高中数学立体几何真题试题大全

上海立体几何高考试题汇总

(01春)假设有平面与，且l,,P,Pl，那么以下命题中的假命题为〔 〕

〔A〕过点P且垂直于的直线平行于．〔B〕过点P且垂直于l的平面垂直于． 〔C〕过点P且垂直于的直线在内． 〔D〕过点P且垂直于l的直线在内．

〔01〕a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，那么以下命题中的假命题是〔 〕D

A. 假设a∥b，那么α∥β B.假设α⊥β，那么a⊥b

C.假设a、b相交，那么α、β相交 D.假设α、β相交，那么a、b相交

(02春)以下图表示一个正方体外表的一种展开图，图中四条线段AB、CD、EF和GH 在原

正方体中相互异面的有 对。3

(02)假设正四棱锥的底面边长为23cm,体积为4cm3，那么它的侧面与底面所成的二面角的大小是 30

(03春)关于直线a,b,l以及平面M,N，以下命题中正确的选项是( ).

(A) 假设a//M,b//M,那么a//b (B) 假设a//M,ba,那么bM

.

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(C) 假设aM,bM,且la,lb,那么lM (D) 假设aM,a//N,那么MN D

(03) 在正四棱锥P—ABCD中，假设侧面与底面所成二面角的大小为60°，那么异面直线PA与BC所成角的大小等于 .〔结果用反三角函数值表示〕arctg2 (03)在以下条件中，可判断平面α与β平行的是 〔 〕 A．α、β都垂直于平面r.

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.

D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β. D (04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC中,E是BC的中点,假设

1,那么侧棱VA与底面所成角的大小为 41三角函数表示) arctg

4△VAE的面积是

(04) 在以下关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)假设lβ且α⊥β,那么l⊥α. (B) 假设l⊥β且α∥β,那(C) 假设l⊥β且α⊥β,那么l∥α. (D) 假设α∩β=m且l∥m,B

(05春)直线l、m、n及平面，以下命题中的假命题是 〔A〕假设l//m，m//n，那么l//n. 〔B〕假设l，n//，那么ln.

(结果用反

么l⊥α.

那么l∥α.

〔C〕假设lm，m//n，那么ln. 〔D〕假设l//，n//，那么l//n.D

2,底面三角形的三a(05)有两个相同的直三棱柱,高为边长分别棱柱,在所a的取值

为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,那么范围是 ．015 3(06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，那么其体积为 .

16 3(06文)假设空间中有两条直线，那么“这两条直线为异面直线〞是“这两条直线没有公共点〞的 〔 〕 〔A〕充分非必要条件 〔B〕必要非充分条件

〔C〕充分必要条件 〔D〕既非充分又非必要条件 A

.

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(06理)假设空间中有四个点，那么“这四个点中有三点在同一直线上〞是“这四个点在同一平面上〞的 [答]〔 〕A

〔A〕充分非必要条件；〔B〕必要非充分条件；〔C〕充要条件；〔D〕非充分非必要条件． (07文) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90， AA12，ACBC1，那么异面直线A1B与AC所成角的 A1 大小是 〔结果用反三角函数值表示〕．

C1 B1

C arccos6 6B

A (07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． ，是两个 相交平面，空间两条直线l1，l2在上的射影是直线s1，s2，l1，l2在上的射影是

直线t1，t2．用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异 面直线的充分条件：

．s1//s2，并且t1与t2相交〔t1//t2，并且s1与s2相交〕 (01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器〔如图〕，设容器的高为h米，盖子边长为a米．

〔1〕求a关于h的函数解析式；

〔2〕设容器的容积为V立方米，那么当h为何值时，V最大？求出V的最大值．

〔求解此题时，不计容器的厚度〕 解〔1〕设h'为正四棱锥的斜高

12a4h'a2,2 由

h21a2h'2,4 解得a1h12(h0)

1h 〔2〕Vha2(h0)

33(h21) 易得V113(h)h

因为h1112h2，所以V hh6

.

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等式当且仅当h1，即h1时取得。 h1立方米． 6故当h1米时，V有最大值，V的最大值为

(01春) 在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D。

〔1〕求证：A1C平面AEF；

〔2〕假设规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角〔或直角〕，那么在空间中有定理：假设两条直线分别垂直于两个平面，那么这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。 试根据上述定理，在AB4，AD3，AA15时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小。〔用反三角函数值表示〕

证〔1〕因为CB平面A1B，所A1C在平面A1B上的射影为A1B

由A1BAE,AE平面A1B，得A1CAE， 同理可证A1CAF 因为A1CAF,A1CAE 所以A1C平面AEF

.

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解〔2〕过A作BD的垂线交CD于G， 因为D1DAG，所以AG平面D1B1BD

设AG与A1C所成的角为，那么即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角． 由，计算得DG9． 4如图建立直角坐标系，那么得点A(0,0,0)，

9G(,3,0),A1(0,0,5),C(4,3,0)， 49AG{,3,0},A1C{4,3,5}，

4因为AG与A1C所成的角为 所以cosAGA1C122

|AG||A1C|25 arccos122 25122 25由定理知，平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos

(01) 在棱长为a的正方体OABC－O'A'B'C'中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.

〔1〕求证：A'F⊥C'E；

〔2〕当三棱锥B'－BEF的体积取得最大值时，求二面角B'－EF－B的大小.〔结果用反三角函数表示〕

.

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〔1〕利用空间直角坐标系证明；

〔2〕arctan2

(02春) 如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1

⊥平面OO1=2，

OAB，O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB= OA=√3。

求：〔１〕二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；

〔２〕异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。 〔上述结果用反三角函数值表示〕

[解] 〔1〕取OB的中点D，连结O1D，那么O1D⊥OB。 ∵平面OBB1O1⊥平面OAB， ∴O1D⊥平面OAB

过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，那么O1E⊥AB。 ∴∠DEO1为二面角O1-AB-O的平面角。 由题设得O1D=√3， ∴DE=DBsin∠OBA=√21/7. ∵在Rt△O1DE中，tg∠DEO1=√7,

∴∠DEO1=arctg√7.即二面角O1-AB-O的大小为arctg√7.

(2)以O点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴、过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，那么

O〔0，0，0〕，O1〔0，1，√3〕，A〔√3，0，0〕，A1〔√3，1，√3〕，B〔0，2，0〕。

.

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设异面直线A1B与AO1所成角为α，

(02)如图，在直三棱柱ABO，D是线段AA'B'O'中，OO'4，OA4,OB3,AOB90'B'的

O’ A’ 中点，P是侧棱BB'上的一点，假设OP，求OP与底面AOB所成角的BD D 大小。〔结果用反三角函数值表示〕

B’ [解法一]

如图,以O点为原点建立空间直角坐标系

3(3,0,0),D(,2,4) 由题意，有B P O A 2 B z 设P(3,0,z)，那么 

3BD{,2,4},OP{3,0,z}

2因为BD OP9BDOP4z0

29z

8因为BB'平面AOB

是OP与底面AOB所成的角 POBtgPOB3838 O’ A’ D B’ P O A y B x

POBarctg

[解法二]取O'B'中点E，连结DE、BE，那么

'O' 平面OBBDE'O'内的射影。 是BD在平面OBBBEBD 又因为OP

BE 由三垂线定理的逆定理，得OP

'O'中，易得RtOBP~RtBB'E 在矩形OBB

O’ A’ E D B’ P O A B BPOB9,得BP B'EBB'8〔以下同解法一〕

(03春)三棱柱ABCA1B1C1，在某个空间直角坐标系中， A1 B1 m3mAB{,,0},AC{m,0,0},AA1{0,0,n}. 其中m,n0 C

22(1) 证明：三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱； A B

.

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(2) 假设m〔2〕

2n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.

 4(03)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.假设B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积. [解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.

在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=23.

又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以 ∠B1DB=30°，于是BB1=

13BD=2.

故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=83. (04春)如图,点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点,PM⊥BB1交AA1于点M,PN⊥BB1交CC1于点N. (1) 求证：CC1⊥MN;(6分)

(2) 在任意△DEF中有余弦定理：

DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面的关系式,并予以证明.(8分)

证明：(1) ∵CC1∥BB1, ∴CC1⊥PM, CC1⊥PN,且PM、PN相交于点P,

∴CC1⊥平面PMN. ∵MN平面PMN, ∴CC1⊥MN. 解：(2)在钭三棱柱ABC-A1B1C1中,有 SABB1A1=SBCC1B1+SACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα

其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角

∵ CC1⊥平面PMN,

∴平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角为∠MNP …

在△PMN中,PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNP, PM2·CC1= PN2·CC1+ MN2·CC1－2(PN·CC1)(MN·CC1) cos∠MNP 由于SBCC1B1= PN·CC1, SACC1A1= MN·CC1, SABB1A1=PM·BB1及CC1=BB1, 那么SABB1A1=SBCC1B1+SACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cosα (04)某单位用木料制作如下图的框架, 框架的下部是边长分m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解】由题意得

222222余弦定角之间

222别为x、y(单位：8cm2. 问x、y

.

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x28124=8x(0xx44 于定, 框架用料长度为 l=2x+2y+2( 当(

2316x)=(+2)x+≥4642. 22x316+2)x=,即x=8－42时等号成立. 2x 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.

(05春)正三棱锥PABC的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60. 〔1〕证明：PABC；

〔2〕求底面中心O到侧面的距离

[证明]〔1〕取BC边的中点D，连接AD、PD， 那么ADBC，PDBC，故BC平面APD. …… 4分

A ∴

PCO分 PABC. …… 6B [解]〔2〕如图， 由〔1〕可知平面PBC平面APD，那么PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.

过点O作OEPD,那么OEE为垂足，

就是点O到

侧面的距离. …… 9分

设OE为h，由题意可知点O在AD上，

∴ PDO60，OP2h.

OD2h3,BC4h, …… 11分

3(4h)243h2， 41833 ∵ 72343h22hh，∴ h3.

33 即底面中心O到侧面的距离为3.

(05文)长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是BB1和BC的中点,AB=4,AD=2.B1D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]联结B1C,由M、N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN, ∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.

∴ SABC.

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联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=25,又BB1⊥平面ABCD, ∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角, ∴∠B1DB=60°.

在Rt△B1BD中, B1B=BDtan60°=215, 又DC⊥平面BB1C1C, ∴DC⊥B1C, 在Rt△DB1C中, tan∠DB1C=

DCB1CDCBC2BB121, 2∴∠DB1C=arctan

1. 2即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan

1. 2(05理)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC1与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) [解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=5. 又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.

在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt△CBC1中,可得BC1=17, 在△ABC1中,cos∠C1BA=

317317,∴∠C1BA=arccos 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos

另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 那么C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴BC1=(-2,-3,2),

CD=(0,-1,0),设BC1与CD所成的角为θ,

那么cosθ=BC1CDBC1CD=

317317,θ= arccos. 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos

(06春)在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的大小(结果

.

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用反三角函数表示). [解法一]连接A1D

∵A1D∥B1C, ∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角 ……4分 连接BD,在△A1DB中,AB=A1D=5,BD=42 ……6分

A1B2A1D2BD2cos∠BA1D=

2A1BA1D =

2525329= ……10分 252559 ……12分 25∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos

[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. ……2分 那么A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得A1B=(0,4,-3),B1C=( -4,0,-3) ……6分 设A1B与B1C的夹角为θ, cosθ=A1BB1CA1BB1C=

9 ……10分 25∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos

9 25(06文)在直三棱柱ABCABC中，ABC90,ABBC1. 〔1〕求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

〔2〕假设A1C与平面ABCS所成角为45，求三棱锥A1ABC的体积

解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°. (2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2, ∴AA1=2.

∴三棱锥A1-ABC的体积V=

61S△ABC×AA1=.

23(06理)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

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〔1〕求四棱锥P－ABCD的体积；

〔2〕假设E是PB的中点，求异面直线DE与PA〔结果用反三角函数值表示〕

[解]〔1〕在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面

∴四棱锥P-ABCD的体积

A

B E

P

所成角的大小得

D

∠PBO=60°. PO⊥BO, C

积为23.

O

1V=×23×3=2.

3

〔2〕解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、

OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA=3,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, E是PB的中点,那么E(

3).

3,3).

3313,0,) 于是DE=(,0, ),AP=(0,

22223222设DE与AP的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos, 44933344∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3=OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， PA=6，那么EF=

2； 46. 2在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=3，

16EF224= cos∠FED=

DE43.

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∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos

(07春)如图，在棱长为2的正方体ABCDABCD中，求异面直线AFE、F分别是AB和AB的中点，与CE所成角的大小 (结果用反三角函数值表示〕

[解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知A(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,2),F(2,1,0). AF(0,1,2. 42),CE(2,1,2). …… 6分

设直线AF与CE所成角为，那么 cosAFCEAFCE5535. …… 10分 3 arccos5， 35. …… 12分 3[解法二] 连接EB， …… 2分

即异面直线AF与CE所成角的大小为arccos AE//BF，且AEBF，AFBE是平行四边形，那么AF//EB，  异面直线AF与CE所成的角就是CE与EB所成的角. …… 6分 由CB平面ABBA，得CBBE. 在Rt△CEB中，CB2, tanCEBBE5，那么

25， …… 10分 525. 525. 5  CEBarctan 异面直线AF与CE所成角的大小为arctan(07文)在正四棱锥PABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成的角为60，求 正四棱锥PABCD的体积V．

解：作PO平面ABCD，垂足为O．连接AO，O是 正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面 ABCD所成的角．

P

D C

PAO＝60，PA2． PO3．

AO1，AB2，

A B

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1123 VPOSABCD32．

3334317．解： 由题意，得cosB，B为锐角，sinB，

55 sinAsin(πBC)sin 由正弦定理得 c3π72， B41010， 7121048． 757 SacsinB212(07理) 如图，在体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90,平面BB1C1C所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕． 解法一： 由题意，可得体积

ACBC1．求直线A1B与

VCC1S△ABCCC111ACBCCC11， 22  AA1CC12．

连接BC1．

AC11B1C1，AC11CC1，

A1C1平面BB1C1C，

A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角． BC1CC1BC25，

2 tanA1BC1A1C115，那么 A1BC1＝arctan． BC1555． 5z 11ACBCCC11， 22 C1 B1 即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan解法二： 由题意，可得 体积VCC1SABCCC1 CC12，

如图，建立空间直角坐标系． 得点B(0，1，0)， 1，2)， C1(0，，02)，A1(1，，02)． 那么A1B(1，A1.

x AC B y

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00)． 平面BB1C1C的法向量为n(1，， 设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为，A1B与n的夹角为， 那么cosA1BnA1Bn666,arcsin， sin|cos|，

6666． 6 即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arcsin4317．解： 由题意，得cosB，B为锐角，sinB，

55 sinAsin(πBC)sin 由正弦定理得 c3π72， B41010111048，  SacsinB2．

227577

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