新教材高一下数学经典例题
22．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）． （1）写出X的所有可能值构成的集合；
（2）假设a1，a2，a3，a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．
（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互）； （ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由． 【解答】解：（1）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}， 在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，
所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数， 因此|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，
从而X＝（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8．
由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子． （2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列， 计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到
X P
1
0
31
2
7
4
4
6
9
8
4
24
39
24
7
242424
EX=0×24+2×24+4×24+6×24+8×24=5．
（3）（ⅰ）首先P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝2）=24=6，将三轮测试都有X≤2的
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1
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概率记做p，
由上述结果和性假设，得p=
1
5
11=． 32166
（ⅱ）由于p=216＜1000是一个很小的概率，
这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．
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