆ／Ｈｚ 图７膨胀腔阻性消声器传递损失曲线 Ｆｉｇ．７ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｌｏｓｓ ｏｆ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃｈａｍｂｅｒ ｓｉｌｅｎｃｅｒ 垦 苔 潋 节点数Ｎ 图８总计算时间随边界节点数变化曲线 Ｆｉｇ．８ Ｔｏｔａｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｔｉｍｅ ｖｅｒｓｕｓ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｏｄｅｓ ４ 结束语 本文成功地将子结构技术应用于ＦＭＢＥＭ，提出 了整体矩阵方程的构建原则，大大改善了子结构 ＦＭＢＥＭ的迭代收敛特性．并针对由吸声材料介质 引起的格林函数多极子展开式失真问题，对其提出 了修正．以阻性消声器传递损失计算为例，通过与子 结构边界元法比较表明，该方法不但能保证足够的 计算精度，而且在分析频率一定时，计算的未知节点 数越大，其计算效率越高，是处理大尺度声场问题的 有力工具． 此外，由于复数形式声参数的影响，ＦＭＢＥＭ在 非空气介质中的修正需要进一步补充与探讨；当，ｖ 值过大时所带来的ＦＭＢＥＭ计算效率降低等问题仍 需进行研究． 参考文献： ［１］ＲＯＫＨＬＩＮ Ｖ．Ｒａｐｉｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｉ— ｃａｌ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｉｏｎａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ， １９８５，６０：１８７－２０７． ［２］ＮＩＳＨＩＭＵＲＡ Ｎ．Ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｉｎｔｅ— ｇｒａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ 第４期 崔晓兵，等：阻性消声器声学性能预测的快速多极子边界元法 ・４３３・ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ，２００２，５５（４）：２９９－３２４． ［３］ＳＨＥＮ Ｌ，ＬＩＵ Ｙ Ｊ．Ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅ— ｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００７，３９（６）：６８１－６９１． ［４］ＺＨＡＯ Ｊ Ｓ，ＣＨＥＷ Ｗ Ｃ．Ｔｈｒｅｅ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍｕｈｉｌｅｖｅｌ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｌａｇｏｒｉｔｈｍ ｆｒｏｍ ｓｔａｔｉｃ ｔｏ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｍｉ－ ｃｒｏｗａｖｅ Ｏｐｔ Ｔｅｃｈｎｏｌ Ｌｅｔｔ，２０００，２６：４３－４８． ［５］ＬＩＵ Ｙ Ｊ，ＮＩＳＨＩＭＵＲＡ Ｎ，ＯＴＡＮＩ Ｙ，ｅｔ １ａ．Ａ ｆａｓｔ ｂｏｕｎｄａ・ ｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｆｉｂｅｒ．．ｒｅｉｎｆｏｒｃｅｄ ｃｏｍ．． ｐｏｓｉｔｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｒｉｇｉｄ—ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＡＳＭＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００５，７２（１）：１１５—１２８． 『６］ＬＩＵ Ｙ Ｊ．Ａ ｎｅｗ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ２－Ｄ Ｓｔｏｋｅｓ ｆｌｏｗ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｄｕａｌ ＢＩＥ ｆｏｒ－ ｍｕｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｅｌｅ－ ｍｅｎｔｓ，２００８，３２（２）：１３９—１５１． ［７］ＦＵＫＵＩ Ｔ，ＫＯＺＵＫＡ Ｍ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｏｕｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｉｆｆｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｈａｌｆ ｓｐａｃｅ ｂｙ ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ ｏｆ １７ｔｈ Ｊａｐａｎ Ｎａｔｌ Ｓｙｍｐ ｏｎ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｊａｐａｎ．２０００． ［８］ＳＡＡＤ Ｙ．Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆｒ ｓｐａｒｓｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］． Ｂｏｓｔｏｎ：ＰＷＳ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙ，１９９６：１７６・１８１． ［９］王雪仁，季振林．快速多极子声学边界元法及其应用研 究［Ｊ］．哈尔滨工程大学学报，２００７，２８（７）：７５２－７５７． ＷＡＮＧ Ｘｕｅｒｅｎ，ＪＩ Ｚｈｅｎｌｉｎ．Ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ａｃｏｕｓｔｉｃ ＢＥＭ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｒｂｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｉｒｎｇ Ｕｎｉ— ｖｅｒｓｉｔｙ，２００７，２８（７）：７５２－７５７． ［１０］ＳＡＫＵＭＡ Ｔ，ＹＡＳＵＤＡ Ｙ．Ｆａｓｔ ｍｕｈｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅ－ ｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ－－ｓｃａｌｅ ｓｔｅａｄｙ・－ｓｔａｔｅ ｓｏｕｎｄ ｆｉｅｌｄ ａｎａｌｙ－・ ｓｉｓ，ｐａｒｔ Ｉ：ｓｅｔｕｐ ａｎｄ ｖａｌｉｄａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｃｕｓｔｉｃａ ｕｎｉｔｅｄ ｗｉｔｈ Ａｃｕｓｔｉｃａ，２００２，８８：５１３－５２５． ［１ １］ＹＡＳＵＤＡ Ｙ，ＳＡＫＵＭＡ Ｔ．Ｆａｓｔ ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｌｅ— ｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ－・ｓｃａｌｅ ｓｔｅａｄｙ・－ｓｔａｔｅ ｓｏｕｎｄ ｆｉｅｌｄ ａｎａｌｙ・－ ｓｉｓ．Ｐａｒｔ ＩＩ：ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｕｍｅｉｒｃａｌ ｉｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｃｕｓｔｉｃａ ｕｎｉｔｅｄ ｗｉｔｈ Ａｃｕｓｔｉｃａ，２００３，８９：２８－３８． ［１２］ＡＢＲＡＭＯＷＩＴＺ Ｍ，ＳＴＥＧＵＮ Ｉ．Ａ．Ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ Ｍａｔｈｅ— ｍａｔｉｅａｌ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｄｏｖｅｒ，１９６５：５６１— ５７１． ［１３］ＭＩＫＩ Ｙ．Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｐｏｒｏｕｓ ｍａｔｅｒｉｌａｓ ｍｏｄｉｉｆ— ｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｄｅｌｎａｙ—Ｂａｚｌｅｙ ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｊ Ａｃｏｕｓｔ Ｓｏｃ Ｊｐｎ， １９９０，１１：１９－２４． ［１４］Ａｍｅｉｒｃａｎ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｆｏｒ Ｔｅｓｔｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ．ＡＳＴＭ Ｃ ５２２— ８７．Ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ａｉｒｆｌｏｗ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ ｍａｔｅｒｉｌａｓ［Ｓ］．（Ｓ．１）．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ ＰＡ １９９３． ［１５］ＪＩ Ｚｈｅｎｌｉｎ．Ａｃｏｕｓｔｉｃ ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｐｅｒｆｏｒａｔｅｄ ｔｕｂｅ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｓｉｌｅｎｃｅｒｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１８（４）：４５３４５７． ［责任编辑：陈峰］
