基于改进离散人工蜂群算法的同类机调度优化

ISSN1001⁃9081

CODENJYIIDU2020⁃03⁃10

http：//www.joca.cnDOI：10.11772/j.issn.1001-9081.2019071203

基于改进离散人工蜂群算法的同类机调度优化

22*222

张架鹏1，，倪志伟1，，倪丽萍1，，朱旭辉1，，伍章俊1，

（1.合肥工业大学管理学院，合肥230009；2.过程优化与智能决策教育部重点实验室（合肥工业大学），合肥230009）

（∗通信作者电子邮箱：zhwnelson@163.com）

摘要：针对一类最小化最大完工时间的同类机调度问题，考虑到机器的加工效率和产品的交付时间，引入同类

机调度问题的数学模型，提出一种改进的离散型人工蜂群算法（IDABC）求解该问题。首先，引入种群初始化策略，得到均匀分布的种群，并获得待优参数的生成策略，加快种群的收敛；其次，借鉴差分进化算法的变异算子和模拟退火算法的思想，改进雇佣蜂和跟随蜂的局部搜索策略，并利用最优解的优质信息改进侦察蜂，增加种群多样性、防止算法陷入局部最优；最后，分析算法的性能和参数，并将改进的算法应用于同类机调度问题，在15个算例上的实验结果表明，与混合离散人工蜂群（HDABC）算法相比，IDABC的求解精度和稳定性分别平均提高了4.1%和26.9%，且具有更好的收敛性，表明在实际场景中IDABC可以有效求解同类机调度问题。

关键词：同类机调度；最小化最大完工时间；变异算子；人工蜂群算法；优化中图分类号：TP301.6

文献标志码：A

Parallelmachineschedulingoptimizationbasedonimproveddiscreteartificialbeecolonyalgorithm

22*222

ZHANGJiapeng1，，NIZhiwei1，，NILiping1，，ZHUXuhui1，，WUZhangjun1，

2.KeyLaboratoryofProcessOptimizationandIntelligentDecision-makingofMinistryofEducation（HefeiUniversityofTechnology），

HefeiAnhui230009，China）

（1.SchoolofManagement，HefeiUniversityofTechnology，HefeiAnhui230009，China；

DiscreteArtificialBeeColonyalgorithm（IDABC）wasproposedbyconsideringtheprocessingefficiencyofthemachineanddistributedpopulationandagenerationstrategyoftheparameterstobeoptimizedwereachievedbyadoptingthepopulationinthedifferentialevolutionalgorithmandtheideaofsimulatedannealingalgorithmwereusedtoimprovethelocalsearch

Abstract:Fortheparallelmachineschedulingproblemofminimizingthemaximumcompletiontime，anImproved

thedeliverytimeoftheproductaswellasintroducingthemathematicalmodeloftheproblem.Firstly，auniformlyinitializationstrategy，resultingintheimprovementoftheconvergencespeedofpopulation.Secondly，themutationoperatorstrategyfortheemployedbeeandthefollowingbee，andthescoutbeewasimprovedbyusingthehigh-qualityinformationoftheoptimalsolution，resultingintheincreasementofthepopulationdiversityandtheavoidanceoftrappingintothelocaloptimum.Finally，theproposedalgorithmwasappliedintheparallelmachineschedulingproblemtoanalyzetheperformanceandparametersofthealgorithm.Theexperimentalresultson15examplesshowthatcomparedwiththeHybridrespectively，andhasbetterconvergence，whichindicatesthatIDABCcaneffectivelysolvetheparallelmachineschedulingproblemintheactualscene.

BeeColonyalgorithm(ABC);optimization

DiscreteArtificialBeeColonyalgorithm（HDABC），IDABChastheaccuracyandstabilityimprovedby4.1%and26.9%

Keywords:parallelmachinescheduling;minimizationofmaximumcompletiontime;mutationoperator;Artificial

0引言

调度问题是一类重要的组合优化问题，根据现实生产的

［1］

［2］

机器的购置批次差异导致不同批次的机器具有不同的处理速度、完成同类工作的操作人员的操作水平差异等，其主要存在于生产制造车间。除此之外，钢材在多台机器上的热轧过程等也可以抽象成同类机问题。同类机调度问题是一类特殊的车间调度问题，是连接供应链上下游重要的一环，在实际的生产调度中，运用先进的调度算法，制定科学合理的调度方案，

需要，通常包含具体的约束条件。同类机调度问题是调度问题的一个分支，已被证明是NP-hard问题。同类机一般描述为机器具有恒定的速度差异，这类机器产生的原因主要是

收稿日期：2019⁃07⁃10；修回日期：2019⁃09⁃03；录用日期：2019⁃09⁃04。

基金项目：国家自然科学基金资助项目（91546108，71490725，71521001，71301041）；安徽省自然科学基金资助项目（1708085MG169）。作者简介：张架鹏（1994—），男，安徽亳州人，硕士研究生，主要研究方向：机器学习、数据挖掘；倪志伟（1963—），男，安徽合肥人，教授，博士，主要研究方向：人工智能、机器学习、云计算；倪丽萍（1981—），女，安徽合肥人，副教授，博士，主要研究方向：数据挖掘、金融数据分析、商务智能与智能决策；朱旭辉（1991—），男，安徽阜阳人，讲师，博士，主要研究方向：智能计算、机器学习；伍章俊（1972—），男，安徽合肥人，副教授，博士，主要研究方向：机器学习、数据挖掘。

690计算机应用第40卷

可以有效地提高生产效率、节约资源，从而提升整个供应链的效益。目前，没有统一的方法解决同类机调度问题，因此，对此类问题的研究具有重要的实际意义。

目前，启发式搜索算法是解决调度问题的一类重要可行方法，针对同类机调度问题，文献［3］针对含作业到达时间的同类机调度问题，提出了一种改进的启发式算法；文献［4］采用改进的萤火虫算法求解该问题，引入一种切实有效的针对同类机问题的离散编码方式；文献［5］提出一种采用最大调度时间（LargestProcessingTime，LPT）算法进行初始化，利用互换性质进行互换操作的启发式算法求解该问题；文献［6］设计了一种启发式分治（Decompose-Compose，DC）算法，用于解决目标解为最小完成时间和的同类机调度问题。上述方法在求解同类机调度问题时存在如下缺陷：改进的启发式算法的性能有待提高，无法适应作业长度差异较大且机器速度差异较小的情形；萤火虫算法参数设置较多，迭代初期易陷入局部最优；DC算法的运行速度慢，通用性不强。

人工蜂群（ArtificialBeeColony，ABC）算法是一种较新的群智能优化算法，由土耳其学者Karaboga［7］

于2005年提出，以其实现简单、收敛速度快、求解精度高、鲁棒性强［8］

等特点受到学术界的广泛关注，以后又有人提出了一系列改进优化策略［9］

。目前，人工蜂群算法已成功应用于人工神经网络训练

［10-11］、函数优化

［12］

、机器人路径规划

［13］

、电力系统优化

［14］

等

领域，其中大多数的研究解决的是连续型问题。对于现实生活中存在的很多离散问题的研究相对较少，由于人工蜂群算法的参数少、操作简单，近年来很多学者开始将离散化的人工蜂群算法应用到工业生产［15］、数据挖掘［16］等多个领域。

目前，对于离散人工蜂群算法的研究主要集中在解决调

度问题上［17］

。文献［18］运用离散人工蜂群算法进行云任务调度优化；文献［19］将离散人工蜂群算法应用到炼钢连铸的工业过程中；文献［20］利用离散ABC算法求解旅行商问题TravellingSalesmanProblem，TSP）；文献［21］提出了一种求解混合流水线问题的离散人工蜂群算法；文献［22］针对最小化完工时间为目标的混合流水车间调度HFS（HybridFlowShop，混合表示以及前向解码和后向解码方法的组合来解决该问）问题，提出一种有效的离散人工蜂群算法，该算法利用题；文献［23］利用改进的人工蜂群算法求解任务指派问题；文献［24］和文献［25］分别提出一种求解阻塞型流水车间调度的离散人工蜂群算法；文献［26］提出一种改进的离散人工蜂群算法求解批量流水线调度问题；文献［27］提出一种用于优化逆向物流网络的混合人工蜂群算法，算法给出8种性能良好的邻域结构，从而提高算法的开发能力；文献［28］提出了一种改进的离散人工蜂群算法来解决具有铁水系统动态跳跃特征的混合柔性流水车间调度问题。

以上方法运用在不同的调度问题上，其算法性能均有一定提升，但是在协调算法的求解精度、收敛速度和稳定性方面性能较差。因此，本文提出了一种改进的离散型人工蜂群ImprovedDiscreteArtificialBeeColony，IDABC）算法，并应用于同类机调度问题。引入基于离散人工蜂群算法的同类机调度问题的十进制编码模型，在原始人工蜂群算法的基础上改进初始化策略，并针对实际问题，提出待优参数的生成策略，借鉴差分进化算法、模拟退火算法的思想改进雇佣蜂和跟随蜂的局部搜索策略，充分利用最优解的优质信息改进侦察蜂。通过15个算例，将本文改进的ABC算法与文献［21］提出的混

合HDABC离散人工蜂群（HybridDiscreteArtificialBeeColony进萤火）虫算法、（Improved文献［4Glowworm］提出的解决该类同类机调度问题的改，SwarmOptimization，IGSO）算法、原始ABC算法以及遗传算法（GeneticAlgorithm，GA）和粒

子群优化（ParticleSwarmOptimization，PSO）算法等经典智能优化算法进行了比较。

1.11

同类机调度问题的数学模型

1）模型假设

被其中一台机器加工。有若干台机器同时加工若干件作业，且每件作业只能度恒定。

2）每台机器的加工速度是任意的，同一台机器的加工速3业后，4））每件作业的长度是任意的。

作业到达机器的时间是任意的，且只有机器接收到作被中断。

5）才能进行加工。机器在运行过程中不会出现故障，即作业的加工不会在实际的生产加工场景中，生产环境较为复杂，规模也较大，一般调度问题难以在多项式时间内进行求解。调度问题可以用甘特图描述，如图1所示，图1表示4台机器加工10件作业一种情况的甘特图。

Fig.图1

1

Processing4机器10作业加工示意图

1.2

4machinesschematic10jobs

diagramof{同问题描述

类机调度问题的描述如下：假设有n个作业J=

这J1，Jn个作业需要用2，⋯，Jj，⋯，Jn}m，其中作业台机器MJj=({jM=1，M2，⋯，n)的长度为pj。其中机器M2，⋯，Mn}进行加工，1，2，⋯，m)。i(i作=1业，

2，J⋯，m)加工这n1，

个作业的速度为vi(i=1i到达机器Mi的时间为rij(i=

到该作业。作业，2，，⋯，m，j=1，2J，⋯，n)，每件作业的加工起点为机器接收1业只能被其中一台机器加工。本文研究的是，2，⋯，n)，该作业的完工时间为i在机器Mi的时间为pCij(i=1，

2，⋯，m，j=j(j=1，2，⋯Q，n)，且每件作m|rj|C同类机调度问题，考虑到机器的加工效率，其目标函数max类型的

minZ为最小化所有作业的最大完工时间，即使得最后完工的那台机器的加工时间最小，1.3

数学模型及约束条件

缩短产品的交付时间。数学模型：

minaZ=maxCjij∑m

∈{0，1}；i=1，2，⋯，m，j=1，2，⋯，n

a

i=1

ij

=1；j=1，2，⋯，n

（（12））

（（第3期张架鹏等：基于改进离散人工蜂群算法的同类机调度优化

691pij=pjvi；i=1，2，⋯，m，j=1，2，⋯，n

（3）Caj

j=ijMaxi=1

ait(jrit+∑aikpik；j=1，2，⋯，n（4）

k=t

)约束条件：

式（1）若由第i台机器加工第j件作业，则aij式（2）表示每件作业只能被其中一台机器加工。=1；否则aij=0。式（3）表示机器i加工作业j所用的时间。式（4）表示作业j的完工时间。

2

在改进离散型人工蜂群算法

ABC算法中，雇佣蜂和跟随蜂负责邻域搜索寻优，代

表算法的开发能力；侦查蜂负责对被遗弃的食物源进行随机初始化，代表算法的探索能力。为提高算法的性能，本文引入了种群初始化方法和搜索机制，既保证算法具有较高的收敛速度和求解精度，2.1

又防止算法陷入局部最优。人工蜂群算法，基本人工蜂群算法

是受自然界蜜蜂觅食行为的启发而提出的一种群智能优化算法。将蜜蜂采蜜的过程转化为优化问题的寻优过程。蜜蜂群体分为3类：雇佣蜂、跟随蜂和侦察蜂，雇佣蜂和跟随蜂负责邻域寻优，侦查蜂负责随机初始化被遗弃食物源。

2SN，人工蜂群算法需要初始化设置的参数有其中雇佣蜂和跟随蜂的规模各为SN；算法的最大迭代次3个：蜂群规模

数MaxCycle；食物源经多次迭代而未发生改变的最大保留次

数limitABC。

算法的主要步骤如下：

解{X11），

初始化解。根据式X2，⋯，XSN}。其中，（i5∈）{1随机生成，2，⋯，SNSN}，个j∈D{1维初始可行

D，2，⋯，D}，rand代表食物源的属性数，［x0，1］产生0~1uj、lj代表xij取值的最大、最小值，

2）记录最优解。计算[的随机数。式0，1]*(u（5）如下：

ij=lj+randSNj-个可行解的适应度值lj)

适应度值确定并记录最优解。

fit（5）

i，根据循环开始：

搜索，3）随机选择雇佣蜂阶段。雇佣蜂根据式X（6）对可行解Xi进行邻域

i的一维xij转化为vij，产生新的可行解Vi，计

算新可行解的目标函数值和适应度值并比较Xi和Vi的适应度值的大小：若fit(Vi；否则，保持Xi

的位置不变。式)>fit(Xi)，则用Vi替换Xi4）=跟随蜂阶段。根据式xϕ（6）如下：

vijij+ij(xij-xkj)

（（6）

SN7）采用轮盘赌的方式计算跟随

蜂选择食物源Xi的概率pi，∑fitn=1

n表示当前所有可行解的函数适应度值之和。适应度值的计算公式如式（8）所示。重复步骤3）的操作。式(（7）、（8）如下：

pi=fiti

∑SNfitn=1

n

)（7）

fit=ìí1/funi>0并记录最优解。

5）计算î1funSN+absi，

i个可行解的适应度值(fun（8）

i)，funi≤0fiti，根据适应度值确定

6）侦察蜂阶段。记录食物源Xi的开采次数trial，若trial>

limit，则放弃该食物源，利用式（5）随机生成新的食物源Xi，加

入雇佣蜂和跟随蜂的搜索队列。该过程主要是避免解陷入局部最优。

环，2.2算法结束；7）循环。判断循环终止条件是否成立，否则跳转到步骤2），进入下一次循环。若成立，结束循同类机调度问题是一类组合优化问题，问题的编码设计

需要将实数转化为整数，即将人工蜂群算法进行离散化处理。假设在该同类机调度问题中包含U台机器和D件作业，雇佣蜂和侦察蜂的种群规模均为SN，目标函数为最小化最大完工时间。对于该问题，需考虑作业的到达时间，每台机器上的作业按照先到达先加工的原则进行加工即可。

根据该类同类机调度问题的特点，本文给出一种离散化

的编码策略。该问题解的具体编码设计如下列矩阵所示，

Z是一个SN×D的十进制矩阵，

Z={X加工方案，对应初始的SN个食物源。每一个加工方案用1，X2，⋯，XSN}表示SNZ个的

一个行向量Xixi2，⋯，x对应的加工机器，=({1其中xi1，

iDi={12，)⋯表示，，SNxij的值表示第j件作业}，j={1，2，⋯，D}，xij=工机器对应，，2，⋯，U}。食物源的属性与作业对应，，

如编码（2，1，3，2，1，2）表示，属性值与作业的加

作业2、5在第一台

机器上加工，作业1、4、6在第二台机器上加工，作业3在第三台机器上加工。

éZ=êx11x12êxê21x22⋯⋯xx12DùDúê2.3ëx⋮⋮⋮úúúSN1xSN2⋯xSNDû

群智能优化算法的初始化，初始化策略

对解的质量和算法的收敛速度具有直接影响。在ABC算法中，考虑使初始解均匀分布在可行解空间上（可行域内），可以加强解的质量和算法的全局收敛性。在ABC算法的初始化过程中，一般采用随机方法初始化蜂群，对于离散人工蜂群算法，食物源各参数的可行域是有限个整数集合，因此，在算法的初始化阶段，需要保证食物源各参数在可行域上均匀取值。

本文给出了一种初始化策略，采用实数向上取整的方式，实现浮点数到整数间的转换。将初始化方程（5）更新为：

xij其中：ceil(=ceil(rand)是向上取整函数，[0，1]*uj)经此方法处理，初始化x的取值（9）ij范围是1/u[1，2，⋯，uj]，理论上该uj个整数的取值概率相同，均为j。这里需要说明的是，不考虑l1，与最小的机器编号相对应，在该类同类机调度问题中，所以式食物源

参数的取值下限lj=（9）j的取值情况。

通过这种初始化方法，既实现了离散化，又保证了食物源的各参数在可行域内具有相同的取值概率，提高了算法的性能。算法中的雇佣蜂、跟随蜂、侦察蜂阶段均采用ceil()函数实现离散化。

2.2.44.1局部搜索策略

在原始的人工蜂群算法中，待优参数的生成策略

雇佣蜂和跟随蜂根据式（6）开发更优的食物源，其中参数j表示食物源中待优化的属性，在值域内随机生成。本文根据同类机调度问题的编码方式，以平衡机器的负载为目标，在雇佣蜂阶段，针对待优参数j提出新的生成策略，提升算法的收敛速度。具体步骤如下：

692计算机应用

第40卷

步骤1

寻找目标食物源中出现次数最多的属性值，即

加工作业最多的机器，若满足条件的属性值有多个，选择值最小的属性值记为MostValue。

步骤2记录该属性值的出现次数n以及在食物源中的位置locations。

步骤3在locations中随机选取一个作为待优化参数j。

其中，

mostValue={1，2，⋯，uj向量。}，locations为1×n的行2.4.2

差分进化基于差分算法的局部搜索策略

（DifferentialEvolution，DE）算法是一种基于群

体差异的启发式并行搜索方法，其本质上是一种函数优化算法。DE算法具有良好的寻优能力，已成功应用于很多优化问题中。DE算法的思想上其他进化算法类似，其核心是变异、交叉和选择操作，不同在于，DE算法通过种群中多个个体的差分信息实现进化。1策略用来维持种群的多样性，DE算法有多种变异策略，避免陷入局部最优，其中DE/best/1

DE/rand/策略可以加快算法的收敛速度，DE/best/1DE/rand/1：：vv=xx二者的公式如下：

ibest+F⋅(p1-xp2)i=xp1其中：

i={1，2，⋯，SN}，+pF⋅(xp2-xp3)

（（1011））

的不与i相等的参数，

x1、p2、p3是{1，2，⋯，SN}中随机选取受差分进化算法的变异策略的启发，best为当前全局最优解，F∈[0.5，1]。结合人工蜂群算法

的特点，本文提出了新的局部搜索策略。通过对差分进化算法的DE/rand/1变异策略和DE/best/1变异策略的变动，将雇佣蜂和侦查蜂的局部搜索式（6）更新为以下3种，并用ceil()函数进行离散化处理。

VijV=ceil(xi，j+ϕij(xi，j)V+ϕ-xkj))

ij=ceil(xi，jij(xbest，j)--xkjx))

（（1213）ijkj其中：

i=={1ceil(，2，x⋯best，，SNj+}ϕij，k(是xbest{1，，j)2，⋯，))

SN}中随机选取的参数，（14））

且k≠i，J={1，2，⋯，D}，由上文的生成策略生成。best表示当前全局最优解，2.5

即最佳食物源，ϕij∈[0，1]，随机取值。

雇佣蜂的任务是在初始的食物源的邻域内搜索更优的

雇佣蜂阶段

解，该过程需要综合考虑种群的多样性和收敛速度。本文借鉴差分进化算法的进化策略，进化初期在较大范围内搜索最优解，保持种群的多样性，进化后期，种群以收敛到较小的范围内，缩小搜索范围以增加搜索精度。本文以可行解的平均适应度值为标准，区分食物源的优劣，并针对较优和较劣的食物源分别给出不同的搜索策略，雇佣蜂搜索过程如下：

步骤1为当前解集中每个可行解对应的食物源分配一只雇佣蜂。

步骤2计算当前解集中所有可行解的平均适应度值

mean

(∑SNfiti=1

i)。

步骤3

计算指定解Xi的适应度值fit(X(i∑SN)。步骤4判断fit(Xi)与mean

fiti)的大小，

如果i=1

fit(Xi)>mean

(∑SNfit

i

)，认定Xi=1

i为较优食物源，随机选择解集

中的其他食物源与其交叉，保证解的多样性，避免陷入局部最

优，选择式（12）进行局部搜索。

步骤5

如果fit(Xi)≤mean

(物源，选择当前解集中最佳食物源进行交叉，∑SNfiti，

则认定Xi=1

)i为较差食提高算法的收敛

速度，选择式（13）进行局部搜索。

步骤6计算新解适应度值fit(Vifit(X)并与原解适应度值i物源。

)比较：若fit(Vi)>fit(Xi)则更新食物源；否则保留原食

2.6雇佣蜂寻优过程结束，跟随蜂阶段

跟随蜂开始工作，在原始的人工蜂群算法中，跟随蜂采用轮盘赌的方式选择目标食物源，并进行进一步搜索，从而加快算法的收敛速度。在跟随蜂寻优的过程中，为了防止陷入局部最优，本文通过借鉴模拟退火算法中的思想，给出了一种新的食物源更新策略，从而更新了跟随蜂的搜索过程。定义如下概率因子：

pi=exp(-fit(Xifit(V)i在模拟退火算法中，))（15）

接受较差解的概率会随着时间的推移温度的降低而不断减少。在本文中，将接受较差解的概率与解的质量相关联，如果较差解与原解的适应度值差距越小，则接受该较差解的概率越大；反之概率越小，概率因子pi的取值范围是(0，

e-1跟随蜂搜索策略如下：

)。步骤1跟随蜂以轮盘赌的方式随机选择食物源Xi。步骤2选择式（14）进行局部搜索，得到新食物源步骤3计算Xi、Vi的适应度值fit(Vifit(V)、(Xi)，如果i步骤)>fit4

(XfitVi。

i)根据式，更新食物源；（15）计算跟随蜂选择较差解否则执行步骤4。

Vi的概率pi，

如果pi迭代。

>rand，更新食物源；否则保留原食物源进入下一次

2.7在原始人工蜂群算法中，侦查蜂阶段

食物源经limit次迭代未更新就会被舍弃，侦查蜂随机初始化生成一个新的食物源，但此食物源的质量一般不高，且理论上拥有更少的迭代更新的次数，因此对全局最优解的贡献有限。为提高侦查蜂初始化食物源Xi的质量，本文充分利用最佳食物源Xs携带优质信息，让Xs的参数从第二位起间隔插入Xi中并取代Xi中原有参数，生成新的食物源Xj。比较食物源Xi与食物源Xj的适应度值，取适应度值较优的作为新的食物源。过程如下：

Xi==((xxi1，xi2，⋯，xiDX)

ss1，xs2，⋯，xsDXìj=í

(xi1，x)

s2，xi3，⋯，xxsD)，{D|D=2n，n∈N*}2.8

î(xi1，

s2，xi3，⋯，xiD)，{D|D=2n+1，n∈N*}步骤改进离散型人工蜂群算法的步骤

1初始化参数。最大迭代次数MaxCycle和食物源

多次迭代未更新的保留次数limit，根据式（9）初始化雇佣蜂种

群X（ii={1，

2，⋯，SN}）。步骤2

计算种群中各食物源的适应度值fit(Xi步骤3根据3.4节给出的待优参数选择策略确定优化)。

参数（jj={1，2，⋯，D}）。

步骤4

记录当前全局最优解best，赋值cycle=1，开始“以一定的概率接受较差解”第3期张架鹏等：基于改进离散人工蜂群算法的同类机调度优化

693循环。

步骤5雇佣蜂阶段。根据2.5节提出的策略在食物源附近寻找更优食物源。步骤6跟随蜂阶段。根据2.6节提出的策略对食物源进行选择性的开采。

步骤7更新全局最优解。

步骤8

侦察蜂阶段。判断是否存在需要舍弃的食物

源，即迭代limit次未发生改变的食物源，如果存在，根据式9）随机产生新的食物源，并根据2.7节提出的策略选择新的食物源取代它。

步骤9cycle=cycle+1。

步骤10until：cycle=MaxCycle，算法结束。

2.9

本IDABC文通过算法性能分析

建立改进离散人工蜂群算法对应的吸收态

Markov收敛到全局最优解，过程模型，进而证明本文提出的接着分析其时间复杂度和整体性能，IDABC算法以概率巩固1IDABC2.9.1

算法的理论基础。定义收敛性分析

1

设{X(t)}∞t=0对任意n个不同t=P<(⋯X(t2，⋯，tnt∈T且1过程。

定义2

对于任意区域的Markov过程{X(t)}∞t=0和其最

优状态空间Z*0，则称{X(t)}∞⊂Z，若满足条件P(X(t+1))∉Z*|X(t)∈Z*)=t=0为吸收态Markov过程。

定义3

给定吸收态Markov过程{X(t)}∞t=0和最优状态空间Z*

⊂Z，记δ(t)=p(X(t)∈Z*

)表示(∀t时刻达到

X(t)∈Z)

最优状态的概率，若tlim→∞

δ(t)=1，则称{X(t)}∞t=0收敛。引理1

设IDABC算法对应的随机过程为{X(t)}∞t=0，满足∀X(t)∈Z，则{X(t)}∞t=0是一个吸收态Markov过程。

证明

在IDABC算法中，人工蜂群的位置根据本文4.3

至4.6节的策略进行更新，则第t代人工蜂群X(t)的位置仅由第t-1代人工蜂群X(t-1)决定，因此，IDABC算法对应的随机过程{X(t)}∞t=0为离散时间随机过程。由于人工蜂群的状态X(t)只由X(t-1)决定，与X(t-2)，

⋯，X(1)，X(0)无关，而X(0)的位置是由2.3节初始化策略决定的，在概率上均匀分布在解空间内，故P(X(t)|X(t-1)，X(t-2)，⋯，X(0))=P(X(t)|X(t-1))，即{X(t)}∞t=0是Markov过程。若IDABC寻

优结果为全局最优解，即X(t)∈Z*

，根据本文中IDABC算法寻优过程知X(t+1)∈Z*

，因此P(X(t+1)∉Z*

|X(t)∈Z*

即{X(t)}∞)=0，

t=0是吸收态Markov过程。

证毕。

引理2

给定IDABC算法对应一个吸收态的Markov过程

{X(t)}∞t=0和最优状态空间Z*

，

若P(X(t)∩Z*≠∅|X(t-1)∩Z*=∅)≥d(t-1)≥0且

tlim→∞∏

ti=0

[1-d(i)]=0，则tlim→∞

δ(t)=1，

其中δ(t)=P(X(t)∈Z*)。证明

根据全概率公式知：

δ(t)=[1-δ(t-1)]P(X((t)∩Z*δ(t-1)P(X(t)∩Z*≠∅|X(≠t-∅1|X)∩(tZ-*1≠)∩∅Z*)

=∅)+由引理1知，{X(t)}∞t=0是吸收态Markov过程，则P(X(t)∩Z*δ(t)=[1-≠δ∅(t|X-1(t)-]P1{)X∩(Z*t)∩≠Z∅*)=1，即有：

δ[1-(t-éδ1(t)-⇒1t)1--]1

⇒δ(1-t)=[1-≠∅|X(t-1)∩Z*=∅}+

δ(t)≤[1-P(X(dt)∩Z*≠∅|X(t-1)∩Z*≠∅)]*

êù(t-1)]⋅[1-δ(t-1)]=

ë1-δ(0)lim∏i=0[1-d(i)]úû

⇒

δ(t)≥1-[1-δ(0)]limt-1t→∞t→∞∏i=0

[1-d(i)]⇒limt→∞

δ(t)≥1因为概率δ(t)≤1，所以tlim→∞

δ(t)=1。即本文提出的IDABC2.9.2

算法以概率时间复杂度分析

1收敛到全局最优解。证毕。

设人工蜂群算法的雇佣蜂规模为n，根据本文2.8节IDABC步骤算法的步骤，1

初始化分析该算法的时间复杂度，n只雇佣蜂需要n次，初始化其他参数需过程如下：要常数次，时间复杂度为O(n)；

步骤2计算n只雇佣蜂的适应度值，时间复杂度为

O(n)；记录当前最佳食物源，需比较n-1次，时间复杂度

为O(n)；

循环开始：步骤3

雇佣蜂阶段：n只雇佣蜂确定带优参数j的位置，

每只雇佣蜂需要比较n-1次，进行随机搜索n次，计算平均适应度值n次，与原适应度值比较n次，计算新的适应度值n次，与原适应度值比较n次，故时间复杂度为O(n2步骤4

侦查蜂阶段：轮盘赌方式选择食物源)；

1次，进行

局部搜索n次，计算适应度值n次，比较n次，选择较差解的最大次数n次，更新食物源n次，故最大时间复杂度为O(n)；

步骤5更新最佳食物源1次，时间复杂度为O(1)；步骤6侦查蜂阶段：在迭代次数为MaxCycle次的人工

蜂群迭代寻优过程中，侦查蜂执行常数次，时间复杂度

为O(1)；

综上所述，IDABC算法经过MaxCycle次迭代后，时间复杂度为O(MaxCycle*n22.9.3

)。首先，算法整体性能分析

针对离散问题，IABC利用ceil()函数取整的方式，

得到均匀分布的种群，使IDABC算法在寻优过程中具有较好的稳定性；其次，在雇佣蜂阶段，利用待优参数的生成策略，寻找食物源中频数最大的参数进行优化，提升算法的收敛速度，并针对不同质量的食物源选择不同的交叉策略，保障种群多样性；接着，在跟随蜂阶段，引入模拟退火算法的思想，以一定的概率接受较差解，并针对离散人工蜂群算法的特点对概率进行设计，防止算法陷入局部最优；最后，在侦查蜂阶段，针对新更新食物源质量不佳，对最优解的影响有限的情况，提出新

（694计算机应用第40卷

的更新策略，改善解的质量，使其更好地融入蜂群中。因此，理论上，在求解Qm|rj|Cmax类型的同类机调度问题

上，IDABC算法的较原始人工蜂群算法更优。

3.31

实验及结果分析

本文所有程序代码均采用实验环境及参数设置

MatlabR2016a软件编写，使用

的PC配置如下，操作系统：位Windows10，处理器：IntelCore本文i7-7700ABCCPU算法的参数设置如下，3.60GHz3.60GHz，雇佣蜂规模内存：8GB。

SN=90，最

大迭代次数MaxCycle=700，食物源经多次迭代未更新的最大保留次数limit=50。为保证对比的公平性，将对比算法的参数设置如下：原始离散人工蜂群算法参数设置同上；文献［21］改进的离散人工蜂群算法的种群规模和最大迭代次数设置同上；文献［4］改进离散萤火虫算法的最大迭代次数设为700，种群规模设为90，其余参数保持原有的设置不变；遗传算法GA）种群规模为90，交叉概率为1，变异概率为0.01，迭代次数为700；粒子群优化算法（PSO）的种群规模为90，迭代次数为3.700，学习因子为1.49445，惯性权重为0.729。3.22.1

结果分析针对实验结果分析

Qm|rj|CJmax型同类机调度问题，本文设计的算例为

iMj，其中Ji表示作业数量，i={50，80，100，150，200}，Mj表示加工机器数量，j={6，8，10}，如J50M6表示50件作业在6台

机器上进行加工。每件作业长度取1~100的随机数，每台机器的运行速度取1~10的随机数，作业按照先到达先加工的顺

序在各台机器上加工。

本文考虑了该类同类机调度问题的15种不同规模的应用场景，HDABC粒子群优化、给出IGSO（PSO、15原始人工蜂群个算例，对于每一种应用场景，）算法进行求解。为防止偶然性干扰，（ABC）算法、遗传算法用（IDABCGA每组）和、实验运行100次求平均值，并用平均值（ave）、最优值（min）、

最劣值（max）和方差（var）等4个指标衡量各种算法的优劣。

表1给出了算法IDABC、HDABC、IGSO、ABC、GA和PSO分ABC别、求HDABC解上述、IGSO15个等算法针对不同算例的求解曲线，算例的结果，图2（a）~（d）为IDABC其中，

与每个算法的迭代次数均取为700。4个子图选取的算例分别为J50M8、J80M6、J100M10和J200M8，代表了从小到大的不同规

模的应用场景。通过比较分析表1结果和图2（a）~（d）可以得出以下结论。

首先，在收敛速度方面，由图2（a）~（d）的4种算例的求解曲线可以看出，IDABC算法的收敛速度要明显快于其他3种算法；15其次，在求解精度方面，由表最个算例的求解结果，HDABC劣值均优于其他5种IDABC算法算法求解的平均值、1实验数据可知，，与5种算法中表最优值和对于所有大，IDABC算法相比，算法的优越性越明显，求解精度平均提高了表明IDABC4.1%，算法在求解精且实验规模越

现最好的度上是6种算法中最好的；最后，在算法的稳定性方面，由表1实验数据可知，除了算例J80M10和J200M6，IDABC对其求解的方差略差于HDABC的求解结果外，对其余13个算例的求解结果，IDABC算法求解的方差均为最优，与HDABC算法相比，稳定性平均提高了26.9%，且对于大规模的问题IDABC算法

也能保证平均误差很小，表明IDABC算法在求解的稳定性方面总体上优于其他5种算法。综上所述，在以上6种算法解决

Qm|rj|Cmax型同类机调度问题中，本文改进的离散人工蜂群算法在算法的求解质量方面和求解的稳定性方面均为最优，且明HDABC显优、于IGSOIGSO和、ABCGA等算法。

和PSO算法，在收敛速度方面优于表1实验结果

Tab.1Experimentalresult算例

算法

平均值最优值

最劣值方差全局最佳

HDABCIDABC46.48.215340.41.2049.4.50.52241.303753.9447值

9.0939763J50M6

IGSOABC

62.0209744.342854.882566.13651.854372.819424.5.45739PSOGA.07385.820440.772540.20

38.66750.201931.514877.531332.7514HDABCIDABC40.956633.25041.29213.1132.956933.9282543.71093.2618J50M8

IGSOABC

55.578247.90045.1408GA58.654143.4065467.96120.4.6575217957.453370.7561839.77031.2502

34.484246.96027.4806767.11125.00829HDABCIDABCPSO36.5319430.98037.226673.24837.561930.4756239.51.05361J50M10

IGSOABC

50.929342.85742.9734453.7700.5362156.21720.5.10603270PSOGA50.099166.3770734.06827.9806

75.749843.93266.70660.95621.052HDABCIDABC79.175469.08880.761872.1907586.2381595910.6.96569J80M6

IGSOABC

GA100.82.1221639108.22923.545113.88.565011.1039103.93490.28446124.262130.404466.0887

62.8422881.43154.2455120.4966122.75.041785HDABCIDABCPSO65.49456.2167.80167.756968.2330258.1570.3153837.98381J80M8

IGSOABC

88.67491.1791178.352576.8833101.73.250518.7.53386370PSOGA88.5105.519063.502654.24

55.658173.6697.96163107.097584.7575HDABCIDABC56.621950.342660.65725.2860.825752.7061.008749J80M10

IGSOABC

79.419768.2265.45.9502PSOGA81.363680.377869.939288.492499.9132.7.788276762.2605547.3426

.3584HDABCIDABC94.744783.829285.4799101.96.5798676366.584106.086011.88688J100M6

IGSOABC

104.98.25026543GA130.1718131.57111.93.84266211111.308418.458129.2458110.654142.546313.008151.47183.4799

108.04711HDABCIDABCPSO78.066582.57337365.402145.52988112.80.2428298771.3451384.811111.93568023J100M8

IGSO

ABC

85.54994

72.33652146

.6712794.91570024

18.7.716606107.274092.9228120.292516.4285

65.3453

PSOGA

122.108.2073991493.97.33321711125.127.15140.33332737460.71.84968765（第3期

张架鹏等：基于改进离散人工蜂群算法的同类机调度优化

695续表

算例

算法平均值最优值最劣值方差全局最佳

值

HDABCIDABC69.72.20455.60.250673.13.8.082J100M10

IGSOABC75.5443965.61579.959100710.25183GA100.94.968580587.9879979.6592106.81.84420114.45434.94875.8599255.2506

65.0147HDABCIDABCPSO142.95.584506579148.4410131.80.40832865108.80256131.470151.59116.402333.3707J150M6

IGSOABC158.43651.8131148.455991.973163.231169.253103.20.42293150PSOGA195.924193.30727175.20173232.0004157.376222.2692186.252131.4709

273.97215HDABCIDABC118.602123.29921100.8841232.19414109.5475128.553121.99429.1537J150M8

IGSOABC128.4681.87823112.06620135.9517149.6766138.7014175.313PSOGA1.9801157.034133.108137.84197217.90284108.24.19070100.5472

185.840210.38HDABCIDABC104.213108.02291.60291.0115113.769157.6117.903819.73414J150M10

IGSOABC111.53933121.222527.808GA145.577147.3930127.98.431591475166.805324.3377142.3605115.9428125.2768171.19991.0115

171.35834140.74.861540041HDABCIDABCPSO190.30412196.7216168.9731181.952202.404119.7033213.8197535.2432J200M6

IGSOABC211.3269249.8786188.57542227.844228.276135.04270.0358PSOGA2.616263.67353233.753230.262305.2362207.50.21520949168.9524

318.672338.751485.88430HDABCIDABC157.012163.10965139.79334148.5812168.45393179.935.705IGSOABC172.9669219.3097150.422199.88493186.7655844.034J200M8

247.1416PSOGA215.9160219.314174.415175.27461248.2795194.48.3551722254.9363300.704139.5812

HDABCIDABC137.67392143.807117.425120.67149.042341.4154.1135433.01123IGSOABC149.12240183.534127.5492175.90116161.33033.2J200M10

201.0139639.7592PSOGA194.3658200.534575661158.0221171.41286565229.186237.228422249243.90.736331708117.6762

3.2.2302.67467361群智能算法初始化参数的选取对算法的性能有一定的影参数分析

响，同一算法在解决不同领域的问题时，其参数的设置存在差异。原始的ABC算法采用的是针对连续型问题的编码方式，本文利用改进的离散型人工蜂群算法求解Qm|rj|C同类机调度问题，采用的编码方式是离散的，为达到最佳实验max类型的效果，需要对ABC算法的参数进行分析。本文实验讨论的参

数有3个：初始食物源数量（雇佣蜂规模）SN、算法最大迭代次

数MaxCycle和食物源经多次迭代未更新的最大保留次数limit。

以下3组实验分别分析SN、

MaxCycle和limit对算法性能的影响，采用的同类机调度问题的算例均J法运行100次，取平均值作为最终结果，并以目标函数的平均100M10，每组实验算值作为评价函数值评价算法的性能。

Fig.2Algorithmic图2四种算例的算法求解曲线

solutionofcurvesforfourexamples

图3（a）显示的是雇佣蜂规模SN对本文算法性能的影响MaxCycle=1000，limit=80），如图3（a）所示，算法的评价函数值与雇佣蜂规模整体上呈现负相关，且在一定范围内，算法的评价函数值随雇佣蜂规模的增加而快速减小，当雇佣蜂规模超过一定值后，算法性能逐渐趋于稳定。由图3（a）可知，算法的最佳雇佣蜂规模为90。

图3（b）分析的是最大迭代次数MaxCycle对本文算法性能的影响（SN=90，limit=80），迭代次数对群智能算法的影响巨大，本文取（100，300，500，600，700，800，900，1000，1100，

（696计算机应用第40卷

1200）10组最大迭代次数进行分析。由图3（b）可以看出，在

MaxCycle∈[0，700]范围内，评价函数值随最大迭代次数的增

实验分析其优劣。理论上，如果limit的值太小，则食物源更新的速度过快，无法达到最优解，如果limit的值太大，则会降低种群的多样性，算法易陷入局部最优，因此这两种情况都会50]范围内，降低算法的性能。如图3（c）所示，在limit∈[0，算

加越来越优，当MaxCycle>700，最大迭代次数的改变对评价函数值的影响相对平缓，即不能较大程度上影响算法性能。因此，针对该类同类机调度问题的人工蜂群算法的最大迭代次数取为700。

图3（c）描述的是食物源经多次迭代未更新的最大保留次数limit对本文算法性能的影响（SN=90，MaxCycle=700），本文limit的值取（10，20，30，40，50，60，70，80，90，100）10组，通过

法的评价函数值随limit值的递增而减小，此时算法性能逐渐提升，当limit=50时，算法的性能在实验组中达到最优，当limit>50时，评价函数值整体上随limit值的递增而增大，算法

性能逐渐下降。因此，针对该类同类机调度问题的参数limit的最佳取值为50。

4

针对同类机调度领域存在的问题和不足，本文提出了一

[6]

结语

Fig.3EffectofparametersSN、MaxCycleandlimitonperformanceoftheproposedalgorithm

发式算法［J］.系统工程理论与实践，2012，32（9）：2022-2030.（MAY，YANGSL，TANGDW.Heuristicalgorithmforuniform-machineschedulingwithmachinereleasetimes［J］.SystemsEngi⁃neering-TheoryandPractice，2012，32（9）：2022-2030.）

图3参数SN、MaxCycle和limit对本文算法性能的影响

种改进的离散型人工蜂群（IDABC）算法求解同类机调度问题。首先，引入了同类机调度问题的数学模型；其次，引入了种群初始化策略，获得均匀分布的种群，通过改进雇佣蜂和跟随蜂的局部搜索策略，提高了算法的种群多样性和防止算法陷入局部最优，通过提出带优参数的生成策略和改进侦察蜂的全局搜索过程，提高了算法的收敛速度；最后，分析了本文改进算法的整体性能，并利用15个算例的仿真对比实验，证明了本文算法具有良好的收敛速度、求解精度以及求解稳定性，可以有效地求解同类机调度问题。

本研究只考虑了最小化最大加工时间一种类型的同类机调度问题，在后续的研究工作中，应考虑更多应用场景，同时，进一步优化人工蜂群算法，提升算法的寻优性能。参考文献（References）

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interestsintelligenceincludedatamining，financialdataanalysis，businessZHUXuhuiandintelligent，bornindecision1991，Ph.making.

D.，lecturer.HisresearchinterestsincludeWUintelligentZhangjuncomputing，bornin，machine1972，Ph.learning.

D.，associateprofessor.His

researchinterestsincludemachinelearning，datamining.