第３２卷第１期 湖州师范学院学报 Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．１ ２０１０年２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｆｅｂ．，２Ｏ１０ Ａｎ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇａｍｍａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＹＵＡＮ Ｙｉ—ｑｕｎ．ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ （Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｕｚｈｏｕ ３１３０００。Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎｔｅｎｓｉｖｅｌｙ ｂｙ ｍａｎｙ ａｕｔｈｏｒｓ ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓ ｓｅｓ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ（ｚ） Ｅｒ（ｚ＋１）］｛ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｇ √－ｚ ａｌＴｌｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｓ ａｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｒｏｖｅｓ Ｚｈａｎｇ，Ｗａｎｇ ａｎｄ Ｃｈｕ’Ｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ；ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ＣＬＣ ｎｕｍｂｅｒ：Ｏ１ ７４．６ Ｄｏｃｕｍｅｎｔ ｃｏｄｅ：Ａ Ａｒｔｉｃｌｅ ＩＤ：１００９—１７３４（２０１０）０１—００３７—０３ ＭＳＣ ２０００：３３Ｃ０５ ０ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ 篱 Ｆｏｒ ｒｅａｌ ａｎｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｚ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｒ（ ）＝＝＝Ｉ ｅ 。广 ｄｔ （１） Ｊ ｏ Ｔｈｅ ｐｓｉ ｏｒ ｄｉｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ［ ， 一 －Ｖ＋』 （２） ｗｈｅｒｅ），一０．５７７２１５６６４９０…ｉｓ ｔｈｅ Ｅｕｌｅｒ—Ｍａｓｅｈｅｒｏｎｉ ｃｏｎｓｔａｎｔ． Ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｉｎｔｅｎｓｉｖｅｌｙ ｂｙ ｍａｎｙ ａｕｔｈｏｒｓ ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｐａｓｔ ｙｅａｒｓ．Ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｐａｓｔ ｈａｌｆ ｃｅｎｔｕｒｙ ｍａｎｙ ａｕｔｈｏｒｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｎｕｍｅｒｏｕｓ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ｉｍｐｏｒ— ｔａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓＥ ～ ． Ｉｎ［８２，Ｚｈａｎｇ ｅｔｃ．ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ： Ｔｈｅｏｒｅｍ Ａ Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 厂（ ）一 ［－ｐ（ｘ＋ ＋１）／Ｐ（ｙ＋１）］ ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｉｎ ｘ＞０ ｆｏｒ ｆｉｘｅｄ ≥ ｇ（ ）一 ＿『 ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｉｎ ｘ＞Ｏ ｆｏｒ ｆｉｘｅｄ 三三三０．Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｆｏｒ ａｌｌ ｚ∈（Ｏ，ｏｏ）ａｎｄ ｙ∈Ｅ０，∞），ｗｅ ｈａｖｅ ｚ＋ ＋１／，［厂（ｚ＋ ＋１）／Ｆ（ｙ＋１）］ｉ／， 压王五ｊ ＋ ＋２、［Ｉ１（ｚ＋．ｙ＋２）／Ｆ（ ＋１）］ 、 Ｉｚ＋ ＋２ （３） ＊ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｄａｔｅ：２００９—１０—１５ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｓ Ｐａｒｔｌｙ Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ（Ｙ２００９０８６７１） ａｎｄ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｌｅｖｅｌ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｓｐｅｃｉａｌｔｙ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＹＵＡＮ Ｙｉ—ｑｕｎ，Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｄｅ ２００５，Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｒｅ ｓｅａｒｃｈ Ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ：Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． ３８ 湖州师范学院学报 第３２卷 Ｉｆ ｗｅ ｓｅｔ ｙ＝０，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ（３）ｃａｎ ｂｅ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ Ｂ ｙ ｄ ［ｒ（ｚ＋２）］南 ＜ ｒ Ｃ ｅ （４） Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｓｈａｌｌ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ａ Ｏ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｍ— Ｃ Ⅱ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｈｔｙ（４）． ｐ Ｕ ａ ｏ １ Ｍａｉｎ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｎ ａ ｎ ｄ Ｕ Ｔｈｅ ｆｏｉｌ。ｗｉｎｇ ｄｏｕｂｌｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃ。ｎｄ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ。ｆ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏＳ ｎ ｂｅｌ。ｎｇ ｎ ｇ ｔｏ Ｍ．Ｍｅｒｋｌｅ： ， ｇ ｅ Ｌｅｍｍａ １ Ｆｏｒ ｘｆｆ（Ｏ，ｏｏ）， （ ｑ １ ＋ １＋ ＜ （．ｚ）＜ 丰 ＋ １＋ ｝ ． ＿蚕（ 一 睡 ｓ ５） Ｔｈｅ０ｒｅｍ ２ Ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａ ｃ。ｎｓｔａｎｔ ｎ∈（１，２）ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉ。ｎ ｇ（ｚ）： 菩 ｉ（ ｚ ｓ ｓｔｒ） ｉｃ， ｔｌｙ ～Ｚ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｉｎ（。，＋∞）．Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｆｏｒ ∈（Ｏ，∞），ｗｅ ｈａｖ。 ） ｈ 一一 兰± ／ １—２ ［ｒ（ｚ＋２）］ 、 （６） Ｐｒｏｏｆ Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｙｉｅｌｄｓ Ｉ。ｇ［ｇ（ｚ）］：＝＝１１。ｇＰ（ｚ＋１）一 １ ｌ。ｚ ｇ ． （７） Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ．ｚ，（７）ｇｉｖ １。 （ｚ １）＋ （ｚ＋１）一号三ｇ （ｚ） ａｎｄ （８） ｇ （ｚ）＞ｚ １ １ ＋ 而１］一÷一 ｚ ＋５ ＋７ｚ ＋ｚ一４ ｈ （ ） ２（ｚ＋２） （ｚ＋１） 一ｈ２（ｚ）’ ｗｈｅｒｅ ｈｉ（ ）一ｏＺ＂ ＋５ｘ。＋７ｘ ＋ 一４ ａｎｄ ｈ２（ｚ）一２（ｚ＋１）。（ｚ＋２）。．Ｉｔ ｉｓ ｃ１ｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ １（ｚ）ｉｓ ｔ ｔｌｙ ｎ。 ｅａ ｍｇ ｉｎ（Ｏ＇＋。。）・Ｓｉｎｃｅ ｈ１（Ｏ）＜０ ａｎｄ ｈ１（１）＞Ｏ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｕｎｉｑｕｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｚ。∈（Ｏ，１） ｓｕｃｈ ａｓ ｈｉ（ｘ０）一０・Ｔｈｕｓ ｗｅ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｏｂｔａｉｎ ｇ １（ｚ）＞０ ｆｏｒ ｘ＞ｘ。ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ１（ｚ）ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｉｎ— ｃｒｅａｓｍｇ ｉｎ（ 。＇＋ｏｏ）・Ｂｙ ｓｉｍｐｌｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｇ１（１）＜Ｏ ａｎｄ ｇ１（２）＞Ｏ，ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｕｎｉａｕｅ ｃｏｎｓｒａｎｔ ａｆｔ（１，２）ｓｕｃｈ ａｓ ｇ１（ｎ）一０．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇ（ ）ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｉｎ（口，＋ｏ。）． Ｒｅｍａｒｋ Ｗｅ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ（ｚ）ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ ｉｎ（ 。，以）ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ．Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｃｏｎｓ ｄｅｒ ｔｈｅ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇ（ｚ）ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｂｙ（８）ａｎｄ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｖ Ｓｉｎｃｅ √ ｜ｚ ，｝＜√ ｚ十１ ｆｏｒ 二＞０，ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ（６）ｉｍｐｒｏｖｅｓ（４）ｆｏｒ ｚ＞口，ｈｅｒｅ以ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ２． 第２期 ＹＵＡＮ Ｙｉ—ｑｕｎ，ｅｔ ａｌ：Ａｎ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇａｍｍａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ３９ Ｒｅｆｅｆｅｎｃｅｓ： Ｅ １］ＷＨＩＴＴＡＫＥＲ Ｅ Ｔ，ＷＡＴＳＯＮ Ｇ Ｎ．Ａ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆｍｏｄｅｒｎ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．４ｔｈ ｅｄ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９５８． ［２］谭琳．函数札记［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，１９９７：１１～３９． ［３］ＡＬＺＥＲ Ｈ．Ｓｈａｒｐ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｄｉｇａｍｍａ ａｎｄ ｐｏｌｙｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｆｏｒｕｍ Ｍａｔｈ，２００４，１６：１８１～２２１． ［４］ＧＵＯ Ｂ Ｎ，ＱＩ Ｆ．Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｔａｉｗａｎｅｓｅ Ｊ Ｍａｔｈ，２００３，７（２）： ２３９～２４７． Ｅ ５］ＡＮＤＥＲＳＯＮ Ｇ Ｄ，ＱＩＵ Ｓ Ｌ．Ａ ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．胁ＡｍｅｒＭａｔｈ Ｓｏｃ，１９９７，１２５：３３５５ ～３３６２． ［６］ＭＥＲＫＬＥ Ｍ．Ｇｕｒｌａｎｄ’ｓ ｒａｔｉｏ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ口］．Ｃｏｍｐ Ｍａｔｈ Ａｐｐｌ，２００５，４９：３８９￣４０６． ［７］ＱＩＵ Ｓ Ｌ，ＶＵＯＲＩＮＥＮ Ｍ．Ｓｏｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ａｎｄ ｐｓｉ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐ，２００５， ７４（２５０）：７２３～７４２． ［８］ＺＨＡＮＧ Ｘ Ｈ，ＷＡＮＧ Ｇ Ｄ，ＣＨＵ Ｙ Ｍ．Ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｆａｒ Ｅａｓｔ Ｊ 如 Ｓｃｉ。２００６．２１（１）：３３～３９． 关于伽马函数的一个不等式 袁亦群，张孝惠 （湖州师范学院数学系，浙江湖州３１３０００） 摘 要：最近几年伽马函数的分析不等式研究在国际上相当广泛．利用双伽马函数的导数Ｎ－－＋￣向不等式，通过研究函 数ｇ（ ）一 的单调性，从而得到了一个关于伽马函数比的不等式．该不等式在某种特殊情形下改进了张、王和 褚的一个不等式． 中图分类号：Ｏ１７４．６ 关键词：伽马函数；单调性 不等式 ＭＳＣ ２０００ １ ３３ＣＯ５
