2020北京西城高三二模数学含答案

数 学 2020.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项．

1．设集合A=xx3，B=xx=2k,kZ，则AB=

（A）0,2

（B）−2,2

（C）−2,0,2

2．若复数z满足zi=−1+i，则在复平面内z对应的点位于

（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

3．下列函数中，值域为R且区间(0,+)上单调递增的是

（A）y=−x3

（B）y=xx

（C）y=x−1

4．抛物线x2=4y的准线方程为

（A）x=1

（B）x=−1

（C）y=1

5．在ABC中，若a:b:c=4:5:6，则其最大内角的余弦值为

（A）18

（B）

14 （C）

310 6．设a=30.2，b=log32，c=log0.23，则

（A）acb

（B）abc

（C）bca

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

1 / 13

D）−2,−1,0,1,2

D）第四象限

D）y=x

D）y=−1

D）35

（D）bac

（（（（（（A）6 （B）4 （C）3 （D）2

8．若圆x2+y2−4x+2y+a=0与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是

（A）(−,1]

（B）(−,0]

（C）[0,+)

（D）[5,+)

9．若向量a与b不共线，则“a•b0”是“2a−ba+b”的

（A）充分而不必要条件 （C）充要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

10．设函数f(x)=(x−1)ex．若关于x的不等式f(x)ax−1有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是

e2（C）1,

2e2+1（D）1,

2（A）(0,e]

（B）(0,e]

2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量a=(1,−2)，b=(k,2)满足a⊥b，则b=____．

x2y2=1(a0)经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____． 12．若双曲线2−a1613．设函数f(x)=sin2x+2cos2x，则函数f(x)的最小正周期为____；若对于任意xR，都有f(x)m成立，则

实数m的最小值为____．

14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，

其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．

甲的猜测 乙的猜测 丙的猜测 丁的猜测 甲获奖 √ × × ○ 乙获奖 × ○ √ ○ 丙获奖 × ○ × √ 丁获奖 √ √ √ × 2 / 13

15．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E,F,H分别是棱

PB,BC,PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P−ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于46； ②截面是一个五边形；

③截面只与四棱锥P−ABCD四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）

如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE=2BF=2．

（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面ADE； （Ⅱ）求钝二面角D−AE−F的余弦值．

17．（本小题满分14分）

从①前n项和Sn=n2+p(pR)，②an=an+1−3，③a6=11且2an+1=an+an+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．

在数列an中，a1=1，_______，其中nN*． （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）若a1,an,am成等比数列，其中m,nN*，且mn1，求m的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18．（本小题满分14分）

某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．

（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；

（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10

元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的

种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．

19．（本小题满分14分）

x2y21已知椭圆C:2+2=1(ab0)的离心率为，右焦点为F，点A(a,0)，且AF=1．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M,N，直线MA,NA分别与直线x=4交于点P，Q，求

PFQ的大小．

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20．（本小题满分15分）

设函数f(x)=aex+cosx，其中aR． （Ⅰ）已知函数f(x)为偶函数，求a的值； （Ⅱ）若a=1，证明：当x0时，f(x)2；

（Ⅲ）若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设N为正整数，区间Ik=[ak,ak+1]（其中akR，k=1,2,①对任意x[0,100]，存在k使得xIk； ②对任意k1,2,,N，存在x[0,100]，使得xIi（其中i=1,2,,N）同时满足下列两个条件：

,k−1,k+1,,N）．

（Ⅰ）判断ak(k=1,2,（Ⅱ）求N的最小值；

,N)能否等于k−1或

k−1；（结论不需要证明）． 2（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由．

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2020北京西城高三二模数学

参考到案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 6. B

2．A 7. D

3．B 8. A

4．D 9. A

5. A 10. D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．25 14．乙，丁

12．y=2x 15．② ③

13．π，2+1

注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为DE//BF，DE平面ADE，BF平面ADE，

所以BF//平面ADE. ……………… 3分 同理，得BC//平面ADE. 又因为BCBF=B，BC平面BCF，BF平面BCF，

所以平面BCF//平面ADE. ……………… 6分 （Ⅱ）由DE⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，

得DA,DC,DE两两垂直，故分别以DA,DC,DE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 则D(0,0,0)，E(0,0,2)，F(2,2,1)，A(2,0,0)， 所以AE=(−2,0,2)，AF=(0,2,1). ……… 8分 设平面AEF的法向量n=(x,y,z)， −2x+2z=0, 由AEn=0，AFn=0，得

2y+z=0, 6 / 13

令y=1，得n=(−2,1,−2). ………………11分 平面DAE的法向量m=(0,1,0).

设钝二面角D−AE−F的平面角为，

则 |cos|=|cosm,n|=|mn1|=，

|m||n|311 所以cos=−，即钝二面角D−AE−F的余弦值为−. ……………… 14分

3317．（本小题满分14分）

解：选择 ①：

(Ⅰ) 当n=1时，由S1=a1=1，得p=0. 当n≥2时，由题意，得Sn−1=(n−1)2， 所以an=Sn−Sn−1=2n−1（n≥2）. 经检验，a1=1符合上式，

所以a2n−1(nN*n=). (Ⅱ)由a21,an,am成等比数列，得an=a1am， 即(2n−1)2=1(2m−1). 化简，得m=2n2−2n+1=2(n−1212)+2， 因为m，n是大于1的正整数，且mn，

所以当n=2时，m有最小值5． 选择 ②:

(Ⅰ)因为an=an+1−3，所以an+1−an=3． 所以数列{an}是公差d=3的等差数列． 所以an=a1+(n−1)d=3n−2(nN*). (Ⅱ)由a21,an,am成等比数列，得an=a1am， 7 / 13

……………… 2分 ……………… 3分 ……………… 5分 ……………… 6分

……………… 8分 ……………… 9分

……………… 11分

分

……………… 2分 ……………… 4分 ……………… 6分

……………… 8分 ……………… 14 即(3n−2)2=1(3m−2). ……………… 9分

2222 化简，得m=3n−4n+2=3(n−)+， ……………… 11分

33 因为m，n是大于1的正整数，且mn，

所以当n=2时，m取到最小值6． ……………… 14分 选择 ③： (Ⅰ) 由2an+1=an+an+2，得an+1−an=an+2−an+1.

所以数列{an}是等差数列． ……………… 2分

又因为a1=1，a6=a1+5d=11，

所以d=2． ……………… 4分 所以an=a1+(n−1)d=2n−1(nN*). ……………… 6分

2=a1am， ……………… 8分 (Ⅱ) 因为a1,an,am成等比数列，所以an 即(2n−1)2=1(2m−1). ……………… 9分

1212 化简，得m=2n−2n+1=2(n−)+， ……………… 11分

22 因为m，n是大于1的正整数，且mn，

所以当n=2时，m有最小值5． ……………… 14分 18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，…………… 1分 由图表，得(0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4)0.05=1，

解得a=2.4. ……………… 2分 由图表，知“C级”种子的频率为(0.4+1.2+2.4)0.05=0.2， ………… 3分

故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2. 因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，

所以事件M的概率P(M)=1−0.2=0.8. ……………… 5分

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（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为(4.4+1.2+0.4)0.05=0.3， 恰好是“B级”康乃馨的概率为(4.0+6.0)0.05=0.5，

恰好是“C级”的概率为(0.4+1.2+2.4)0.05=0.2. ……………… 7分 随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40， 且P(X=20)=0.20.2=0.04， P(X=25)=0.20.5+0.50.2=0.2，

P(X=30)=0.50.5+0.30.2+0.20.3=0.37， P(X=35)=0.30.5+0.50.3=0.3，

P(X=40)=0.30.3=0.09. ……………… 9分 所以X的分布列为：

X P 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 ……………… 10分 故X的数学期望E(X)=200.04+250.2+300.37+350.3+400.09=31. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 19．（本小题满分14分）

y c1=,解：（Ⅰ）由题意得a2

a−c=1,M O F N Q 解得a=2，c=1， …………… 3分 从而b=a−c=3，

x2y2 所以椭圆C的方程为+=1． … 5分

4322A x P 33 （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，有M(1,)，N(1,−)，P(4,−3)，Q(4,3)，F(1,0)，

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则FP=(3,−3)，FQ=(3,3)，故FPFQ=0，即PFQ=90． ………… 6分 当直线l的斜率存在时，设l:y=k(x−1)，其中k0． ……………… 7分 联立y=k(x−1), 3x2+4y2=12, 得(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0． ……………… 8分 由题意，知0恒成立，

设M(x8k24k2−121,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4k2+3，x1x2=4k2+3． ………… 9分 直线MA的方程为y=y1x(x−2)． ……………… 10分 1−2 令x=4，得y2y12yP=x，即P(4,1)． ……………… 11分 1−2x1−2 同理可得Q(4,2y2x)． ……………… 12分 2−2 所以FP=(3,2y1x−2)，FQ=(3,2y2x)． 12−2 因为FPFQ=9+4y1y24k2(x=9+(x1−1)(x2−1)4k2[x1x2−(x1+x2)+1]1−2)(x2−2)(x−2)(x=9+)+4 12−2)x1x2−2(x1+x24k2(4k2−12−8k2 =9+4k2+34k2+3+1)4k2[(4k24k2−122=9+−12)−8k2+(4k2+3)](4k2−12)−16k2+4(4k2+3)=0，4k2+3−16k4k2+3+4PFQ=90．

综上，PFQ=90. ……………… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数f(x)为偶函数，

所以f(−π)=f(π)，即ae−π−1=aeπ−1， ……………… 2分 解得a=0.

验证知a=0符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）f(x)=ex−sinx. ……………… 6分

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所以 由x0，得ex1，sinx[−1,1]， ……………… 7分 则f(x)=ex−sinx0，即f(x)在(0,+)上为增函数.

故f(x)f(0)=2，即f(x)2. ………………9 分

x（Ⅲ）由f(x)=ae+cosx=0，得a=−cosx. ex设函数h(x)=−cosx，x[0,π]， ……………… 10分 ex则h(x)=sinx+cosx. ……………… 11分

ex3π. 4

令h(x)=0，得x=随着x变化，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示：

x (0,3π) 43π 40 极大值 (3π,π) 4h(x) + ↗ − ↘ h(x) 所以h(x)在(0,3π3π)上单调递增，在(,π)上单调递减. ……………… 13分

44−π3π2−34πe， 又因为h(0)=−1，h(π)=e，h()=42cosx3π3π2−34πa=−所以当a[e,时，方程在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间[0,)与(,π]e)xe442−π上各有一个解.

2−34πe). ……………… 15分 即所求实数a的取值范围为[e,2−π21．（本小题满分14分）

解：(Ⅰ) ak可以等于k−1，但ak不能等于

(Ⅱ) 记b−a为区间[a,b]的长度，

k−1. ……………… 3分 2 11 / 13

则区间[0,100]的长度为100，Ik的长度为1.

由①，得N≥100. ……………… 6分 又因为I1=[0,1]，I2=[1,2]，

，I100=[99,100]显然满足条件①，②.

所以N的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ) N的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：

（1）首先，证明N≤200. 由②,得I1,I2, 不妨设a1a2,IN互不相同，且对于任意k，Ikan.

[0,100].

如果a2≤0，那么对于条件②，当k=1时，不存在x[0,100]，使得xIi(i=2,3, 这与题意不符，故a20. ……………… 10分 如果ak+1≤ak−1+1，那么IkIk−1,N).

Ik+1，

这与条件②中“存在x[0,100]，使得xIi(i=1,2, 故ak+1ak−1+1.

所以a4a2+11，a6a4+12， 则a200+1100. 故I1,k−1,k+1,N)”矛盾，

，a200a198+199，

I2I200[0,100].

若存在I201，这与条件②中“存在x[0,100]，使得xIi(i=1,2,,200)”矛盾，

所以N≤200. ……………… 12分 （2）给出N=200存在的例子 .

令ak=−1100+(k−1)，其中k=1,2,2199,200，即a1,a2,,a200为等差数列，公差d=100. 199

由d1，知IkIk+1，则易得I1I21201I200=[−,]，

22 所以I1,I2,,I200满足条件①.

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又公差d=1001， 1992 所以

100100(k−1)Ik，(k−1)Ii(i=1,2,199199,k−1,k+1,N).（注：

100(k−1) 199为区间Ik的中点对应的数） 所以I1,I2,,I200满足条件②.

综合（1）（2）可知N的最大值存在，且为200. ……………… 14分 word下载地址

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