椭圆专题复习讲义

★知识梳理★

1. 椭圆定义：

（1）第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a|F2F2|)的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点.

（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程 性 质 参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 x2y221(ab0) 2aby2x221(ab0) 2aba2b2c2 (c,0),(c,0) (0,c),(0,c) 2c |x|a,|y|b |y|a,|x|b (a,0),(a,0),(0,b),(0,b) e(0,a),(0,a),(b,0),(b,0) c(0,1) a关于x轴、y轴和原点对称 准线 a2xc a2yc 考点1 椭圆定义及标准方程

题型1:椭圆定义的运用

[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

y P A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)ACA,此时小球经过的路程为2(a－c); (2)ABDBA, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)APBQA此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 1.短轴长为5，离心率e

A.3

B.6

Q C A O D B x 2的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ） 3 C.12

D.24

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x2y21上的一点，M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则2.已知P为椭圆

2516PMPN的最小值为（ ）

A． 5 B． 7 C ．13 D． 15

222

3．设k＞1，则关于x，y的方程（1﹣k）x+y=k﹣1所表示的曲线是（ ） A.长轴在x轴上的椭圆 B.实轴在y轴上的双曲线 C.实轴在x轴上的双曲线 D.长轴在y轴上的椭圆 4．椭圆9x2y29的长轴长为（ ） A．2 B.3 C.6 D. 9

x2y25．已知椭圆221（ab0）的两个焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的

ab另外两条边，且FF124，则a等于___________.

题型2 求椭圆的标准方程

[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来

x2y2x2y2[解析]设椭圆的方程为221或221(ab0)，

abbabc则ac4(21)， a2b2c2x2y2x2y21或1. 解之得：a42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为

32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系．

［警示］易漏焦点在y轴上的情况．

22

1. 如果方程x+ky=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

2．已知F11,0,F21,0是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N两点，若MF2N的周长为8，则椭圆方程为（ ）

x2y2y2x2y2x2x2y21 B.1 C.1 D.1 A.

1615161543433．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为（ ）

122，它的长轴长等于圆xy2x150的半径，则椭圆的标准方程是2xx2y2x2y2x2y22y1 C．1 D．1 1 B．A．

416121434.已知方程xcosysin1,(0,),讨论方程表示的曲线的形状

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2225. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，

求这个椭圆方程.

考点2 椭圆的几何性质

题型1:求椭圆的离心率（或范围）

[例3 ] 在△ABC中，A300,|AB|2,SABC3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率

e ．

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] SABC1|AB||AC|sinA3， 2|AC|23，|BC||AB|2|AC|22|AB||AC|cosA2 e|AB|231 |AC||BC|2322【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.

1532 B. C. D.

2422x2y21的离心率为 2.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆

mn3．已知椭圆方程线段ON的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.

，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么

x2y24．设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，

abC的离心率为（ ） 若PF1F230，则椭圆

A．

1133 B． C． D． 6363x2y221(0b23)与渐近线为x2y0的双曲线有相同的焦点F1,F2,P为它们的一个公共点,5．椭圆

12b第 ３ 页 共 16 页

且F1PF290,则椭圆的离心率为（ ) （A）6213015 （B) （C） （D) 66666．已知椭圆C的上、下顶点分别为B1、B2，左、右焦点分别为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e等于 A．

1123 B． C． D． 3222+

=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则

7．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：椭圆C的离心率为（ ） A．

B．

C． D．

8．椭圆C的两个焦点分别是F1,F2，若C上的点P满足|PF1|（ ） A．e3|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是2111111 B．e C．e D．0e或e1 244242x2y29．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，

ba则椭圆的离心率e为( ) A．31511513 B． C． D． 2244题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

x2y21,求x2y2x的最大值与最小值 [例4 ] 已知实数x,y满足42【解题思路】 把xyx看作x的函数

221x2y21得y22x2, [解析] 由

242212x02x2 2113x2y2xx2x2(x1)2,x[2,2]

22232222当x1时,xyx取得最小值,当x2时,xyx取得最大值6

2

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【新题导练】

x2y21.已知点A,B是椭圆221（m0，n0）上两点,且AOBO,则=

mnx2y22.如图，把椭圆1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于

2516F是椭圆的一个焦点 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，

则PF________________ PP12FPF34FP5FP6FP7F

x2y21上存在两点A、B关于直线y4xm对称，求m的取值范围. 3．已知椭圆43

考点3 椭圆的最值问题

x2y21上的点到直线l:xy90的距离的最小值为___________． [例5 ]椭圆

169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

[解析]在椭圆上任取一点P,设P(4cos,3sin). 那么点P到直线l的距离为：

|4cos3sin12|12122|5sin()9|22. 2【名师指引】也可以直接设点P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】

x2y21的内接矩形的面积的最大值为 1.椭圆

169x2y22. P是椭圆221上一点，F1||PF2|的最大值与最小值 1、F2是椭圆的两个焦点，求|PFabx2y21上的在第一象限内的点，又A(2,0)、B(0,1)， 3.已知点P是椭圆4O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________．

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x2y21上的动点，则zx2y的最大值为 4．已知P(x,y)是曲线C:43A.4 B.5 C.2 D.3 5．点P(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点，则x2y的最大值为（ ）． A．22 B．23 C．11 D．22

x2y21的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最小值为 6．若点O和点F分别为椭圆2A．22 B．

227．动点P(x,y)在椭圆xy1上,若A点坐标为(3,0),|AM|1,且PMAM0,则|PM|的最小值是（ )

25161 C．22 D．1 2A.2 B.3 C.2 D.3

x2y21上有两个动点P,Q，E3,0为定点，EPEQ，则EPQP的最小值为（ ） 8．在椭圆

369A.6 B.33 C.9 D.1263

x2y29．[2014·福建调研]若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

34OP·FP的最大值为( )

A.2 B.3 C.6 D.8

中点弦问题

x2y21．已知椭圆1，则以点M(1,1)为中点的弦所在直线方程为( )．

43A．3x4y70 B．3x4y10 C．4x3y70 D．4x3y10

x2y21，则以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为( )． 2．已知椭圆1216A．3x8y190 B．3x8y130 C．2x3y80 D．2x3y40

x2y21的一条弦被A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 3.椭圆

369A．x2y0 B．2xy100 C．2xy20 D．x2y80

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焦点弦问题

1．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．

2．（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆

考点4 椭圆的综合应用

题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题

[例6 ] 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且AP3PB． （1）求椭圆方程； （2）求m的取值范围．

【解题思路】通过AP3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等

式

+y=1的焦点，点A，B在椭圆上，若

2

=5；则点A的坐标是 _________ ．

y2x2[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C:221(ab0)

ab222由条件知a1且bc，又有abc，解得 a1,bc2 2x2c221 故椭圆C的离心率为e，其标准方程为：y1a22（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

y＝kx＋m

2 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 22x＋y＝1

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） －2kmm2－1x1＋x2＝2， x1x2＝2

k＋2k＋2

x1＋x2＝－2x2

∵AP＝3PB ∴－x1＝3x2 ∴ 2

x1x2＝－3x2

－2km2m2－1

消去x2，得3（x1＋x2）＋4x1x2＝0，∴3（2）＋42＝0

k＋2k＋2

2

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0

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2

12122－2mm＝时，上式不成立；m≠时，k＝2， 444m－12

2－2m211

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k＝2>0，∴－1224m－1

2

容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立 11

即所求m的取值范围为（－1，－2）∪（2，1）

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】

1.设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA，且OQAB1，则P点的轨迹方程是 （ ）

323x3y21x0,y0 B. x23y21x0,y0 22323222C. 3xy1x0,y0 D. 3xy1x0,y0

22 A.

33AB(x,3y),OQ(x,y)x23y21，选A. [解析]

222. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|2的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）

由题设可得

|PA||PB||CA||CB|2223222()222 2222x2y2∴动点P的轨迹方程为221(ab0)，

ab则a2,c1.ba2c21

x2y21 ∴曲线E方程为2（2）直线MN的方程为yk(x1),设M(x1,y1),设M(x1,y1,),N(x2,y2) 由yk(x1)2222得(12k)x4kx2(k1)0 22x2y208k280

∴方程有两个不等的实数根

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4k22(k21)x1x2,x1x2

22k212k2BM(x11,y1),BN(x21,y2)

BMBN(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x11)(x11) (1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k2

2(k21)4k27k2122(1k)(k1)()1k 22212k12k12k2∵∠MBN是钝角

BMBN0

7k210 即212k解得：77 k77又M、B、N三点不共线

k0

综上所述，k的取值范围是(基础巩固训练

1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且BDB190,则椭圆的离心率为( ) A

77,0)(0,) 7731 B 251 C 2351 D

22x22

2. 设F1、F2为椭圆+y=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，PF1PF2的值为

4A、0 B、1 C、2 D、3 4.在△ABC中，A90，tanB3．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率4e ．

5. 已知F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若PF1F2:PF2F1:F1PF21:2:3, 则此椭圆的离心率为

_________. a2x2y26.在平面直角坐标系中，椭圆221( ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点,0作圆

abc的两切线互相垂直，则离心率e= ．

综合提高训练

x2y21、已知椭圆221(ab0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率

ab第 ９ 页 共 16 页

e3．求椭圆方程 2

x2y222、已知A、B分别是椭圆221的左右两个焦点，O为坐标原点，点P(1,）在椭圆上，线段PB与y轴

2ab的交点M为线段PB的中点。 （1）求椭圆的标准方程；

（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求

3. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy. (Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

D sinAsinB的值。

sinCy C A O B x

[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为2,0,2,0,2,1.

图8

x2y2设椭圆的标准方程是221ab0.

ab则2aACBC22102222210

2422a2

b2a2c2422.

x2y21. 椭圆的标准方程是42(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为ykx2k0. 设M,N两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2.

ykx2联立方程:2 2x2y4第 １０ 页 共 16 页

消去y整理得,12k2x28kx40 有x1x28k4,xx 1212k212k2若以MN为直径的圆恰好过原点,则OMON,所以x1x2y1y20, 所以,x1x2kx12kx220, 即1k2x1x22kx1x240

41k216k240 所以,

12k212k284k20, 即

12k2得k22,k2.

所以直线l的方程为y2x2,或y2x2.

所以存在过P(0,2)的直线l:y2x2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.

参考例题：

x2y2A为椭圆的右顶点，B是椭圆1、从椭圆221(ab0)上一点P向x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点F1,

ab的上顶点,且ABOP(0).

⑴、求该椭圆的离心率.

⑵、若该椭圆的准线方程是x25，求椭圆方程. [解析] ⑴、

ABOP，AB∥OP，△PFO1∽△BOA,

c2PF1b2cbc， 又P(c,y)221PF12，bc, PF1abaBOOAaaPF1FO122而abca2ce2222. 2a225a225c, ⑵、x25为准线方程，ca225ca210x2y21． 由bc． 所求椭圆方程为2105b5a2b2c22、设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若F1PF23，证明：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关

PF221||PF2|2a(PF1||PF2|)4a [解析]由， 得222222|PF1||PF2||F1F2|2|PF1||PF2|cos|PF1||PF2|4c|PF1||PF2|34232222|PF||PF|bSb，命题得证 ，3|PF||PF|4(ac)4b12F1PF21233第 １１ 页 共 16 页

综合椭圆试题

1．已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y＝bx＋2，椭圆的离心率e＝6，坐标原点到直线l的距离为2． 3（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

1 ，它的一个顶点恰好是抛物线x283y的焦点. 2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点， ①若直线AB的斜率为

1，求四边形APBQ面积的最大值； 2②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

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x2y223．已知椭圆221,ab0的离心率为，且过点2,2

ab2

（1）求椭圆的标准方程：

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD（ⅰ）求OAOB的最值：

（ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.

4．已知椭圆E：

b22

axa22yb22e1a 0,b 0的离心率 13P3,) ，并且经过定点 (22（1）求椭圆 E 的方程；

（2）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OAOB,若存在求 m 值，若不存在说明理由．

x2y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的 5．已知椭圆C1的方程为4左、右顶点分别是C1的左、右焦点． （1）求双曲线C2的方程；

（2）若直线l:ykx2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2（其中O为原点），求实数k的范围．

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x2y21的左，右焦点. 6．设F1,F2分别是椭圆4（1）若P是椭圆在第一象限上一点，且PF1PF25，求P点坐标； 4（2）设过定点(0,2)的直线l与椭圆交于不同两点A,B，且AOB为锐角（其中O为原点），求直线l的斜率k的取值范围.

y2x237．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线

ab2xy20相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E、F两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．

yBFOEAxx2y27．如图所示，F1、F2分别为椭圆C：221(ab0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知顶点

abB(0,3)到F1、F2两点的距离之和为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求椭圆C上任意一点M(x0,y0)到右焦点F2的距离的最小值；

（3）作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时F1PQ的面积.

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x2y28．椭圆221a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点.

ab11（1）求22ab的值；

（2）若椭圆的离心率e满足

33≤

e≤

2，求椭圆长轴的取值范围. 29．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C右焦点F(1,0)，且e（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

1 2（Ⅱ）若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B都不是顶点），且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

10．已知椭圆的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy220的距离为3． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为k(k0)，且过定点Q(0,2)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M,N，且AMAN？若存在，求出直线l的方程;若不存在,请说明理由．

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x2y2C:221(ab0)22ab11．给定椭圆，称圆心在坐标原点O，半径为ab的圆是椭圆C的“伴随圆”.若椭圆

C的一个焦点为F2(2,0)，其短轴上的一个端点到F2距离为3． （Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点P(0,m)(m0)的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2，使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.

12．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率是

，且点P（1，

）在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点D（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，试求△OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

x2y213．已知圆G：xy2x2y0经过椭圆221(ab0)的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m,0）

ab22(ma)倾斜角为

5的直线L交椭圆与C、D两点. 6（1）求椭圆的方程;

（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围.

14．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x4y的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若MA1AF,MB2BF, 求证12为定值.

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