平面向量练习题(二) 菁优网

平面向量练习题（二）

一．选择题（共30小题）

1．（2014•上海模拟）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若 A0 ． B． C． D． ，则

的最小值是（ ）

2．（2014•福州一模）如图，设向量有可能的位置区域正确的是（ ） AB． ． =（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所

C． D． 3．（2014•重庆模拟）正△ABC边长等于 A． B． ，点P在其外接圆上运动，则C． D． 的取值范围是（ ）

4．（2014•许昌二模）自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运劝，点Q在OB上运动且保持定值a（点P，Q不与点O重合），已知∠AOB=60°，a= A（，． B（． ，则

+

的取值范围为（ ） D（﹣． 为

] ，] C（﹣，． ] ，7] 5．（2014•绍兴一模）已知点A，B分别在直线x=1，x=3上，O为坐标原点，且|值时， A0 ． •

的值为（ ）

B2 ． C3 ． D6 ． ﹣

|=4．当|

+

|取到最小

6．（2014•合肥三模）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E、F分别为BC、CD边上动点，且满足EF=1，则的最大值为（ ） A3 B4 ． ． •

C5+． D5﹣． 7．（2014•浙江模拟）设G是△ABC的重心，且 A4

a +b+c=，如果b=4，则△ABC的面积是（ ）

B2 C4D41

． 8．（2014•天津二模）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB上任意一点，则值为（ ） A8 ． •（

﹣

）的最大

． ． ． B9 ． C12 ． D15 ． 9．（2014•沈阳模拟）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（ ）

A﹣ ． B． C﹣ ． D． 10．（2014•诸暨市模拟）已知Rt△ABC中，AB=8，AC=4，BC=4，则对于△ABC所在平面内的一点P，•（+）

的最小值是（ ） A﹣14 B﹣8 C﹣26 D﹣30 ． ． ． ． 11．（2014•洛阳三模）如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则

的最小值为（ ）

AB9 CD﹣9 ． ． ． ． 12．（2014•齐齐哈尔三模）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若

，则（ ）

A0＜m+n＜1 ．

Bm+n＞1 ． Cm+n＜﹣1 ．

2

D﹣1＜m+n＜． 0

13．（2013•静安区一模）已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若则m的值为（ ） A1 BsinA ． ． ，

CcosA ． DtanA ． 14．（2013•资阳模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（含边界）的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）

A（1，3] ． B[2，4] ． C[3，4] ． D[1，5] ． 15．（2013•福建一模）在矩形ABCD中，AB=1，AD=μ∈R），则λ+ A ． μ的最大值为（ ） B ． ，P为矩形内一点，且AP=．若（λ，

C． D． 16．（2013•济南二模）△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 A． 17．（2013•滨州一模）如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB=6，MN=4，则

=（ ）

B． C． D． ，则的值为（ ）

上的点，M、N是直径AB上关于O对称的两点，且

A13 ． B7 ． C5 ． D3 ． 18．（2013•浙江二模）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足关系为（ ） A． P在△ABC内部 C． P在AB边所在直线上 ，则点P与△ABC的

B． D． P在△ABC外部 P是AC边的一个三等分点 3

19．（2013•楚雄州模拟）已知点P为△ABC内一点，且（ ） A9：4：1 ． +

+3

=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于

B1：4：9 ． C3：2：1 ． D1：2：3 ． 20．（2013•婺城区模拟）在△ABC中，已知=x A1 ． +y

•

=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且

，则xy的最大值为（ ） B2 ． C3 ． D4 ． 21．（2013•河西区一模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若n∈R），则的值为（ ） A2 ． B﹣2 ． C3 ． D﹣3 ． （m，

22．（2013•长春一模）直线l1与l2相交于点A，动点B、C分别在直线l1与l2上且异于点A，若60°， A2π ． ，则△ABC的外接圆的面积为（ ）

B4π ． C8π ． D12π ． 与的夹角为

23．（2014•吉林二模）如图，在四面体OABC中，，则=（ ）

A8 ． B6 ． C4 ． 2

D3 ． 24．（2013•长宁区一模）在△ABC中，若•+=0，则△ABC是（ ）

A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三． ． ． ． 角形 25．（2012•青州市模拟）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若

，则mn的最大值为（ ）

4

A． B1 ． C2 ． D3 ． 26．（2014•洛阳二模）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（ ） A2 ． B． C． D1 ． 27．（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（ ） A． B． C． D． 28．（2009•济宁一模）在周长为16的△PMN中，MN=6，则 A[7，+∞） ． 29．给定向量值之差为（ ） A2 ． 30．已知向量 A． 且满足

B（0，7] ． 的取值范围是（ ）

D[7，16） ． C（7，16] ． ，若对任意向量满足，则的最大值与最小

B1 ． C． D． 的夹角为60°，B． C． ，与共线，则D1 ． 的最小值为（ ）

5

平面向量练习题（二）

参与试题解析

一．选择题（共30小题）

1．（2014•上海模拟）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若，则

的最小值是（ ）

A0 B． ． 考点： 专题： 分析： CD． ． 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1），+=1，且﹣1≤y1＜1．根据 =2﹣2y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值． 6

解答： 解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆 的圆心为O（0，0）， 点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（﹣x1，y1）， ﹣1≤y1＜1． ∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），∴2y1+1 =2﹣2y1， 取得最小值为﹣， =﹣+﹣2y1+1=﹣（1﹣+）+=1． ﹣∴当y1=时，故选：C． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题． 2．（2014•福州一模）如图，设向量有可能的位置区域正确的是（ ） AB． ． =（3，1），

=（1，3），若

=λ

+μ

，且λ≥μ≥1，则用阴影表示C点所

C． D． 考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算；二元一次不等式（组）与平面区域． 平面向量及应用． 利用向量的坐标运算可得λ，μ用x，y表示．再根据λ≥μ≥1，即可得出x，y满足的约束条件，进而得出可行域． 解：设C（x，y）． 解答： 7

∵=λ+μ=λ（3，1）+μ（1，3）=（3λ+μ，λ+3μ）， ∴，解得， ∵λ≥μ≥1， ∴． 点评： 3．（2014•重庆模拟）正△ABC边长等于 A． 考点： 专题： 分析： B． 故选：D． 本题考查了向量的线性运算和约束条件及其可行域，属于中档题． ，点P在其外接圆上运动，则C． D． 的取值范围是（ ）

平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 利用正弦定理可得△ABC的外接圆的半径R，利用外接圆的性质和数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性即可得出． 8

解答： 解：如图所示． 由正△ABC边长等于∴∠AOB=120°，R=，点P在其外接圆上运动． =1． ∴== =cos∠POB﹣1﹣cos120°+cos∠AOP =2cos∠AOBcos（∠AOP﹣∠POB）﹣ =﹣cos（∠AOP﹣∠POB）﹣， ∵﹣1≤cos（∠AOP﹣∠POB）≤1， ∴故选：B． ． 点评： 本题考查了正弦定理、三角形的外接圆的性质、数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 4．（2014•许昌二模）自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运劝，点Q在OB上运动且保持定值a（点P，Q不与点O重合），已知∠AOB=60°，a= A（，． 考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 为

，则+的取值范围为（ ）

] B（． ，] C（﹣，． ] D（﹣． ，7] 作图，记向量向量与与的夹角为α，0°＜α＜120°可得的夹角为120°﹣α，可得 9

+=||cosα+3||cos（120°﹣α），由三角函数的公式化简结合角的范围可得所求． 解答： 解：（如图）记向量可得向量﹣α， ∴====+cosα+3=||cosα+3||cos（120°﹣α） 与与的夹角为α，0°＜α＜120° 的夹角为180°﹣（60°+α）=120°cos（120°﹣α） sinα） sinα） （cosα﹣cosα+（﹣cosα+•sin（α﹣β） =， =7sin（α﹣β），其中tanβ=∵tanβ=＜，∴0°＜β＜30°， 又∵0°＜α＜120°，∴﹣30°＜α﹣β＜120° ∴﹣＜sin（α﹣β）≤1 ∴﹣＜7sin（α﹣β）≤7， ∴+的取值范围为（﹣，7] 故选：D 点评： 5．（2014•绍兴一模）已知点A，B分别在直线x=1，x=3上，O为坐标原点，且|值时， A0

本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角函数的化简及应用，属中档题． ﹣|=4．当|+|取到最小

•的值为（ ）

B2 C3

10

D6

． ． ． 考点： 专题： 分析： 解答： ． 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 利用向量的坐标运算法则，及当|+|取到最小值时，可得⊥，即可得出． 解：如图所示， 设A（1，s），B（3，t）． ∵|﹣|=4． ∴|（1，s）﹣（3，t）|=|（﹣2，s﹣t）|=， ∴（s﹣t）2=12． |+|=|（4，s+t）|=≥4，当且仅当s+t=0时取等号． 因此|+|取到最小值4时，s+t=0， ∴（﹣t﹣t）2=12，得到t2=3． ∴=3+st=3﹣3=0． 故选：A． 11

点评： 本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基础知识，考查了计算能力，属于中档题． 6．（2014•合肥三模）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E、F分别为BC、CD边上动点，且满足EF=1，则的最大值为（ ） •

A3 ． 考点： 专题： 分析： B4 ． C5+ ． D5﹣ ． 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 如图所示，设E（2，a），F（b，1）．由EF=1，利用两点之间的距离公式可得（a﹣1）2+（b﹣2）2=1．利用数量积运算可得=2b+a，令a+2b=t与圆的方程联立可得5b2﹣4tb+t2﹣2t+4=0．当直线a+2b=t与圆有公共点时，△≥0，解出即可得出． 12

解答： 解：如图所示， 设E（2，a），F（b，1）． ∵EF=1，∴2=1，即（a﹣1）2+（b﹣2）=1． =2b+a， 令a+2b=t， 联立22， 化为5b﹣4tb+t﹣2t+4=0． 22当直线a+2b=t与圆有公共点时，△=16t﹣20（t﹣2t+4）≥0， 2解得t﹣10t+20≤0， 解得∴•的最大值为． ． 故选：C． 点评： 本题考查了两点之间的距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的位置关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 7．（2014•浙江模拟）设G是△ABC的重心，且 A4 ． 考点： 专题： 平面向量数量积的运算． a +b+c=，如果b=4，则△ABC的面积是（ ）

B2． C4． D4． 平面向量及应用． 13

分析： 由于G是△ABC的重心，可得，又相减可得：a+b+c，于是=，两式，b=c．即可得出． 解答： 解：∵G是△ABC的重心，∴∴又∴∴∴a=∴∴∴△ABC的面积===，b=c． ，b=c=4． ， =． a+b+c， =， =， ， ． 点评： 故选：D． 本题考查了三角形的重心的性质、向量的运算、共面向量的基本定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 8．（2014•天津二模）已知△ABC的三边长AC=3，BC=4，AB=5，P为AB上任意一点，则值为（ ） A8 ．

•（﹣）的最大

B9 ． C12 ． D15 ． 14

考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算和一次函数的单调性即可得出． 解答： 解：如图所示，建立直角坐标系． 设P（x，y），（0≤x≤3，0≤y≤4）． 则•（﹣）==（x，y）•（3，0）=3x≤9． 当x=3时取等号． ∴•（﹣）的最大值为9． 故选：B． 点评： 本题考查了数量积的坐标运算和一次函数的单调性，属于基础题． 9．（2014•沈阳模拟）如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，

=

，

=2

，则向量

•

=（ ）

A﹣ ． 考点： 专题： 平面向量数量积的运算． B． C﹣ ． D． 平面向量及应用． 15

分析： 由向量的运算可得==（），，由数量积的定义可得． 16

解答： 点评：

解：∵=，=2， ∴=（），=， ∴== = = =， ∴•=（）•（） = == 故选：B 本题考查向量数量积的运算，用已知向量表示未知向量是解决问题的关键，属中档题． 17

10．（2014•诸暨市模拟）已知Rt△ABC中，AB=8，AC=4，BC=4，则对于△ABC所在平面内的一点P，•（

+

）

的最小值是（ ） A﹣14 B﹣8 C﹣26 ． ． ． 考点： 专题： 分析： 解答：

D﹣30 ． 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，然后利用向量的数量积的坐标表示求解•（+），根据两点间的距离公式即可求解 解：分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系 ∵AB=8，AC=4 ∴A（0，4），C（0，0），B（，0） 设P（x，y），则，，， ∴ ∴•（+）= = = 即为△ABC内一点到点（）距离平方，当其最小时向量•（+）的最小， 因为点（）也在△ABC内， 所以最小为0，所以•18

（+）的最小值是﹣14． 点评： 故选：A． 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，解题的关键是根据所求式子几何意义． 11．（2014•洛阳三模）如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则

A． B9 ． 考点： 专题： 分析： 解答： 的最小值为（ ）

C． D﹣9 ． 向量在几何中的应用． 常规题型． 根据图形知：O是线段AB的中点，所以=2，再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出． 解：∵圆心O是直径AB的中点，∴+=2 所以=2•，∵与共线且方向相反∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当PO=PC=时，最小值为﹣2×=﹣ 故选C 19

点评： 本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键． 12．（2014•齐齐哈尔三模）如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点，若

，则（ ）

A0＜m+n＜1 B． ． 考点： 专题： 分析： m+n＞1 Cm+n＜﹣1 D﹣1＜m+n＜． ． 0 向量在几何中的应用． 平面向量及应用． 不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，此时四边形AOBC为菱形，可得=+，求出m，n，从而可得到选项． 20

解答： 解：∵点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点， ∴不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，此时四边形AOBC为菱形， 则又∵=+， ， ∴m=n=1，则m+n=2，从而可排除A，C，D选项， 故选：B． 点评： 本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，排除法解选择题，属于中档题． 13．（2013•静安区一模）已知O是△ABC外接圆的圆心，A、B、C为△ABC的内角，若则m的值为（ ） A1 BsinA ． ． 考点： ，

CcosA ． DtanA ． 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 21

分析： 解答： 根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，根据平面向量的三角形法则可得，利用外接圆的性质可得OD⊥AB，．由向量共线定理可得．等式两边同时与向量作数量积，再利用正弦定理及两角和的余弦公式即可得出． 解：如图所示，取线段AB的中点D，连接DO，则，∵点O是三角形ABC的外接圆的圆心，∴OD⊥AB，∴． ． 对等式两边与向量作数量积，得， 化为，∴． 由正弦定理得，∴． ∴==sinA， 故选B． 22

点评： 本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的圆心公式等基础知识与基本技能，考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力． 14．（2013•资阳模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（含边界）的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）

A（1，3] ． 考点： 平面向量的基本定理及其意义． B[2，4] ． C[3，4] ． D[1，5] ． 专题： 分析： 平面向量及应用． 如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①时，m+n=4．②及点P位于线段CE上时，m+n=3．③除了①、②的情况满足3＜m+n＜4，．综上可得：3≤m+n≤4． 23

解答： 解：如图所示，连接AD交CE于点M，由正六边形的性质可得点M为CE的中点． ①∴与向量m+n=4． ②=． ∴∴，即，又， ，∴此时m+n=3． =，又，，，化为，，， （m，n为实数）比较可得：③当点P位于线段CE上时，记作Q，则===，此时m+n=3． ④当点P不在线段CE上时，==（1+λ＞=1）． ∴3＜（1+λ）（m+n）≤4． 综上可得：3≤m+n≤4． 故选C． 点评： 本题考查了正六边形的性质、向量的加法和共线定理、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题． 15．（2013•福建一模）在矩形ABCD中，AB=1，AD=μ∈R），则λ+ A ．

，P为矩形内一点，且AP=．若（λ，

μ的最大值为（ ） B ． C． D． 24

考点： 专题： 分析： 解答： 平面向量的基本定理及其意义． 平面向量及应用． 可根据条件画出图形，根据图形设∠PAE=θ，且0，则又可用表示为：．所以根据平面向量基本定理得到：，所以λ+μ==，最大值为1，所以的最大值为． 解：如图，设∠PAE=θ，，则： 25

； 又； ∴； ∴=； ∴的最大值为． 故选B． 点评： 考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数sinx的最大值，以及平面向量基本定理． 16．（2013•济南二模）△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（ A． BC． ． D． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 向量法． 分析： 将已知等式中的移到等式的一边，将等式平方求出；将利用向量的运算法则用，利用运算法则展开，求出值． 解答： 解：∵ ∴ ∴= ∵A，B，C在圆上 ∴OA=OB=OC=1 ∴ ∴ 26

）

== 点评： 故选A． 本题考查向量的运算法则；向量模的平方等于向量的平方；将未知向量用已知向量表示． 17．（2013•滨州一模）如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB=6，MN=4，则

=（ ）

上的点，M、N是直径AB上关于O对称的两点，且

A13 B7 ． ． 考点： 专题： 分析： 解答： C5 ． D3 ． 平面向量数量积的运算． 平面向量及应用． 根据向量减法法则，用、、表示、，再根据向量数量积运算公式计算，从而求得结果． 解：连结AP，BP，则 ，=， ∴=（）•（）=﹣+﹣=0﹣+﹣ =﹣=1×6﹣1=5， 故选C． 27

点评： 本题考查向量运算及向量的数量积公式的应用，两个向量加减法及其几何意义，属于中档题． 18．（2013•浙江二模）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足关系为（ ） ，则点P与△ABC的

A． C． 考点： 专题： 分析： 解答： 点评： P在△ABC内部 P在AB边所在直线上 B． P在△ABC外部 D． P是AC边的一个三等分点 向量在几何中的应用． 计算题． 利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论． 解：∵， ∴，∴， ∴P是AC边的一个三等分点． 故选项为D 本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件． 28

19．（2013•楚雄州模拟）已知点P为△ABC内一点，且（ ） A9：4：1 ． 考点： 专题： 分析： +

+3

=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于

B1：4：9 ． C3：2：1 ． D1：2：3 ． 向量在几何中的应用． 计算题；压轴题． 先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边解答： 形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比 解：∵++3=，∴+=﹣+），如图：∵， ∴ ∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线 ∴====2 而S△APB=S△ABC ∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1 故选 C 29

点评： 本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键 20．（2013•婺城区模拟）在△ABC中，已知=x A1 ． 考点： 向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用． •

=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且

+y，则xy的最大值为（ ） B2 ． C3 ． D4 ． 专题： 计算题；解三角形． 30

分析： △ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC的值，再由•=9，S△ABC=6可得bccosA=9，bcsinA=6可求得c，b，a，建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设 ，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由 =x+y推出x与y的关系式，利用基本不等式求解最大值． 31

解答： 解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b ∵sinB=cosA•sinC，sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴sinAcosC=0 ∵sinA≠0∴cosC=0 C=90° ∵•=9，S△ABC=6 ∴bccosA=9，bcsinA=6 ∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15 ∴c=5，b=3，a=4 以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4） P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1） 设 ，则||=||=1， =（1，0），=（0，1）， ∴=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12， 12=4x+3y≥，xy≤3 故所求的xy最大值为：3． 故选C． 32

点评： 本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值． 21．（2013•河西区一模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若n∈R），则的值为（ ） A2 ． 考点： 向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义． （m，

B﹣2 ． C3 ． D﹣3 ． 专题： 分析： 平面向量及应用． 利用三角形的相似，可得运算，即可得到结论． ，再利用向量的加法解答： 解：因为AD∥BC，所以△AEF∽△CBF， 因为点E是AD的中点，所以所以∵∴∵∴m=，n=﹣， = ． 33

∴=﹣2． 故选B． 点评： 本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 22．（2013•长春一模）直线l1与l2相交于点A，动点B、C分别在直线l1与l2上且异于点A，若60°， A2π ． 考点： 专题： 分析： 向量在几何中的应用． 与的夹角为

，则△ABC的外接圆的面积为（ ）

B4π ． C8π ． D12π ． 平面向量及应用． 先根据题意作图，从而得到∠BAC=60°，再根据正弦定理可求出△ABC的外接圆的半径，最后利用圆的面积公式解之即可． 34

解答： 解：根据题意可知∠BAC=60°，根据正弦定理可知 ， ∴R=2 则△ABC的外接圆的面积为π×2=4π 故选B． 2 点评： 本题主要考查了向量的夹角，以及正弦定理的应用和圆的面积的度量，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 23．（2014•吉林二模）如图，在四面体OABC中，

，则

=（ ）

A8 ． 考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算． B6 ． C4 ． D3 ． 平面向量及应用． 根据题意，求出•的表达式，再利用余弦定理求出cos∠AOC以及cos∠BOC的值，即可得出答案． 35

解答： 解：∵•==3|•﹣=••（ |cos∠BOC， ﹣） |cos∠AOC﹣|且cos∠AOC= =， cos∠BOC= =AC=BC， ∴3||cos∠AOC﹣|； |cos∠BOC =3||×﹣||× =﹣ 点评： =4； 故选：C． 本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的应用问题，是易错题． 24．（2013•长宁区一模）在△ABC中，若 A锐角三角形 ． 考点： 平面向量数量积的含义与物理意义． •+

2

=0，则△ABC是（ ）

D等腰直角三． 角形 B直角三角形 ． C钝角三角形 ． 专题： 计算题． 36

分析： 由 ，得：，即：答案． 解答： 解：由 得 即 ， ， 得出所以△ABC是直角三角形． 故选B． 点评： 本题主要考查了平面向量数量积的含义与物理意义，关键是通过向量的数量积为0得垂直关系，解题时经常用到． 25．（2012•青州市模拟）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若

，则mn的最大值为（ ）

A． 考点： 向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用． B1 ． C2 ． D3 ． 专题： 分析： 计算题． 利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点

37

O（1，1）在直线上，求出m和n的关系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立时条件是否成立． 解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2， 则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0）， ∵∴∴、， ， ， ， 解答： ∴直线MN的方程为∵直线MN过点O（1，1）， ∴∵∴=1，即m+n=2 （m＞0，n＞0）， ， ∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1． 故选B． 38

点评： 本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想． 26．（2014•洛阳二模）若，，均为单位向量，且•=﹣，=x+y（x，y∈R），则x+y的最大值是（ A2 B C D1 ． ． ． ． 考点： 平面向量的综合题；平面向量的基本定理及其意义． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题设知==x2+y2﹣xy=1，设x+y=t，y=t﹣x，得3x2﹣3tx+t2﹣1=0，由方程3x2﹣3tx+t2﹣1=0有解，知△=9t2﹣12（t2﹣1）≥0，由此能求出x+y的最大值． 解答： 解：∵，，均为单位向量， 且•=﹣，=x+y（x，y∈R）， ∴==x2+y2﹣xy=1， 设x+y=t，y=t﹣x，得：x2+（t﹣x）2﹣x（t﹣x）﹣

39

）

1=0， ∴3x﹣3tx+t﹣1=0， 22∵方程3x﹣3tx+t﹣1=0有解， 22∴△=9t﹣12（t﹣1）≥0， 2﹣3t+12≥0， ∴﹣2≤t≤2 ∴x+y的最大值为2． 故选A． 本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．本题也可用基本不等式解答 22点评： 27．（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（ ） A． 考点： 平面向量数量积的运算；向量的模． B． C． D． 专题： 分析： 压轴题；平面向量及应用． 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 解答： 解：∵||=||=1，且∴可设． ∴∵∴﹣1）=1． 2， ，，． ， ，即（x﹣1）+（y2 40

∴的最大值==． 故选C． 点评： 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 28．（2009•济宁一模）在周长为16的△PMN中，MN=6，则 A[7，+∞） ． 考点： 平面向量数量积的运算；余弦定理． 的取值范围是（ ） D[7，16） ． B（0，7] ． C（7，16] ． 专题： 分析： 计算题；压轴题． 利用向量的数量积公式表示出向量的数量积；利用三角形的余弦定理求出向量的夹角余弦；通过求二次函数的对称轴求出范围． 解答： 解：设PM=x，则PN=10﹣x，∠MPN=θ 所以 =x（10﹣x）cosθ 在△PMN中，由余弦定理得cosθ= 又，解得2＜x＜8 ∴（2＜x＜8），是一个开口向上 41

的二次函数，对称轴为x=5 当x=5时最小为7，当x=2或x=8时最大为16 故答案为[7，16） 故选D． 点评： 本题考查向量的数量积公式、三角形的余弦定理、二次函数的最值求法． 29．给定向量值之差为（ ） A2 ． 考点： 专题： 分析： 且满足

，若对任意向量满足

，则

的最大值与最小

B1 ． C． D． 向量的模． 计算题；压轴题． 令 = 可得 ⊥，有|+|=|﹣|=1，当 ≠ 时，把 ||=1，故 展开化简可得的最大值为1，最小值为0． 解答： 解：∵对任意向量满足∴当 = 时，•=0，故 ⊥． ∵由 ，，由向量加减法的几何意义得|+|=1． 可得，•﹣• 42

（+）+∴=0，∴=•（+）， =||•|+|=||，∴||=1， 的最大值与最小值之差为 1﹣0=1， 又∵||≥0，故故选 B． 点评： 本题考查向量的模的定义，向量加减法的几何意义，两个向量垂直的条件． 30．已知向量 A． 考点： 两向量的和或差的模的最值． 的夹角为60°，B． C． ，与共线，则D1 ． 的最小值为（ ）

专题： 分析： 计算题；压轴题． 要求将的最小值，根据表达为λ（与共线，可）的形式，代入构造一个关于λ的二次函数，利用求二次函数最佳的办法进行求解． 解答： 解：∵根据∴令则==λ（与） 共线， == 43

点评： ∵向量的夹角为60°，， ∴， ∴=≥ 则的最小值为 故选C 求最小值的办法有多种：①构造函数，根据求函数值域（最值）的办法解答；②利用基本不等式③利用线性规划．等等，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向． 44