不等式基本性质教学设计(共5篇)

第1篇：不等式性质教学设计 2022-2022学年度第二学期关集中心校七年级数学组导学案专用纸 主备人：胡伟 审核人： 使用人：

第11周 讨论时间：

不等式的根本性质〔1〕

教学设计

学习目标

1、理解、掌握不等式的根本性质；

2、能够运用不等式的根本性质解决有关问题.重点难点

重点：不等式的三个性质.难点：不等式性质3的探索及运用.解决方法：不等式的根本性质3的导出，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜测结论、验证等环节来突破的.并在理解的根底上加强练习，以期到达学生稳固所学知识的目的.教学方法

先学后教、讨论、探究、讲练结合 教具准备

多媒体，或小黑板 教学设计流程

问题：等式有哪些性质?〔学生交流3-5分钟〕 学生答复等式的性质：

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性质1 等式两边同时加〔或减〕同一个数〔或式子〕，结果仍相等.性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.此次活动中教师应重点关注：

〔1〕学生对已学过的等式性质内容的记忆，及表达语言的准确性； 〔2〕学生对等式性质得出过程的回忆.探讨不等式的根本性质.〔学生读文8-10分钟后，研讨并解决下面问题〕 如果a>b，那么，在数轴上表示a的点A位于表示b的点B的右侧，画图表示.

〔一〕做做

1.请你在上面的数轴上画出表示a＋3和b＋3的点来，哪个点在右侧?并用不等号连接下面的式子： a＋3______b＋3.类似地，应有 a＋c______b＋c.2.如果在a>b的两边都减去同一个数或同一个整式，你认为应该有怎样的结论? 让学生多举出几组数据，结合数轴来比拟出两组数的大小关系.〔以小组为单位，充分讨论，通过交流得出结论〕.不等式的根本性质1：如果a>b，那么 a＋c>b＋c，a－c>b－c.就是说，不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

〔二〕探究

1.根据8>3，用“>〞或“ 8×2_______3 × 2； 8×〔－2〕_______3×〔－2〕.8× _______3× ； 8×〔－〕_______3×〔－ 〕.8×0.01______3×0.01； 8×〔－0.01〕_______3×〔－0.01〕.2.对于8>3，在不等式两边乘同一个正数，不等号方向改变吗? 3.对于8>3，在不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变吗? 4.你有什么发现?再举几例，验证你的结论.通过多组数据，观察、思考、一起探究两组数的大小关系.学生在填空的根底上分组探索不等式的性质.教师深入小组参与活动，观察指导学生的探究方法，并倾听学生的讨论.此次活动是本节课的核心活动，对学生有一定的难度，有些学生可能会直接把等式的性质加以

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修改，推广得到不等式的性质，而忽略了不等式的两边乘或除以同一个正数或同一个负数时的不同结论，此时教师应引导学生注意观察题目，并继续举几个例子让学生观察比照，体会不等式性质与等式性质的异同，用自己的语言描述发现的规律.不等式的根本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc.不等式的根本性质3：如果a>b，并且c 〔三〕例题

例 根据不等式的根本性质，把以下不等式化成x>a或x2； 〔2〕2x20.学生完成，举手答复以下问题.教师填写答案，并对学生出现的问题给予指导，进一步稳固不等式的性质.此次活动中教师应重点关注：

〔1〕学生能否说出填空根据的是不等式的哪一条性质； 〔2〕学生对不等式性质3的掌握情况.解：〔1〕 x－l>2，

x－l＋l>2＋1〔不等式的根本性质1〕， x>3.〔2〕2x 2x－x 〔不等式的根本性质2〕， x20 〔不等式的根本性质3〕， xa或x 〔四〕教后检测

1.如果a〞或“a或x8x＋1； 〔3〕 x>－4； 〔4〕－10x 〔五〕当堂训练

1.在以下各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式根本性质． 〔1〕假设a－3＜9，那么 a ______12；

〔2〕假设－a＜10，那么a______ －10； 答：〔1〕a＜12，根据不等式根本性质1． 〔2〕a＞－10，根据不等式根本性质3． 2.a＜0，那么

〔1〕a+2 ______2；

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〔2〕a－1 ______ －1；

〔3〕3a______ 0； 〔4〕a－1______0；

〔5〕|a|______0． 答：〔1〕a+2＜2，根据不等式根本性质1． 〔2〕a－1＜－1，根据不等式根本性质1． 〔3〕3a＜0，根据不等式根本性质2．

〔4〕因为a＜0，两边同加上－1，由不等式根本性质1，得a－1＜－1． 又，－1＜0，所以 a－1＜0．

〔5〕因为a＜0，所以a≠0，所以|a|＞0．

〔此题除了进一步运用不等式的三条根本性质外，还涉及了一些旧的根底知识．如a＜0表示a是负数；a＞0表示a是正数；|a| 是非负数等．〕 3.判断以下各题的推导是否正确？为什么？〔投影〕〔请学生口答〕 〔1〕因为7.5＞5.7，所以－7.5＜－5.7； 〔2〕因为a+8＞4，所以a＞－4； 〔3〕因为4a＞4b，所以a＞b；

〔4〕因为－1＞－2，所以－a－1＞－a－2； 〔5〕因为3＞2，所以3a＞2a．

答：〔1〕正确，根据不等式根本性质3． 〔2〕正确，根据不等式根本性质1． 〔3〕正确，根据不等式根本性质2． 〔4〕正确，根据不等式根本性质1． 〔5〕不对，应分情况逐一讨论．

当a＞0时，3a＞2a．〔不等式根本性质2〕 当 a=0时，3a=2a．

当a＜0时，3a＜2a．〔不等式根本性质3〕

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〔学生在答复此题的过程中，当遇到困难或问题时，教师应做适当引导、启发、帮助〕

4.按照以下条件，写出仍能成立的不等式： 〔1〕由－2＜－1，两边都加－a； 〔2〕由7＞5，两边都乘以不为零的－a． 5.用不等号填空：

〔1〕当a－b＜0时，a______ b； 〔2〕当a＜0，b＜0时，ab ______0； 〔3〕当a＜0，b＞0时，ab ______0； 〔4〕当a＞0，b＜0时，ab ______ 0； 〔5〕假设a ______ 0，b＜0， 那么ab＞0；

〔六〕教后反思

第2篇：根本不等式教学设计 根本不等式

一、教学设计理念：

注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.

二、教学设计思路： 1.教学目标确定

这节课的目标定位分为三个层面：

第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解根本不等式；③引导学生从不同角度去证明根本不等式；④用根本不等式来证明一些简单不等式.

第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高

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学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.

第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的微妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程

本节课我设计了五个环节：

第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解根本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.

第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比拟几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对根本不等式进行严格的证明，包括了比拟法，综合法和分析法，而学生对作差比拟法是比拟熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并标准证明过程，为今后学习证明方法打下根底.

第四个环节：训练小结，稳固深化.学习根本不等式最终的目的表达在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识 和 间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对根本不等式成立条件包括等号成立的条件.

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第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，表达化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步稳固化归思想及应用根本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的时机，得到进一步提高.

最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用根本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等〞这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用根本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.

三、本节课重点

重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解根本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.

难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用根本不等式，以及根本不等式成立条件中包括等号成立的条件.

在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索根本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜测，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.

四、本节课亮点：

1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三

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大转变：

①变教学生学会知识为指导学生会学知识；

②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟； ③变模仿式学习为探究式学习.

4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?

〔教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情〕?? 推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?

【三维目标】：

一、知识与技能

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1.能够运用根本不等式解决生活中的应用问题 2.进一步掌握用根本不等式求函数的最值问题；

3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题． 4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

本节课是根本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

三、情感、态度与价值观

1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，开展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解根本不等式的证明过程，体会证明不等式的根本思想方法； 2.会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题；

3.学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理中的不

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等号\"≥\"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象根本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定根底。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

、知识结构解读

1．教材对根本不等式 的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨根本不等式的几何解释．

2．根本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．应用根本不等式时一定要

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注意其成立的条件．根本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想．

二、重点、难点解读

本节的重点内容是掌握\"两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数\"；掌握\"两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值\"的结论． 难点是正确理解和使用根本不等式求某些函数的最值或证明不等式．

三、知识点精析

1．根本不等式的定义〔详见课本〕

根本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数． 注意：不等式 成立的条件是 ． 2．根本不等式的几何证明

在 中，如右图所示， 为斜边 上的高， 为 的外接圆的圆心， 的延长线交 于点 ． ， ，证明： ．

一、教学目标

1．知识与技能

探究根本不等式的证明过程，初步理解根本不等式

2．过程与方法

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通过对根本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．

3．情感、态度与价值观：

通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．

二、教学重点 用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程

教学难点 对根本不等式 的探究

三、教学资源 普通高中数学课程标准〔实验〕 人教A版教材必修5

中学数学周刊2022年第10期 百度

四、教学方法与手段

启发学生探究，多媒体辅助教学

五、教学过程

〔一〕创设情境：

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．

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你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫

〔二〕新知探究： 图1

将风车抽象成图2

设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形 的边长为 .这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为 .由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式

当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2

即 时,正方形EFGH缩为一个点,这时有

此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数．知识与技能：学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象根本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

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应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

【教学难点】

根本不等式 等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

根本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车〞抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

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当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

2．得到结论：一般的，如果

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

当

所以， ，即

4．1〕从几何图形的面积关系认识根本不等式特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b 通常我们把上式写作：

2〕从不等式的性质推导根本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 a+b (2)

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，可得 ，

要证〔2〕，只要证 a+b- 0 〔3〕

要证〔3〕，只要证 〔 - 〕 〔4〕

显然，〔4〕是成立的。当且仅当a=b时，〔4〕中的等号成立。

3〕理解根本不等式 的几何意义

探究：课本第110页的《根本不等式》说课稿

一、教材分析

1、本节课的地位、作用和意义

根本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修5 ，第3章第3节内容。学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比拟大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的根底；根本不等式是后面根本不等式与最大〔小〕值的根底，在高中数学中有着比拟重要的地位，在工业生产等有比拟广的实际应用。

2、本节课的教学重点和难点

我通过解读新课标和分析教材，认为：

重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节

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课的重点之一；再者，均值不等式有比拟广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。

突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法〔在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件〕，变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。

突破难点的方法：我将采用用重复法〔在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件〕，变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

二、教学目标分析

1、知识与技能目标

〔1〕学会推导根本不等式： 。

〔2〕理解 的几何意义。

〔3〕能3分钟内写出根本不等式，并说明其成立的条件，准确率为95%

2、过程方法与能力目标

〔1〕探索并了解均值不等式的证明过程。

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〔2〕体会均值不等式的证明方法。

3、情感、态度、价值观目标

〔1〕通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

〔2〕通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。 “探究〞 根本不等式的证明〔1〕

【三维目标】：

一、知识与技能

1.探索并了解根本不等式的证明过程，体会证明不等式的根本思想方法；

2.会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题；

3.学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象根本不等式；

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2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定根底。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力

【教学重点与难点】：

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；

难点：理解根本不等式 等号成立条件及 “当且仅当 时取等号〞的数学内涵

【学法与教学用具】：

1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比拟抽象出根本不等式。从生活中实际问题复原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

2.教学用具：直角板、圆规、投影仪〔多媒体教室〕

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【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.提问： 与 哪个大？

2.根本不等式 的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？〔教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系〕。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，对于任意实数、，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。

证明:

所以

第3篇：根本不等式教学设计 《根本不等式》教学设计

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3.4.1根本不等式

教材分析

本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的根底上展开的，作为重要的根本不等式之一,为后续的学习奠定根底。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时根本不等式是必不可缺的。根本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以根本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

就知识的应用价值上来看，根本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜测、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大〞等实际问题的计算中也经常涉及到。

就内容的人文价值上来看，根本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜测，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

课程目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目

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标：

1、知识与能力目标：理解掌握根本不等式，并能运用根本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用根本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用〔最值的求法、实际问题的解决〕的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索根本不等式性质，体会学习数学规律

《根本不等式》教学设计

的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索根本不等式abb的证明过程及应用。 2难点：

a

1、根本不等式成立时的三个条件〔简称一正、二定、三相等〕；

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2、利用根本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以根本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对根本不等式的理解。

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：

一、创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实〞，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此根底上开展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

《根本不等式》教学设计

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颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2在此根底上，引导学生认识根本不等式。

b22ab。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2你能给出它的证明吗？

b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问]

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2到什么？

b22ab中，以a、b分别代替a、b，得

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了根本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定根底.答案： ab

a

b(a,b

0)。 2【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为

a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为根本不等式。 其中为a,b的几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言表达：

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两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解根本不等式

a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

《根本不等式》教学设计

3、符号语言表达： 假设a时，ab

0,b0，那么有ababab，当且仅当a=b

。 22[问] 怎样理解“当且仅当〞？〔学生小组讨论，交流看法，师生总结〕

“当且仅当a=b时，等号成立〞的含义是：

当a=b时，取等号，即ab

a

b。

babab； 2仅当a=b时，取等号，即aba

24、探究根本不等式证明方法： [问] 如何证明根本不等式？

〔意图在于引领学生从感性认识根本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。〕

2 方法一：作差比拟或由(a

b)0展开证明。

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方法二：分析法〔完成课本填空〕

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书〞。 要证a

b

ab

① 2只要证ab

② 要证②,只要证ab

0

③ 要证③,只要证()20 ④

显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。 点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

《根本不等式》教学设计

5、探究根本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生aba

b(a,b

0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式探究不等式ab

a

b(a,b

0)2几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

D

ab

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abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦〔直径

是最长的弦〕；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

四、探究归纳

以下命题中正确的选项是

①对于任意实数a,b，均有ab2ab；

②当x以函数y

1

0时，由于1x2(x

x22x，当且仅当1x2时，即x=1时，等号成立。所

0)的最小值为2；

π4π4(0,)的最小sinx4③当x(0,)时，有；所以函数ysinx在

2sinx2sinx值为4。

以上命题均是根据根本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式ab且仅当a

a

b成立的条件2a

0,b

0，及当

b时，等号成立。这些“陷阱〞要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，

完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

《根本不等式》教学设计

结论：

假设两正数的乘积为定值，那么当且仅当两数相等时，它们的和有最小值； 假设两正

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数的和为定值，那么当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。 简记为：“一正、二定、三相等〞。

五、领悟练习：

公式应用之一：

1(1)假设x0,x的最小值为________,此时x_________.

x(1) 假设a>0,b>0,且a+b=2,那么ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。

公式应用之二：〔最优化问题〕

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

(1) 在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

六、反思总结，整合新知：

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通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，稳固知识技能，提高认知水平.老师根据情况完善如下：

一个不等式：假设a2ab

0,b0，那么有abab。 2ab，当且仅当a=b时，

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

《根本不等式》教学设计

三个注意：根本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等〞

七、布置作业：P114习题1.2.3

八、课下思考：类比根本不等式，当a,b,c均为正数，猜测会有怎样的不等式？

第4篇：根本不等式教学设计 根本不等式教学设计

10141510244 数学与应用数学 钟林

课题：人教A版必修5第3章4节，根本不等式

【教学目标】

1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个根本不等式，了解根本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。

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2.进一步提炼、完善根本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对根本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。 3.结合课本的探究图形，引导学生进一步探究根本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。

4.借助例1尝试用根本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生

ab领会运用根本不等式ab的三个条件〔一正二定三相等〕在解决最

2值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

【重点难点】

重点：应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索不等式a证明过程。

bab的

2难点：在几何背景下抽象出根本不等式，并理解根本不等式。

【教学设计】

〔一〕问题导入

欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。

探究一：在这张“弦图〞中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中

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有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。

22ab那么正方形的边长为。

于是，4个直角三角形的面积之和S1可知S2

S1，即a2

b2

2ab。

2ab。 正方形的面积S2a2b2。 由图

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时 a22ab

b2

所以a2b22ab。

探究二：如以下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。

ab因为EF是中位线，所以EF，

2由相似，可以得出GHab， 同样因为相似，有

AGABa， GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，

ab。 2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近， 当AB=CD的

时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。

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ab即，当且仅当ab时，ab。

2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。

2所以GHEF,即ab

〔二〕概念深入

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

假设a,bR，那么a2b22ab。〔当且仅当a=b时，等号成立〕

ab。〔当且仅当a=b时，等号成立〕 2请同学们运用代数法证明： 作法一〔作差

R

，那么ab

a2

b2

2ab

(a

b)2

0a

b

2ab22

法〕： 假设a,b

当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。

作法二〔分析法〕：

要证明a2

bab， 2只需证明ab2ab， 即证ab-2ab0， 即为a-b

0，该式显然成立，所以，当ab时取等号。

于是有这样的结论：

称ab为a,b的几何平均数；称根本不等式abab为a,b的算术平均数， 2a

b又可表达为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

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作法三〔几何法〕：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。 从而有CD点与圆心O点重合时，即a=b时，ab

ab,OD

a

b。 2a

b。 2a

b当且仅当C

2故再次证明：

aba0,b0,ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角边CD 〔三〕例题讲解

例1.〔1〕用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

〔2〕一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

〔通过例1的讲解，总结归纳利用根本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化〕

对于x,yR，

〔1〕假设xyp〔定值〕，那么当且仅当xy时，xy有最小值2p；

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s2〔2〕假设xys〔定值〕，那么当且仅当xy时，xy有最大值。

4〔鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深根本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。〕

1例2.求yx(x0)的值域。

x1变式1.假设x2，求x的最小值．

x21在运用根本不等式解题的根底上，利用几何画板展示yx(x0)的函数

x图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。

ab并通过例2及其变式引导学生领会运用根本不等式ab的三个

2条件〔一正二定三相等〕在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

〔四〕归纳小结&课后作业 根本不等式：

假设a,bR，那么a2b22ab。〔当且仅当a=b时，等号成立〕

ab。〔当且仅当a=b时，等号成立〕 2〔1〕根本不等式的几何解释〔数形结合思

想〕； 〔2〕运用根本不等式解决简单最值问题的根本方法。

作业：A组第4题，B组第1题，第2题

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假设a,bR，那么ab

第5篇：根本不等式教学设计 《根本不等式》教学设计

3.4.1根本不等式

开江中学 魏江兰

目标分析

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

1、知识与能力目标：理解掌握根本不等式，并能运用根本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用根本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用〔最值的求法、实际问题的解决〕的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索根本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

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教学重、难点分析

重点：应用数形结合的思想理解根本不等式，并从不同角度探索根本不等式abb的证明过程及应用。 2难点：

a

1、根本不等式成立时的三个条件〔简称一正、二定、三相等〕；

2、利用根本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以根本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对根本不等式的理解。

《根本不等式》教学设计

教学准备

多媒体课件、板书

教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 具体过程安排如下：

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一、创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实〞，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此根底上开展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a2在此根底上，引导学生认识根本不等式。

b22ab。

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有a2你能给出它的证明吗？

b22ab，当且仅当a＝b时，等号成立。 [问]

证明：因为a2号〕

b22ab(ab)20，即a2b22ab.〔当ab时取等

特别地，当a>0,b>0时，在不等式a2到什么？

b22ab中，以a、b分别代替a、b，得

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了根本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定根底.

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《根本不等式》教学设计

答案： abab(a,b

R

0)。 2你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证，于是要证明 a

b

2ab，

明：〔分析法〕：由于a,b

只要证明 ab2即证

2ab，

ab2ab0，即 (ab)20，

所以abab，〔当ab时取等号〕

【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。 2ab称为

a,b的算术平均数，ab称2我们称此不等式为根本不等式。 其中为a,b的几何平均数。

文字语言表达：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

探究根本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究aba

b(a,b

0)2的几何解释，通过数形结合，赋予不等式不等式ab

a

b(a,b

0)2

几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

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Dab

abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦〔直径

是最长的弦〕；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

《根本不等式》教学设计

4．应用举例，稳固提高

我们可以用两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

例1〔1〕用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 〔2〕一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

〔通过例1的讲解，总结归纳利用根本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化〕 对于〔1〕假设〔2〕假设，

〔定值〕，那么当且仅当〔定值〕，那么当且仅当

时，时，

有最小值有最大值

； ．

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〔鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深根本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．〕

1例 2：当x值吗？

0时，求yx的最小值？x1变式1：当x0时，yx有最

x1变式2：当x1时，yx有最值吗？

x通过例2及其变式引导学生领会运用根本不等式的三个条件〔一正二定三相等〕在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练〔自主练习〕：课本练习 5．归纳小结，反思提高

《根本不等式》教学设计

根本不等式：假设假设

，那么，那么

〔当且仅当〔当且仅当

时，等号成立〕 时，等号成立〕

〔1〕根本不等式的几何解释〔数形结合思想〕；〔2〕运用根本不等式解决简单最值问题的根本方法〔一正二定三相等〕． 6．布置作业，课后延拓

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〔1〕根本作业：课本P100习题组

1、

2、3题

〔2〕拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找根本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．

根本不等式教学设计

《等式的性质》教学设计

《等式的性质》教学设计

等式性质教学设计〔共8篇〕

等式的根本性质的课后教学反思

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